MANFAAT PENULISAN METODE PENULISAN SISTEMATIKA PENULISAN

Contoh 2.1.2 a. � � = � 2 + � b. � ′′ + 4 � = � 2 + 1 3 Kedua persamaan pada contoh a dan b merupakan persamaan diferensial biasa, dimana � menyatakan fungsi yang belum diketahui variabel tak bebas dan � menyatakan variabel bebas. c. � �� + � �� = 0 d. � 2 �� 2 + � 2 �� 2 = 1 + � Kedua persamaan pada contoh c dan d merupakan persamaan diferensial parsial, dimana menyatakan fungsi yang belum diketahui variabel tak bebas, sedangkan � dan � menyatakan variabel bebas. Definisi 2.1.2 Tingkat persamaan diferensial adalah tingkat turunan tertinggi yang muncul dalam persamaan diferensial. Klasifikasi persamaan diferensial berdasarkan tingkatnya adalah sebagai berikut: 1 Persamaan diferensial tingkat pertama Bentuk umum: � �, �, � ′ = 0 Contoh 2.1.3 a. � � = � 2 � b. � ′ = � + � 2 2 Persamaan diferensial tingkat kedua Bentuk umum: � �, �, � ′ , �′′ = 0 Contoh 2.1.4 a. � ′′ + 2 � = � − 1 b. � ′′ = � ′ + � − � 3 Persamaan diferensial tingkat ke-� Bentuk umum: � �, �, � ′ , � ′′ , … , � � = 0 Contoh 2.1.5 a. � 4 − 5� ′′ = 4 � + 2� b. � 3 = � ′′ − � ′ + � Definisi 2.1.3 Persamaan diferensial biasa tingkat ke- � disebut linear dalam � jika persamaan diferensial itu dapat ditulis dalam bentuk � � � � � + � �−1 � � �−1 + ⋯ + � 1 � � ′ + � � � = �� dimana � , � 1 , … , � � dan � adalah fungsi-fungsi kontinu pada suatu interval yang memuat � dan � � � ≠ 0 pada interval itu. Fungsi � � � disebut fungsi-fungsi koefisien. Jadi persamaan diferensial biasa adalah linear jika memenuhi syarat-syarat berikut: a. Fungsi yang belum diketahui dan turunan-turunannya secara aljabar hanya berderajat satu. b. Tidak ada hasil kali yang berkaitan dengan fungsi yang belum diketahui dan turunan-turunannya atau dua atau lebih turunan. c. Tidak ada fungsi transendental dari fungsi yang belum diketahui dan turunan- turunannya. Persamaan diferensial yang tidak linear disebut nonlinear . Contoh 2.1.6 a. � ′′ − 3� ′ + 3 � = � 3 , merupakan persamaan diferensial linear . b. �� ′′′ + � � � + 5 = 0, merupakan persamaan diferensial linear . c. � ′ 3 + 2 � = �, merupakan persamaan diferensial nonlinear karena turunan pertama dari fungsi yang belum diketahui berderajat tiga. d. �� ′ + 3 � = 0, merupakan persamaan diferensial nonlinear karena �� ′ adalah hasil kali dari fungsi yang belum diketahui dengan turunannya. e. � ′′ + 5 � = cos �, merupakan persamaan diferensial nonlinear karena cos � adalah fungsi transendental dari fungsi yang belum diketahui. 2. Penyelesaian Persamaan Diferensial Definisi 2.1.4 Penyelesaian persamaan diferensial tingkat ke- � pada interval � ≤ � ≤ adalah suatu fungsi yang mempunyai semua turunan yang diperlukan, yang jika menggantikan �, � ′ , � ′′ , … , � � menjadikan persamaan diferensial itu suatu identitas. Contoh 2.1.7 Tunjukkan bahwa fungsi � = 2 + � −� adalah penyelesaian dari persamaan diferensial � ′ + � − 2 = 0. Penyelesaian: Diketahui � = 2 + � −� , maka diperoleh � ′ = −� −� . Kemudian substitusikan kedua fungsi tersebut ke dalam persamaan diferensial sehingga diperoleh −� −� + 2 + � −� − 2 = 0 Ruas kiri dari persamaan tersebut bernilai 0 sama dengan ruas kanan, maka fungsi � = 2 + � −� merupakan penyelesaian dari persamaan diferensial � ′ + � − 2 = 0. Contoh 2.1.8 Tentukan penyelesaian dari persamaan diferensial berikut ini � ′ = 3 � � 2 +5 Penyelesaian: