METODE SATU LANGKAH MASALAH NILAI AWAL DALAM PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

Gambar 2.4.1 Grafik penyelesaian sejati, penyelesaian hampiran, dan galat total. Dari contoh ini dapat ditunjukkan penurunan metode Euler. Gambar 2.4.1 menunjukkan hampiran pada titik � �+1 terhadap penyelesaian sejati masalah nilai awal dihitung dengan menggunakan persamaan garis yang melalui titik � � , � � dengan gradien � ′ � sehingga � �+1 = � � + ℎ�′ � yang tidak lain merupakan metode Euler. Contoh 2.4.2 Gunakan metode Euler untuk menyelesaikan masalah nilai awal berikut � ′ � = 1 − 2� � � � 0 = 1, untuk � ∈ 0,4] dengan ℎ = 0.2. 0.2 0.4 0.6 0.8 0.5 1 1.5 a p e n y e le s a ia n Grafik Peny.sejati dan Peny.hampiran peny.numerik peny.sejati 0.2 0.4 0.6 0.8 0.5 1 1.5 b p e n y e le s a ia n Grafik Peny.sejati dan Peny.hampiran peny.numerik peny.sejati 0.2 0.4 0.6 0.8 0.5 1 1.5 c p e n y e le s a ia n Grafik Peny.sejati dan Peny.hampiran peny.numerik peny.sejati 0.2 0.4 0.6 0.8 0.1 0.2 d g a la t Grafik Galat Total galat euler Penyelesaian: Hasil perhitungan dengan menggunakan program Matlab ditunjukkan pada Gam- bar 2.4.2 berikut: Gambar 2.4.2 Grafik penyelesaian sejati dan hampiran dengan metode Euler kiri dan grafik galat total kanan Definisi 2.4.1 Metode numerik dikatakan konvergen terhadap penyelesaian �� dari masalah nilai awal yang diberikan pada � = � ∗ jika galat total � � = � � � − � � pada � � = � ∗ + �ℎ memenuhi � � → 0 ketika ℎ → 0. Metode tersebut konvergen pada orde � jika � � = ℎ � untuk � 0. 1 2 3 4 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Grafik Peny.Sejati dan Peny.Hampiran ti p e n y e le s a ia n Euler sejati 1 2 3 4 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 Grafik Galat Total ti g a la t galat Euler Berikut ini diberikan lemma yang nanti akan digunakan dalam pembuktian teorema konvergensi dari Metode Euler. Lemma 2.4.1 � � 1 + � untuk semua � 0. Bukti: Dibuktikan dengan menggunakan fakta bahwa � � 1 untuk semua � 0. Kemudian dengan mengambil integral dari kedua ruasnya pada interval ≤ � ≤ � dimana � 0, maka diperoleh � � � � 1 � � � � − � � − 0 � � 1 + � Jadi terbukti bahwa � � 1 + �. Teorema 2.4.1 Metode Euler akan diterapkan terhadap masalah nilai awal � ′ � = �� � + �, 0 � ≤ � � � 0 = 1 dimana � ∈ ℂ dan adalah fungsi yang turunannya kontinu. Metode tersebut konvergen dengan galat total pada suatu � ∈ 0, � � adalah ℎ. Bukti: Metode Euler untuk masalah nilai awal tersebut adalah � �+1 = � � + �ℎ� � + ℎ � � = 1 + �ℎ � � + ℎ � � 2.47 Sementara dari ekspansi deret Taylor 2.44 diperoleh � � �+1 = � � � + ℎ� ′ � � + � 1 � � = � � � + ℎ �� � � + � � + � 1 � � = 1 + �ℎ � � � + ℎ � � + � 1 � � 2.48 Kemudian kurangkan 2.48 dengan 2.47 diperoleh � � �+1 = 1 + ℎ� � � � + ℎ � � + � 1 � � � �+1 = 1 + ℎ� � � + ℎ � � � �+1 = 1 + ℎ� � � + � 1 � � Selanjutnya untuk menyederhanakan penyimbolan, maka � 1 � � diganti dengan � �+1 , sehingga � �+1 = 1 + ℎ� � � + � �+1 2.49 Karena � = � � = �, maka � = 0. Persamaan 2.49 menunjukkan bahwa galat total pada langkah berikutnya � �+1 merupakan penjumlahan dari galat pemotongan lokal pada langkah tersebut � �+1 dan galat total pada langkah sebelumnya � � . Persamaan tersebut tetap berlaku untuk persamaan diferensial biasa yang lebih umum meskipun nilai � bervariasi. Kemudian substitusikan � = 0, 1, 2 ke dalam persamaan 2.49 gunakan � = 0, maka diperoleh � 1 = � 1 � 2 = 1 + ℎ� � 1 + � 2 = 1 + ℎ� � 1 + � 2 � 3 = 1 + ℎ� � 2 + � 3 = 1 + ℎ� 