METODE �-LANGKAH LINEAR DAN KONSISTENSI

Gambar 3.4.2 Grafik penyelesaian sejati dan hampiran dengan metode tiga langkah kiri, grafik galat total kanan Berdasarkan Gambar 2.4.2 pada Contoh 2.4.2, Gambar 2.4.4 pada Contoh 2.4.4, Gambar 3.2.1 dan Gambar 3.2.2 pada Contoh 3.2.1, dan Gambar 3.4.2 pada Contoh 3.4.2, maka galat total maksimum dan jumlahan galat total dari metode Euler, Deret Taylor orde dua, ABE, ABT, dan metode tiga langkah adalah seperti ditunjukkan dalam tabel di bawah ini. Metode Galat Total Maksimum Jumlahan Galat Total Euler 0.1808 0.9853 Taylor 0.0127 0.0842 ABE 0.0517 0.2495 ABT 0.0279 0.1704 Tiga Langkah 0.0116 0.0750 Tabel 3.4.1 Tabel Galat Total Maksimum dan Jumlahan Galat Total 1 2 3 4 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Grafik Peny.Sejati dan Peny.Hampiran ti p e n y e le s a ia n 3 langkah peny.sejati 1 2 3 4 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 Grafik Galat Total ti g a la t 3 langkah Tabel 3.4.1 menunjukkan bahwa galat total maksimum dan jumlahan galat total dari metode tiga langkah lebih kecil daripada keempat metode lainnya. Jadi penyelesaian yang lebih akurat adalah penyelesaian yang dihasilkan oleh metode tiga langkah.

