METODE DUA LANGKAH LINEAR DAN KONSISTENSI

Teorema 3.3.1 Metode dua langkah linear yang konvergen adalah konsisten. Bukti: Andaikan metode dua langkah linear 3.5 adalah konvergen. Berdasarkan Definisi 2.4.1 berakibat bahwa � �+2 → �� ∗ + 2 ℎ, � �+1 → �� ∗ + ℎ, dan � � → �� ∗ ketika ℎ → 0 saat � � = � ∗ . Namun, karena � �+2 , � �+1 → � ∗ , ambil limit pada kedua ruas persamaan � �+2 + 1 � �+1 + � � = ℎ 2 � �+2 ′ + 1 � �+1 ′ + � � ′ menyebabkan � 1 � � ∗ = 0. Tetapi � � ∗ ≠ 0, akibatnya � 1 = 0, yang merupakan salah satu syarat konsistensi. Selanjutnya, limit ℎ → 0 diambil dari kedua ruas persamaan � � +2 + 1 � � +1 + � � ℎ = 2 � �+2 ′ + 1 � �+1 ′ + � � ′ . Ruas kanan persamaan tersebut adalah konvergen terhadap limit � 1 �′ � ∗ dan untuk ruas kiri digunakan limit � �+2 → �� ∗ + 2 ℎ, � �+1 → �� ∗ + ℎ, dan � � → �� ∗ dan menggunakan aturan l’Hopital sehingga dapat disimpulkan bahwa lim ℎ→0 � �+2 + 1 � � +1 + � � ℎ = 2 + 1 � ′ � ∗ . Maka, limit fungsi �� memenuhi � ′ 1 � ′ � ∗ = � 1 �′ � ∗ pada � = � ∗ , dimana persamaan tersebut akan bernilai benar jika � ′ 1 = �1 yang merupakan syarat konsistensi. Jadi terbukti bahwa metode dua langkah linear yang konvergen adalah konsisten. Contoh 3.3.4 Tentukan koefisien-koefisien dari metode dua langkah linear berikut � �+2 + � � = ℎ 1 � �+1 ′ + � � ′ sehingga metode tersebut konsisten dengan orde 2. Tentukan pula konstanta galat dari metode tersebut. Penyelesaian: Metode dua langkah linear tersebut memuat tiga konstanta sembarang, yaitu , 1 , dan yang diandaikan memenuhi tiga persamaan linear yang dapat menghilangkan suku-suku �� � , � ′ � � , dan � ′′ � � pada galat pemotongan � � = 1 ℎ 2 =0 [ � � � � + � 1 ℎ� ′ � � + � 2 ℎ 2 � ′′ � � + ⋯ ]. Agar metode dua langkah linear tersebut konsisten dengan orde 2, maka galat pemotongannya harus memenuhi � = � 1 = � 2 = 0. Jadi diperoleh tiga persamaan linear berikut ini 1 + = 0 2 − 1 − = 0 2 − 1 = 0 dan diperoleh penyelesaian = −1, 1 = 2, dan = 0. Diperoleh juga � 3 = 1 3 . Jadi metode yang dihasilkan adalah � �+2 − � � = 2 ℎ� �+1 ′ yang konsisten dengan orde 2 dan konstanta galat 1 3 . Contoh 3.3.5 Diketahui metode dua langkah yang konsisten dengan orde � = 3. � �+2 + 4 � �+1 − 5� � = ℎ4� �+1 ′ + 2 � � ′ Sekarang gunakan metode tersebut untuk menyelesaikan masalah nilai awal � ′ � = −�� dimana � 0 dengan � 0 = 1. Gunakan ℎ = 0.1 dan � 1 = � −ℎ sebagai nilai awal tambahan. Penyelesaian: Penyelesaian hampiran yang dihasilkan oleh metode tersebut menurut perhitungan dengan program Matlab ditunjukkan dalam Gambar 3.3.1 di bawah ini. Gambar 3.3.1 Grafik penyelesaian sejati dan hampiran Gambar 3.3.1 menunjukkan bahwa penyelesaian hampiran untuk masalah nilai awal yang dihasilkan oleh metode di atas mengalami osilasi yang sangat tajam 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 -1000 -800 -600 -400 -200 200 400 600 800 1000 ti p e n y e le s a ia n Grafik Penyelesaian Hampiran 2 LANGKAH peny.sejati sehingga metode tersebut tidak konvergen. Hal ini menegaskan bahwa metode yang konsisten belum tentu konvergen.

