70 Jika ada beberapa sisi masuk inlet dan atau sisi keluar outlet, maka
persamaan control volume harus dikembangkan, misalnya pada interseksi berbentuk T pada gambar 4.5.3, persamaan kontinyuitasnya menjadi:
-
1
V
1
A
1
-
3
V
3
A
3
+
2
V
2
A
2
= 0 V
1
A
1
+ V
3
A
3
= V
2
A
2
……………………………… 4.5.6
Q
1
+ Q
3
= Q
2
……………………………………… 4.5.7
Kesimpulan : pada sebuah control volume debit aliran masuk sama dengan debit aliran keluar.
4.6. Persamaan Momentum Linier
Hukum II Newton digunakan untuk dasar perhitungan bentuk control volume dari persamaan momentum linier. Disini variabel N adalah momentum linier
dari sistim mv dan
adalah momentum linier persatuan massa =
v .
=
v ; maka persamaan 4.4.2 akan berbentuk
F =
dt mv
d
=
cv
t
v dV +
CS
v v. dA ……………… 4.6.1
Dari persamaan ini dapat dikatakan bahwa gaya resultan yang bekerja pada suatu control volume sama dengan laju membesarnya momentum linier
ditambah laju netto momentum yang meninggalkan control surface. Pernyataan ini dapat digunakan untuk menjabarkan persamaan gerak fluida
sepanjang garis alir persamaan Euler yang akan diuraikan pada bab berikutnya.
71 Gb. 4.6.1. control volume untuk aliran lewat pipa
Gb. 4.6.1 menunjukkan sebuah control volume untuk aliran melalui pipa dengan titik 1 sebagai sisi masuk dan titik 2 sebagai sisi keluar.
Jumlah vektor gaya-gaya luarnya:
F = W + F
p1
+ F
p2
+ F
o
+ F
w
Dengan :
W = gaya berat = volume dari control volume x berat jenis
F
p1
= gaya tekan pada sisi masuk F
p2
= gaya tekan pada sisi keluar Total vektor gayanya adalah
F
p
=
cs
dA .
p
cs
dA .
n .
p n adalah vektor satuan yang normal terhadap permukaan, positif jika aliran
meninggalkan permukaan. Fp = pA
o
F
= gaya geser pada dinding F
w
= gaya tekan
72 Pertukaran momentum pada sisi masuk M
1
dan sisi keluar M
2
dapat dianalisis dengan asumsi alirannya stedi. Maka ruas kanan dari persamaan
4.6.1 dapat ditulis: M
1
+ M
2
=
1 .
cs
v
1
1
v
1
. dA +
2 cs
v
2
2
v
2
. dA ……… 4.6.2 M
1
+ M
2
= - V
1
A
1
V
1
+ V
2
A
2
. V
2
……………… 4.6.3
M
1
= -
1
Q V
1
…………………………………… 4.6.4
M
2
=
2
Q V
2
……………………………………… 4.6.5
Oleh karena itu pada setiap luasan, M tegak lurus permukaan dan arahnya meninggalkan control surface baik pada sisi masuk maupun sisi keluar. Dari
hukum II Newton, bentuk akhir dari control volume yang stedi. W + Fp
1
+ Fp
2
+ F = M
1
+ M
2
………………………… 4.6.6
Faktor Koreksi Momentum
Apabila kecepatan bervariasi pada penampang melintang dari control surface, faktor koreksi momentum
harus diperhitungkan, sebelum menggunakan kecepatan rata-rata.
A
v
2
dA = V
2
A …………………………………… 4.6.7
=
A 1
A
V
v
2
dA ……………………………………… 4.6.8
Maka persamaan 4.6.6 akar terkonveksi menjadi W + F
p1
+ F
p2
+ F =
1
M
1
+
2
M
2
…………………….. 4.6.9
Untuk aliran laminier dalam pipa bulat yang lurus =
3 4
. Dan apabila alirannya uniform
= 1. tidak pernah berharga kurang dari 1. Aplikasi dari persamaan momentum linier ini adalah pada analisis aliran yang
dibelokkan, fixed and moving vanes, propeler, dsb.