2 � 1 + 1 + ℎ� � 2 + � 3 Sehingga rumus umumnya adalah � � = 1 + ℎ� �−1 � 1 + 1 + ℎ� �−2 � 2 + ⋯ + � � = 1 + ℎ� �− � � =1 2.50 Ruas kanan dari persamaan 2.50 harus dibatasi agar nilainya mendekati nol ketika ℎ → 0. Berdasarkan Lemma 2.4.1 dengan � = ℎ � , maka 1 + ℎ� ≤ 1 + ℎ � ≤ � ℎ � dan karena � − ℎ = � �− ≤ � � untuk �ℎ ≤ � � dan ≤ �, maka 1 + ℎ� �− ≤ e n −jℎ � = e � � � − ≤ e � � � . Kemudian karena � ≤ �ℎ 2 untuk suatu kontanta � tidak bergantung pada ℎ atau , setiap suku pada ruas kanan persamaan 2.50 dibatasi oleh ℎ 2 �e � � � sehingga � � ≤ �ℎ 2 �� � � � = ℎ� � �� � � � dengan �ℎ = � � . Selama � � berhingga, maka � � = ℎ dan terbukti bahwa metode Euler konvergen pada orde pertama. Contoh 2.4.3 Jika interval pada Contoh 2.4.1 diperluas menjadi ≤ � ≤ 3 dan dengan mengambil ukuran langkah ℎ = 0.3, ℎ = 0.15, dan ℎ = 0.075, maka dengan menggunakan program Matlab diperoleh hasil sebagai berikut: Gambar 2.4.3 Grafik penyelesaian sejati dan penyelesaian hampiran dengan menggunakan metode Euler Gambar 2.4.3 menunjukkan bahwa ketika ukuran langkah ℎ diperkecil, maka nilai penyelesaian hampiran akan semakin mendekati penyelesaian sejati dari masalah nilai awal yang diberikan. Dengan program Matlab, penghitungan galat total pada titik 0.09 diperoleh hasil sebagai berikut, 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.5 1 1.5 ti p e n y e le s a ia n Grafik Penyelesaian Sejati dan Penyelesaian Hampiran peny.hamp h=0.3 peny.hamp h=0.15 peny.hamp h=0.075 peny.sejati h 0.3 0.15 0.075 Euler 0.2745 0.1325 0.0649 Tabel 2.4.1 Tabel Galat Total Dari Tabel 2.4.1 nampak bahwa ketika ukuran langkah ℎ diperkecil setengah kalinya, maka galat totalnya akan mengecil sekitar setengah kalinya juga. Jadi sesuai dengan Teorema 2.4.1, metode Euler konvergen dengan orde satu, sehingga � � ∝ ℎ galat total sebanding dengan ukuran langkah. 2. Metode Deret Taylor Metode Euler yang dijelaskan sebelumnya disusun dari deret Taylor pada �� � + ℎ di sekitar titik � = � � yang dipotong sampai suku orde dua. Keakuratan penyelesaian hampiran yang dihasilkan oleh metode tersebut dipengaruhi oleh besarnya ukuran langkah yang diambil. Metode tersebut menjadi kurang efektif karena untuk mencapai keakuratan yang baik, maka diperlukan ukuran langkah yang kecil dan berarti diperlukan komputasi yang lebih mahal. Oleh karena itu, dibutuhkan metode yang lebih efektif, yaitu metode deret Taylor dimana bisa menghasilkan penyelesaian hampiran yang lebih akurat ketika diambil ukuran langkah yang sama besar atau penyelesaian hampiran dengan keakuratan sama ketika diambil ukuran langkah yang lebih besar. Diberikan masalah nilai awal � ′ � = ��, �, � � � � = � pada interval � ∈ [� , � � ]. Sebelum masuk ke dalam pembahasan metode deret Taylor orde- � bentuk umum, terlebih dahulu akan dijelaskan mengenai metode deret Taylor orde dua. Ekspansi deret Taylor orde dua adalah sebagai berikut � � + ℎ = � � + ℎ� ′ � + 1 2 ℎ 2 � ′′ � + � 2 � dimana � 2 � = ℎ 3 . Substitusikan � = � � , dan karena � �+1 = � � + ℎ, maka diperoleh � � �+1 = � � � + ℎ� ′ � � + 1 2 ℎ 2 � ′′ � � + ℎ 3 Suku sisa ℎ 3 dapat dibuat sangat kecil sehingga bisa diabaikan. Jadi diperoleh bentuk umum dari metode deret Taylor orde dua � �+1 = � � + ℎ� � ′ + 1 2 ℎ 2 � � ′′ 2.51 dimana � � , � � ′ , dan � � ′′ menyatakan pendekatan terhadap �� � , � ′ � � , dan � ′′ � � . Suku � ′′ � � diperoleh dengan menurunkan persamaan diferensial yang diketahui. Contoh 2.4.4 Gunakan metode Deret Taylor orde