D. METODE �-LANGKAH LINEAR DAN KONSISTENSI

Metode dua langkah linear yang telah dibahas sebelumnya sekarang diperluas menjadi metode �-langkah metode banyak langkah linear secara umum. Bentuk umumnya adalah � �+ � =0 = ℎ � �+ ′ � =0 3.9 dimana � = 1. Definisi 3.4.1 Metode �-langkah linear 3.9 disebut eksplisit jika � = 0 dan disebut implisit jika � ≠ 0. Galat pemotongan untuk metode banyak langkah linear adalah � � = �� �+ � =0 − � ′ � � + � =0 ℎ � =0 , dimana � = 1. Seperti pada metode dua langkah linear, galat pemotongan tersebut diperoleh dengan memasukkan penyelesaian sejati dari masalah nilai awal ke dalam metode numerik dan membaginya dengan ℎ � =0 sebagai pembobot. Kemudian jika suku-suku �� �+ dan � ′ � �+ diperluas dengan deret Taylor di sekitar � � , maka � � = 1 ℎ � =0 [ � � � � + � 1 ℎ� ′ � � + � 2 ℎ 2 � ′′ � � + ⋯ ] 3.10 dimana, � = � =0 � 1 = � =0 − � =0 � 2 = 2 2 � =0 − � =0 � = � =0 − −1 −1 � =0 Definisi 3.4.2 Metode banyak langkah linear dikatakan konsisten dengan orde � jika galat pemotongan 3.10 memenuhi � = � 1 = ⋯ = � = 0 dan � �+1 ≠ 0, yaitu � � = � � +1 � =0 ℎ � � �+1 � � + ℎ �+1 . Konstanta tak nol pertama, yaitu � �+1 disebut konstanta galat. Contoh 3.4.1 Buktikan bahwa metode berikut ini adalah metode yang konsisten dan berapakah konstanta galatnya. � �+3 + � �+2 − � �+1 − � � = 4 ℎ� � ′ . Penyelesaian: Koefisien-koefisien dari metode tersebut adalah 3 = 1, 2 = 1, 1 = −1, = −1, dan = 4. Jadi galat pemotongan dari metode tersebut memenuhi � = 0, � 1 = 0, dan � 2 = 6. Karena � = � 1 = 0 dan � 2 ≠ 0, maka metode tersebut konsisten dengan orde � = 1 dan dengan konstanta galat 6. Definisi 3.4.3 Polinomial karakteristik pertama dan kedua dari metode �-langkah linear 3.10 adalah � = � + �−1 �−1 + ⋯ + , � = � � + �−1 �−1 + ⋯ + , Contoh 3.4.2 Diketahui masalah nilai awal � ′ � = 1 − 2� � � � 0 = 1 untuk � ∈ 0,4]. Gunakan metode tiga langkah berikut ini untuk menyelesaikan masalah nilai awal tersebut � �+3 = � �+2 + 1 2 ℎ[23� �+2 ′ − 16� �+1 ′ + 5 � � ′ ] dengan ℎ = 0.2. Bandingkan hasilnya dengan menggunakan metode Adams- Bashforth. Gunakan metode deret Taylor orde dua untuk menentukan dua nilai awal yang dibutuhkan. Penyelesaian: Hasil perhitungan dengan program Matlab ditunjukkan Gambar 3.4.1 dan Gambar 3.4.2 di bawah ini: 3.11 Gambar 3.4.1 Grafik penyelesaian sejati dan hampiran dengan metode ABT kiri, grafik galat total kanan Gambar 3.4.1 dan Gambar 3.4.2 menunjukkan bahwa penyelesaian hampiran yang dihasilkan oleh metode tiga langkah lebih akurat dibandingkan metode dua langkah. Hal ini dapat dilihat pada bagian grafik galat total bahwa galat total yang dihasilkan metode tiga langkah rata-rata lebih kecil dibandingkan metode dua langkah. 1 2 3 4 0.5 1 1.5 Grafik Peny.Sejati dan Peny.Hampiran ti p e n y e le s a ia n ABT peny.sejati 1 2 3 4 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 Grafik Galat Total ti g a la t ABT Gambar 3.4.2 Grafik penyelesaian sejati dan hampiran dengan metode tiga langkah kiri, grafik galat total kanan Berdasarkan Gambar 2.4.2 pada Contoh 2.4.2, Gambar 2.4.4 pada Contoh 2.4.4, Gambar 3.2.1 dan Gambar 3.2.2 pada Contoh 3.2.1, dan Gambar 3.4.2 pada Contoh 3.4.2, maka galat total maksimum dan jumlahan galat total dari metode Euler, Deret Taylor orde dua, ABE, ABT, dan metode tiga langkah adalah seperti ditunjukkan dalam tabel di bawah ini. Metode Galat Total Maksimum Jumlahan Galat Total Euler 0.1808 0.9853 Taylor 0.0127 0.0842 ABE 0.0517 0.2495 ABT 0.0279 0.1704 Tiga Langkah 0.0116 0.0750 Tabel 3.4.1 Tabel Galat Total Maksimum dan Jumlahan Galat Total 1 2 3 4 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Grafik Peny.Sejati dan Peny.Hampiran ti p e n y e le s a ia n 3 langkah peny.sejati 1 2 3 4 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 Grafik Galat Total ti g a la t 3 langkah