PENDAHULUAN METODE ADAMS-BASHFORTH METODE BANYAK LANGKAH LINEAR

Gambar 3.2.2 Grafik penyelesaian sejati dan hampiran dengan metode ABT kiri, grafik galat total kanan Berdasarkan Gambar 2.4.2 pada Contoh 2.4.2, Gambar 2.4.4 pada Contoh 2.4.4, Gambar 3.2.1 dan Gambar 3.2.2 pada Contoh 3.2.1, maka galat total maksimum dan jumlahan galat total dari metode Euler, Deret Taylor orde dua, ABE, dan ABT adalah seperti ditunjukkan dalam Tabel 3.2.1 di bawah. Metode Galat Total Maksimum Jumlahan Galat Total Euler 0.1808 0.9853 Taylor 0.0127 0.0842 ABE 0.0517 0.2495 ABT 0.0279 0.1704 Tabel 3.2.1 Tabel Galat Total Maksimum dan Jumlahan Galat Total 1 2 3 4 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Grafik Peny.Sejati dan Peny.Hampiran ti p e n y e le s a ia n ABT peny.sejati 1 2 3 4 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 Grafik Galat Total ti g a la t galat ABT Tabel 3.2.1 menunjukkan bahwa galat total maksimum dan jumlahan galat total dari metode Deret Taylor orde dua lebih kecil daripada ketiga metode lainnya. Jadi, pada kasus ini penyelesaian yang lebih akurat adalah penyelesaian yang dihasilkan oleh metode Deret Taylor orde dua.

