MANFAAT PENULISAN METODE PENULISAN SISTEMATIKA PENULISAN
Contoh 2.1.2
a.
� �
= �
2
+ �
b. �
′′
+ 4 � = �
2
+ 1
3
Kedua persamaan pada contoh a dan b merupakan persamaan diferensial biasa, dimana
� menyatakan fungsi yang belum diketahui variabel tak bebas dan
� menyatakan variabel bebas. c.
� ��
+
� ��
= 0 d.
�
2
��
2
+
�
2
��
2
= 1 + �
Kedua persamaan pada contoh c dan d merupakan persamaan diferensial parsial, dimana menyatakan fungsi yang belum diketahui variabel tak
bebas, sedangkan � dan � menyatakan variabel bebas.
Definisi 2.1.2
Tingkat persamaan diferensial adalah tingkat turunan tertinggi yang muncul dalam persamaan diferensial.
Klasifikasi persamaan diferensial berdasarkan tingkatnya adalah sebagai berikut: 1
Persamaan diferensial tingkat pertama Bentuk umum:
� �, �, �
′
= 0
Contoh 2.1.3
a.
� �
= �
2 �
b. �
′
= � + �
2
2 Persamaan diferensial tingkat kedua
Bentuk umum: � �, �, �
′
, �′′ = 0
Contoh 2.1.4
a. �
′′
+ 2 � = � − 1
b. �
′′
= �
′
+ � − �
3 Persamaan diferensial tingkat ke-�
Bentuk umum: � �, �, �
′
, �
′′
, … , �
�
= 0
Contoh 2.1.5
a. �
4
− 5�
′′
= 4 � + 2�
b. �
3
= �
′′
− �
′
+ �
Definisi 2.1.3
Persamaan diferensial biasa tingkat ke- � disebut
linear
dalam � jika persamaan
diferensial itu dapat ditulis dalam bentuk �
�
� �
�
+ �
�−1
� �
�−1
+ ⋯ + �
1
� �
′
+ �
� � = �� dimana
� ,
�
1
, … , �
�
dan � adalah fungsi-fungsi kontinu pada suatu interval yang
memuat � dan �
�
� ≠ 0 pada interval itu. Fungsi �
�
� disebut fungsi-fungsi koefisien.
Jadi persamaan diferensial biasa adalah
linear
jika memenuhi syarat-syarat berikut:
a. Fungsi yang belum diketahui dan turunan-turunannya secara aljabar hanya
berderajat satu. b.
Tidak ada hasil kali yang berkaitan dengan fungsi yang belum diketahui dan turunan-turunannya atau dua atau lebih turunan.
c. Tidak ada fungsi transendental dari fungsi yang belum diketahui dan turunan-
turunannya. Persamaan diferensial yang tidak linear disebut
nonlinear
.
Contoh 2.1.6
a. �
′′
− 3�
′
+ 3 � = �
3
, merupakan persamaan diferensial
linear
. b.
��
′′′
+ �
�
� + 5 = 0, merupakan persamaan diferensial
linear
. c.
�
′ 3
+ 2 � = �, merupakan persamaan diferensial
nonlinear
karena turunan pertama dari fungsi yang belum diketahui berderajat tiga.
d. ��
′
+ 3 � = 0, merupakan persamaan diferensial
nonlinear
karena ��
′
adalah hasil kali dari fungsi yang belum diketahui dengan turunannya.
e. �
′′
+ 5 � = cos �, merupakan persamaan diferensial
nonlinear
karena cos
� adalah fungsi transendental dari fungsi yang belum diketahui.
2. Penyelesaian Persamaan Diferensial
Definisi 2.1.4
Penyelesaian persamaan diferensial tingkat ke- � pada interval � ≤ � ≤ adalah
suatu fungsi yang mempunyai semua turunan yang diperlukan, yang jika menggantikan
�, �
′
, �
′′
, … , �
�
menjadikan persamaan diferensial itu suatu identitas.
Contoh 2.1.7
Tunjukkan bahwa fungsi � = 2 + �
−�
adalah penyelesaian dari persamaan diferensial
�
′
+ � − 2 = 0.
Penyelesaian: Diketahui
� = 2 + �
−�
, maka diperoleh �
′
= −�
−�
. Kemudian substitusikan kedua fungsi tersebut ke dalam persamaan diferensial
sehingga diperoleh −�
−�
+ 2 + �
−�
− 2 = 0 Ruas kiri dari persamaan tersebut bernilai
0 sama dengan ruas kanan, maka fungsi
� = 2 + �
−�
merupakan penyelesaian dari persamaan diferensial �
′
+ � −
2 = 0.
Contoh 2.1.8
Tentukan penyelesaian dari persamaan diferensial berikut ini �
′
=
3 �
�
2
+5
Penyelesaian: