DERET TAYLOR DAN ORDE PENGHAMPIRAN

Langkah awal dari penyusunan metode Euler yaitu dengan membagi interval � , � � ke dalam subinterval yang sama besar. Sehingga dapat dihitung pendekatan terhadap penyelesaian sejati dari masalah nilai awal pada titik � � = � + �ℎ untuk � = 0, 1, 2, … , dimana ℎ merupakan ukuran langkah. Metode Euler diturunkan dari deret Taylor pada �� + ℎ yang dipotong sampai suku orde dua � � + ℎ = � � + ℎ� ′ � + � 1 � 2.44 Kemudian substitusikan � ′ � = ��, �� ke dalam deret Taylor 2.44 sehingga diperoleh � � + ℎ = � � + ℎ� �, � � + � 1 � 2.45 Ketika � = � � , maka persamaan 2.45 menjadi � � �+1 = � � � + ℎ� � � , � � � + � 1 � � , � = 0, 1, 2, … , − 1 Suku � 1 � � dapat dibuat sangat kecil dengan mengambil ukuran langkah ℎ yang cukup kecil, sehingga diperoleh bentuk umum dari metode Euler � �+1 = � � + ℎ� � , untuk � = 0, 1, 2, … , − 1 2.46 dimana � � = �� � , � � , � �+1 merupakan pendekatan terhadap � � �+1 , � � merupakan pendekatan terhadap � � � , dan � � merupakan pendekatan terhadap � � � , � � � . Selanjutnya, karena metode Euler disusun dari deret Taylor yang dipotong sampai suku orde dua, maka metode tersebut mempunyai galat pemotongan, yaitu � 1 � � = � � �+1 − � � � − ℎ� � � , � � � . Galat pemotongan tersebut juga dapat dinyatakan dengan � � = � 1 � � ℎ = � � � +1 −� � � ℎ − � � � , � � � yang diperoleh dengan memasukkan penyelesaian sejati dari masalah nilai awal ke dalam metode numerik dan membaginya dengan ukuran langkah ℎ. Pemberian pembagi ℎ tidak berpengaruh terhadap keakuratan metode tersebut karena ini hanya untuk pembobotan saja. Seperti disebutkan di awal bahwa terdapat selisih antara penyelesaian sejati dengan penyelesaian hampiran dari suatu masalah nilai awal yang disebut galat total. Besar galat total dari suatu metode numerik didefinisikan dengan � � = � � � − � � , dimana � � � merupakan penyelesaian sejati dan � � merupakan penyelesaian hampiran pada titik � � . Contoh 2.4.1 Gunakan metode Euler dengan ukuran langkah ℎ = 0.3 untuk menghitung penyelesaian hampiran masalah nilai awal � ′ � = 1 − 2� � � , � 0 � 0 = 1 pada interval ≤ � ≤ 0.9, dimana penyelesaian sejati dari masalah nilai awal tersebut adalah � � = � �−� 2 . Penyelesaian: Dari masalah nilai awal yang diketahui maka diperoleh bahwa � = 0, � 0 = 1, � ′ 0 = 1. Kemudian dengan menggunakan informasi tersebut ditarik garis singgung melalui titik P � , � = 0,1 dengan gradien �′ = � ′ 0 = 1 dan berhenti di titik P 1 � 1 , � 1 lihat Gambar 2.4.1 a. Perhitungan pada langkah selanjutnya diperoleh � 1 = � + ℎ = 0.3 � 1 = � + ℎ�′ = 1 + 0.3 = 1.3 �′ 1 = 1 − 2� 1 � 1 = 1 − 0.6 1.3 = 0.52 Kemudian ditarik garis melalui titik P 1 � 1 , � 1 = 0.3, 1.3 dengan gradien � ′ 1 = 0.52 dan berhenti di titik P 2 � 2 , � 2 lihat Gambar 2.4.1 b. Pada langkah berikutnya diperoleh � 2 = � 1 + ℎ = 0.6 � 2 = � 1 + ℎ�′ 1 = 1.3 + 0.3 × 0.52 = 1.456 �′ 2 = 1 − 2� 2 � 2 = 1 − 1.2 1.456 = −0.2912 Kemudian ditarik garis melalui titik P 2 � 2 , � 2 = 0.6, 1.456 dengan gradien � ′ 2 = −0.2912 dan berhenti di titik P 3 � 3 , � 3 lihat Gambar 2.4.1 c. Perhitungan untuk langkah terakhir diperoleh � 3 = � 2 + ℎ = 0.9 � 3 = � 2 + ℎ�′ 2 = 1.456 + 0.3 × −0.2912 = 1.3686 Gambar 2.4.1 Grafik penyelesaian sejati, penyelesaian hampiran, dan galat total. Dari contoh ini dapat ditunjukkan penurunan metode Euler. Gambar 2.4.1 menunjukkan hampiran pada titik � �+1 terhadap penyelesaian sejati masalah nilai awal dihitung dengan menggunakan persamaan garis yang melalui titik � � , � � dengan gradien � ′ � sehingga � �+1 = � � + ℎ�′ � yang tidak lain merupakan metode Euler. Contoh 2.4.2 Gunakan metode Euler untuk menyelesaikan masalah nilai awal berikut � ′ � = 1 − 2� � � � 0 = 1, untuk � ∈ 0,4] dengan ℎ = 0.2. 0.2 0.4 0.6 0.8 0.5 1 1.5 a p e n y e le s a ia n Grafik Peny.sejati dan Peny.hampiran peny.numerik peny.sejati 0.2 0.4 0.6 0.8 0.5 1 1.5 b p e n y e le s a ia n Grafik Peny.sejati dan Peny.hampiran peny.numerik peny.sejati 0.2 0.4 0.6 0.8 0.5 1 1.5 c p e n y e le s a ia n Grafik Peny.sejati dan Peny.hampiran peny.numerik peny.sejati 0.2 0.4 0.6 0.8 0.1 0.2 d g a la t Grafik Galat Total galat euler