C. METODE DUA LANGKAH LINEAR DAN KONSISTENSI

Bentuk umum dari metode dua langkah linear adalah � �+2 + 1 � �+1 + � � = ℎ 2 � �+2 ′ + 1 � �+1 ′ + � � ′ 3.5 dimana 1 , , 2 , 1 , adalah suatu konstanta. Definisi 3.3.1 Metode dua langkah linear 3.5 disebut eksplisit jika 2 = 0 dan disebut implisit jika 2 ≠ 0. Contoh 3.3.1 Metode Adams-Bashforth � �+2 = � �+1 + 1 2 ℎ3� �+1 ′ − � � ′ merupakan metode dua langkah linear eksplisit dengan 1 = −1, = 0, 2 = 0, 1 = 3 2 , = − 1 2 . Galat pemotongan untuk metode dua langkah adalah � � = �� �+ 2 =0 − � ′ � � + 2 =0 ℎ 2 =0 , 2 = 1. Seperti pada metode Euler, galat pemotongan tersebut diperoleh dengan memasukkan penyelesaian sejati dari masalah nilai awal ke dalam metode numerik dan pada kasus ini dibagi dengan ℎ 2 =0 sebagai pembobot. Kemudian jika suku-suku �� �+ dan � ′ � �+ diperluas dengan deret Taylor di sekitar � � , maka � � = 1 ℎ 2 =0 [ � � � � + � 1 ℎ� ′ � � + � 2 ℎ 2 � ′′ � � + ⋯ ] 3.6 dimana, � = 2 =0 � 1 = 2 =0 − 2 =0 � 2 = 2 2 2 =0 − 2 =0 � = 2 =0 − −1 −1 2 =0 Definisi 3.3.2 Metode dua langkah linear dikatakan konsisten dengan orde � jika galat pemotongan 3.6 memenuhi � = � 1 = ⋯ = � = 0 dan � �+1 ≠ 0, yaitu � � = � � +1 2 =0 ℎ � � �+1 � � + ℎ �+1 . Konstanta tak nol pertama, yaitu � �+1 disebut konstanta galat. Contoh 3.3.2 Buktikan bahwa metode Adams-Bashforth adalah metode yang konsisten. � �+2 = � �+1 + 1 2 ℎ3� �+1 ′ − � � ′ Penyelesaian: Koefisien-koefisien dari metode Adams-Bashforth adalah 2 = 1, 1 = −1, = 0, 2 = 0, 1 = 3 2 , dan = − 1 2 . Jadi galat pemotongan dari metode tersebut memenuhi � = 0, � 1 = 0, � 2 = 0, dan � 3 = 5 12 . Karena � = � 1 = � 2 = 0 dan � 3 ≠ 0, maka metode tersebut konsisten dengan orde 2. Sedangkan konstanta galatnya adalah 5 12 . Jika suatu metode dua langkah linear adalah konsisten, maka galat pemotongan dari metode tersebut memenuhi � = 0 dan � 1 = 0. Dengan kata lain, koefisien- koefisien dari metode tersebut memenuhi persamaan 1 + 1 + = 0 2 + 1 − 2 + 1 + = 0 Kedua syarat 3.7 dapat dituliskan dalam bentuk polinomial karakteristik. Oleh karena itu, selanjutnya akan diberikan definisi dari polinomial karakteristik. Definisi 3.3.3 Polinomial karakteristik pertama dan kedua dari metode dua langkah linear � �+2 + 1 � �+1 + � � = ℎ 2 � �+2 ′ + 1 � �+1 ′ + � � ′ didefinisikan dengan � = 2 + 1 + , � = 2 2 + 1 + 3.8 3.7 Berdasarkan definisi di atas, maka persamaan 3.7 dapat dinyatakan dengan polinomial karakteristik, yaitu 1 + 1 + = � 1 = 0 2 + 1 − 2 + 1 + = � ′ 1 − � 1 = 0. Jika metode dua langkah linear konsisten, maka polinomial karakteristik pertama dan kedua dari metode tersebut ketika = 1 memenuhi � 1 = 0 dan � ′ 1 = �1. Jadi uji konsistensi dari metode dua langkah linear juga dapat dilakukan dengan menguji polinomial karakteristik pertama dari metode tersebut. Contoh 3.3.3 Tunjukkanlah konsistensi dari Metode Adams-Bashforth dengan menggunakan polinomial karakteristik. Penyelesaian: Polinomial karakteristik dari metode tersebut adalah � = 2 − � = 3 2 − 1 2 Ketika = 1, maka � 1 = 0, � ′ 1 = 1, � 1 = 1 Karena � 1 = 0 dan � ′ 1 = � 1 , maka metode tersebut adalah konsisten. Selanjutnya akan diberikan teorema yang menunjukkan hubungan antara konvergensi dan konsistensi. Teorema 3.3.1 Metode dua langkah linear yang konvergen adalah konsisten. Bukti: Andaikan metode dua langkah linear 3.5 adalah konvergen. Berdasarkan Definisi 2.4.1 berakibat bahwa � �+2 → �� ∗ + 2 ℎ, � �+1 → �� ∗ + ℎ, dan � � → �� ∗ ketika ℎ → 0 saat � � = � ∗ . Namun, karena � �+2 , � �+1 → � ∗ , ambil limit pada kedua ruas persamaan � �+2 + 1 � �+1 + � � = ℎ 2 � �+2 ′ + 1 � �+1 ′ + � � ′ menyebabkan � 1 � � ∗ = 0. Tetapi � � ∗ ≠ 0, akibatnya � 1 = 0, yang merupakan salah satu syarat konsistensi. Selanjutnya, limit ℎ → 0 diambil dari kedua ruas persamaan � � +2 + 1 � � +1 + � � ℎ = 2 � �+2 ′ + 1 � �+1 ′ + � � ′ . Ruas kanan persamaan tersebut adalah konvergen terhadap limit � 1 �′ � ∗ dan untuk ruas kiri digunakan limit � �+2 → �� ∗ + 2 ℎ, � �+1 → �� ∗ + ℎ, dan � � → �� ∗ dan menggunakan aturan l’Hopital sehingga dapat disimpulkan bahwa lim ℎ→0 � �+2 + 1 � � +1 + � � ℎ = 2 + 1 � ′ � ∗ . Maka, limit fungsi �� memenuhi � ′ 1 � ′ � ∗ = � 1 �′ � ∗ pada � = � ∗ , dimana persamaan tersebut akan bernilai benar jika � ′ 1 = �1 yang merupakan syarat konsistensi. Jadi terbukti bahwa metode dua langkah linear yang konvergen adalah konsisten.