73
4.7. Persamaan Energi
Hukum pertama thermodinamika menyatakan bahwa panas Q
H
yang ditambahkan pada suatu sistim dikurangi kerja yang dilakukan oleh sistim
W hanya tergantung pada keadaan awal dan akhir dari sistim. Q
H
- W = E
2
- E
1
……………………………………… 4.7.1
Dengan E = energi dalam internal Energy. Jika energi dalam per massa satuan disebut e maka dalam persamaan 4.4.2, N = E dan
= e
dt dE
=
t
CV
edV + dA
. ev
CS
………………………. 4.7.2
atau dengan menggunakan persamaan 4.7.1
t
QH
- t
W
=
dt dE
=
t
CV
edV + dA
. ev
CS
….………. 4.7.3
Kerja yang dilakukan oleh sistim pada sekeliling dapat diuraikan menjadi dua, yaitu kerja Wpr yang dilakukan oleh gaya-gaya tekan pada lapis batas
yang bergerak, dan kerja Ws yang dilakukan oleh gaya-gaya geser seperti torsi yang timbul pada poros yang berputar. Kerja yang dilakukan oleh gaya-
gaya tekan selama t adalah :
Wpr
= t
pv
. dA ……………………………… 4.7.4
Dengan menggunakan definisi kerja, maka persamaan 4.7.3 menjadi :
t
QH
- t
Ws
=
t
CV
edV + dA
. v
e p
CS
………… 4.7.5
Jika tidak ada efek nuklir, listrik, magnetik dan tegangan permukaan, energi dalam e suatu zat murni adalah jumlah energi potensial, energi kenetik dan
inergi intrinsik. Energi intrinsik per satuan massa u disebabkan oleh gaya molekuler bergantung pada p,
atau T. Maka internal energi didefinisikan : e = gz +
2 V
2
+ u ………………………………………… 4.7.6 Apabila alirannya stedi, maka persamaan 4.7.5 menjadi :
t
QH
- t
Ws
= dA
. v
e p
CS
…………………………….. 4.7.7
74 Penerapan persamaan 4.7.6 pada masing-masing control surface:
t
QH
- t
Ws
=
1 1
1 1
CS 1
1 1
dA .
v e
p
+
2 .
2 2
2 CS
2 2
2
dA v
e p
…. 4.7.8
Vektor kecepatan tegak lurus dengan luasan maka dot product pada
sisi masuk v
1.
dA
1
bertanda negatif
t
QH
- t
Ws
= -
1 1
1 1
CS 1
1 1
dA .
v e
p
+
2 .
2 2
2 CS
2 2
2
dA v
e p
Substitusi e persamaan 4.7.6 ke dalam persamaan diatas didapatkan:
t
QH
- t
Ws
=-
1 1
1 1
CS 1
2 1
1 1
1
dA v
u 2
v gz
p
+
2 CS
2 2
2 2
2 2
2 2
2
dA .
v u
2 v
gz p
……………………….. 4.7.9
Persamaan enargi pada keadaan stedi .
Asumsi-asumsi yang digunakan : 1. Alirannya uniform, maka u konstan sehingga
CS
dA .
v u
= u
CS
dA .
v 4a
2.
CS
gz
v.dA = gzc
CS
v.dA …………………………………… 4b zc = ketinggian sentroid dari luasan inlet
3.
CS
p
v.dA =
p
CS
v.dA …………………………………… 4c
4.
CS
p
+ gz v.dA =
p
+ gz
CS
v.dA ……………………… 4d
5. Faktor koreksi untuk energi kenetik =
V v
A
3
1
dA …………… 4e
2
2
V
adalah energi kinetik rata-rata per satuan massa yang melewati penampang aliran.