BAB IV STABILITAS DAN KONVERGENSI

A. STABIL NOL

Persyaratan dasar yang harus dipenuhi oleh suatu metode agar dapat menghasilkan penyelesaian hampiran yang akurat untuk suatu masalah nilai awal yaitu metode tersebut harus konvergen. Teorema 3.3.1 menyatakan bahwa metode yang konvergen adalah konsisten. Sedangkan, dari Contoh 3.3.5 nampak bahwa metode yang konsisten belum tentu konvergen, sehingga konsistensi bukan merupakan syarat yang cukup untuk konvergensi. Oleh karena itu, dibutuhkan syarat lain yang akan menjamin konvergensi dari suatu metode banyak langkah linear dan akan dijelaskan dalam bab ini. Bentuk umum dari metode banyak langkah linear adalah � �+� + �−1 � �+�−1 + ⋯ + � � = ℎ � � �+� ′ + �−1 � �+�−1 ′ + ⋯ + � � ′ . 4.1 Jika diberikan masalah nilai awal � ′ � = � �, � � , � � � � = � untuk � ∈ � , � � , maka metode banyak langkah linear untuk masalah nilai awal tersebut adalah � �+� + �−1 � �+�−1 + ⋯ + � � = ℎ � � � +� + �−1 � �+�−1 + ⋯ + � � 4.3 4.2 dengan ukuran langkah ℎ dan nilai-nilai awal � = � , � 1 = � 1 , … , � �−1 = � �−1 . 4.4 Kemudian nilai � � , � �+1 , … , � dihitung menggunakan 4.3 untuk � = 0, 1, … , − � dan ℎ = � � − � . Prinsip utama yang harus diingat ketika menentukan nilai-nilai awal 4.4 untuk suatu metode banyak langkah linear yaitu bahwa nilai-nilai awal tersebut akan memuat beberapa galat yang harus mendekati nol ketika ℎ → 0 supaya penyelesaian hampiran yang dihasilkan oleh metode tersebut konvergen terhadap penyelesaian sejatinya, sehingga lim ℎ→0 � = �, = 0 ∶ � − 1. 4.5 Jadi, nilai-nilai awal � 1 , … , � �−1 harus dihitung menggunakan metode numerik yang konvergen sehingga ketentuan 4.5 terpenuhi. Nilai awal yang memenuhi 4.5 disebut nilai awal yang konsisten. Definisi 4.1.1 Metode banyak langkah linear 4.3 dengan nilai-nilai awal yang memenuhi ketentuan 4.5 adalah konvergen jika untuk semua masalah nilai awal 4.2 yang mempunyai penyelesaian tunggal � � berlaku lim ℎ→0 � � = �� ∗ 4.6 �ℎ = � ∗ − � untuk semua � ∗ ∈ [� , � � ]. Contoh 4.1.1 Diketahui bahwa metode pada Contoh 3.3.5 adalah konsisten. � �+2 + 4 � �+1 − 5� � = ℎ 4� �+1 ′ + 2 � � ′ Jelaskan bahwa metode dua langkah linear tersebut adalah tidak konvergen dengan menerapkannya pada masalah nilai awal � ′ � = 0, � 0 = 1. Gunakan nilai awal � = 1 dan � 1 = 1 + ℎ. Penyelesaian: Berdasarkan masalah nilai awal yang diketahui, maka metode tersebut menjadi � �+2 + 4 � �+1 − 5� � = 0 4.7 yang merupakan persamaan dengan koefisien konstan dan berdasarkan persamaan 2.36 pada halaman 26, persamaan 4.7 mempunyai persamaan tambahan 2 + 4 − 5 = − 1 + 5. Sehingga, penyelesaian umum dari persamaan 4.7 adalah � � = − � 6 −5 � 4.8 dimana A dan B adalah sembarang konstanta. Nilai awal � = 1 dan � 1 = 1 + ℎ mengakibatkan 1 = − � 6 1 + ℎ = + 5 � 6 Kemudian dari kedua persamaan tersebut dapat diperoleh nilai dan �, yaitu = 1 + ℎ 6 dan � = ℎ sehingga 4.8 menjadi � � = 1 + ℎ 6 − ℎ 6 −5 � � � = 1 + 1 6 ℎ[1 − −5 � ] 4.9 Ambil nilai mutlak kedua ruas 4.9, sehingga � � = 1 + 1 6 ℎ[1 − −5 � ] ≤ 1 + 1 6 ℎ[1 − −5 � ] = 1 + 1 6 ℎ [1 − −5 � ] = 1 + 1 6 ℎ [1 − −5 � ] ≤ 1 + 1 6 ℎ[1 + −5 � ] Jadi � � ≤ 1 + 1 6 ℎ + 1 6 ℎ −5 � 4.10 Munculnya −5 � pada 4.10 menimbulkan kesulitan. Andaikan untuk � = 1, �ℎ = 1 maka ℎ = 1 � , sehingga ℎ −5 � = 1 � 5 � → ∞ ketika ℎ → 0. Jadi � � → ∞ ketika ℎ → 0. Misal diambil ℎ = 0.1 sehingga � = 10. Jadi 1 � 5 � ≈ 10 5 , akibatnya � � akan cepat divergen. Jadi terbukti bahwa metode tersebut tidak konvergen. Persamaan tambahan untuk 4.7 merupakan polinomial karakteristik pertama dari metode dua langkah. Metode yang konsisten memenuhi ketentuan � 1 = 0, sehingga = 1 pasti merupakan akar dari � . Jadi polinomial karakteristik pertama untuk suatu metode dua langkah linear yang konsisten dapat difaktorkan menjadi � = − 1 − � untuk suatu nilai � pada contoh sebelumnya � = −5. Suatu metode dengan polinomial karakteristik tersebut ketika diterapkan ke dalam � ′ � = 0 akan memberikan penyelesaian umum dalam bentuk � � = + � � Oleh karena itu nilai � harus dibatasi supaya � � tidak menuju tak hingga ketika � → ∞, yaitu � ≤ 1. Selanjutnya akan diberikan contoh yang akan semakin melengkapi pembatasan nilai � sehingga metode banyak langkah linear adalah konvergen dan penyelesaian hampiran yang dihasilkan oleh metode tersebut juga akan konvergen. Contoh 4.1.2 Selidikilah konvergensi dari metode tiga langkah linear berikut � �+3 + � �+2 − � �+1 − � � = 4 ℎ� � ′ ketika diterapkan ke dalam masalah nilai awal � ′ � = 0, � 0 = 1 dengan nilai awal � = 1, � 1 = 1 − ℎ, dan � 2 = 1 − 2ℎ. Penyelesaian: Konsistensi dari metode tersebut telah diselidiki pada Contoh 3.4.1 dan terbukti bahwa metode tersebut adalah konsisten dengan orde � = 1. Berdasarkan masalah nilai awal yang diketahui, maka metode tersebut menjadi � �+3 + � �+2 − � �+1 − � � = 0 4.11 yang mempunyai persamaan tambahan 3 + 2 − − 1 = − 1 + 1 2