6.
v.dA = VA = m = laju aliran massa …………………… 4f
75
t
QH
+
1 2
1 1
1 1
1
u 2
V gz
p
1 .
1 1
A V
=
t
Ws
+
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
. .
2 .
dA v
u v
gz p
…………………… 4.7.10
persamaan ini akan lebih baik jika dinyatakan per laju massa aliran, sehingga persamaannya menjadi :
q
H
+
1 2
1 1
1 1
1
2 .
u V
gz p
= ws +
2 2
2 2
2 2
2
2 .
u v
gz p
… 4.7.11 q
H
= panas yang ditambahkan per massa satuan. ws = kerja poros per massa satuan, positif untuk turbin, negatif untuk pompa.
Persamaan 4.7.7 dapat dikembangkan untuk inlet dan atau outlet jamak multiple inlet and our outlet, maka persamaan 4.7.12 menjadi:
t
QH
+
1 2
1 1
1 1
1
u 2
V gz
p
1 1
1
A V
+
3 2
3 3
3 3
3
u 2
V gz
p
3 3
3
A V
= t
Ws
+
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
A V
u 2
v gz
p
……………. 4.7.13
Kemampubalikan Reversibility, Ketakmampubalikan irreversibility
dan kerugian losses
Proses biasanya menyebabkan suatu perubahan pada sekelilingnya, misalnya memindahkan panas ke atau dari lapis batasnya. Apabila proses itu dapat
balik, yakni kembali ke keadaan awal tanpa perubahan akhir pada sistim dan sekelilingnya, maka proses seperti ini disebut mampu balik Reversible.
Proses mampu balik merupakan keadaan ideal, yang pada aliran nyata dari fluida riil tidak pernah tercapai, dikarenakan adanya gesekan, viskositas dan
lain-lain. Setiap proses nyata tidak mampu balik irreversible. Oleh karena itu di dalam perancangan perlu diusahakan agar keadaannya mendekati
mampu balik.
76 Ketakmampubalikkan suatu proses adalah beda antara banyaknya kerja yang
dapat dilakukan oleh suatu zat yang berubah dari keadaan satu ke keadaan lainnya melalui suatu lintasan secara mampu balik terhadap kerja nyata yang
dihasilkannya untuk lintasan yang sama. Dalam kondisi tertentu, ketakmampubalikan suatu proses disebut kerja hilang losses work.
Persamaan energi untuk control volume yang menyertakan kerugian secara empirik untuk massa satuan.
q
H
+ u
2
- u
1
= K
2
2
V
4.8.1 K disebut koefisian kerugian atau koefisien kehilangan loss coefficient yang
didapat dari eksperimen laboratorium. Ini merupakan kerugian lokal yang terjadi pada aliran yang mengalami perubahan secara cepat, misalnya pada
difuser, elbow dan outlet. Maka persamaan 4.7.11 akan menjadi dinyatakan dalam bentuk energi per massa satuan:
2 V
gz p
2 1
1 1
1 1
= ws +
2 2
2 2
2 2
2
u 2
V gz
p
+ K
2
2
V
…... 4.8.2 dengan V: kecepatan rata-rata antara sisi 1 dan sisi 2 dimana
kerugian tersebut terjadi. Persamaan diatas juga dapat dinyatakan dalam bentuk energi per berat satuan dengan cara membaginya dengan g.
1 1
p
+ z
1
+
g V
2
2 1
1
= Hs +
2 2
p
+ z
2
+
g V
2
2 2
2
+ K
g V
2
2
….. 4.8.3 Pada persamaan ini satuannya menjadi N.mN atau ft.lblb. Hs menyatakan kerja
poros ws dibagi g, disebut head dari poros. Hs dapat mewakili head pompa harga negatif dan head turbin harga positif.
77
BAB V KONSERVASI ENERGI MEKANIK DAN PERSAMAAN