dua untuk menyelesaikan masalah nilai awal berikut � ′ � = 1 − 2� � � � 0 = 1 untuk � ∈ 0,4] dengan ℎ = 0.2. Penyelesaian: Hasil perhitungan dengan menggunakan program Matlab ditunjukkan pada Gambar 2.4.4 berikut: Gambar 2.4.4 Grafik penyelesaian sejati dan hampiran dengan metode Deret Taylor orde dua kiri dan grafik galat total kanan Perbandingan keakuratan penyelesaian yang dihasilkan oleh beberapa metode pada tugas akhir ini ditentukan berdasarkan galat total maksimum dan jumlahan galat total, yaitu Galat total maksimum = maks � � �=0 , Jumlahan galat total = � � �=1 , = � � − � ℎ 1 2 3 4 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Grafik Peny.Sejati dan Peny.Hampiran ti p e n y e le s a ia n Taylor sejati 1 2 3 4 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 Grafik Galat Total ti g a la t galat Taylor Berdasarkan Gambar 2.4.2 pada Contoh 2.4.2 dan Gambar 2.4.4 pada Contoh 2.4.4, maka galat total maksimum dan jumlahan galat total dari metode Euler dan Deret Taylor orde dua adalah seperti ditunjukkan dalam tabel di bawah ini. Metode Galat Total Maksimum Jumlahan Galat Total Euler 0.1808 0.9853 Taylor 0.0127 0.0842 Tabel 2.4.2 Tabel Galat Total Maksimum dan Jumlahan Galat Total Tabel 2.4.2 menunjukkan bahwa galat total maksimum dan jumlahan galat total dari metode Deret Taylor orde dua lebih kecil daripada metode Euler. Jadi penyelesaian yang lebih akurat adalah penyelesaian yang dihasilkan oleh metode Deret Taylor orde dua. Selanjutnya akan dijelaskan mengenai metode deret Taylor secara umum. Deret Taylor orde- � pada �� + ℎ beserta dengan suku sisanya adalah sebagai berikut � � + ℎ = � � + ℎ� ′ � + 1 2 ℎ 2 � ′′ � + ⋯ + 1 � ℎ � � � � + � � � 2.52 dimana � � � = 1 �+1 ℎ �+1 � �+1 �, � ∈ �, � + ℎ. Jika ada bilangan positif � sedemikian sehingga � �+1 � ≤ � untuk semua � ∈ � , � � , maka � � � ≤ � �+1 ℎ �+1 , sehingga � � � = ℎ �+1 . Substitusikan � = � � dan dengan mengabaikan suku sisa, maka diperoleh bentuk umum metode deret Taylor metode deret Taylor orde- � sebagai berikut � �+1 = � � + ℎ� � ′ + 1 2 ℎ 2 � � ′′ + ⋯ + 1 � ℎ � � � � 2.53 dimana � � , � � ′ , � � ′′ , ..., � � � menyatakan pendekatan terhadap �� � , � ′ � � , … , � � � � . Berikut ini diberikan lemma yang nanti akan digunakan untuk membuktikan teorema konvergensi dari Metode Deret Taylor. Lemma 2.4.2 � � 1 + � + 1 2 � 2 + ⋯ + 1 � � � 2.54 untuk semua � 0. Bukti: Dibuktikan dengan induksi: Untuk � = 1 � � 1 + � sudah dibuktikan pada Lemma 2.4.1 Jadi 2.54 benar untuk � = 1. Misalkan 2.54 benar untuk � = �, sehingga � � 1 + � + 1 2 � 2 + ⋯ + 1 � � � 2.55 Maka, � � � � 1 + � + 1 2 � 2 + ⋯ + 1 � � � � � � � − � � + 1 2 � 2 + 1 3 � 3 + ⋯ + 1 �+1 � �+1 � � 1 + � + 1 2 � 2 + 1 3 � 3 + ⋯ + 1 �+1 � �+1 Jadi 2.54 benar untuk � = � + 1. Oleh karena itu, terbukti bahwa � � 1 + � + 1 2 � 2 + ⋯ + 1 � � � untuk semua � 0. Teorema 2.4.2 Metode deret Taylor akan diterapkan terhadap masalah nilai awal � ′ � = �� � + �, 0 � ≤ � � � 0 = 1 dimana � ∈ ℂ dan adalah fungsi terdiferensial kontinu � kali. Metode tersebut konvergen dan galat totalnya pada sembarang � ∈ [0, � � ] adalah ℎ � . Bukti: Metode deret Taylor untuk masalah nilai awal tersebut adalah � �+1 = � � + ℎ� � ′ + 1 2 ℎ 2 � � ′′ + ⋯ + 1 � ℎ � � � � 2.56 Dimana � � ′ = �� � + � � � � ′′ = �� � ′ + ′ � � = � 2 � � + � � � + ′ � � … � � � = � � � � + � �−1 � � + � �−2 ′ � � + ⋯ + � �−2 � � + �−1 � � Sementara dengan menggunakan ekspansi deret Taylor adalah � � �+1 = � � � + ℎ� ′ � � + 1 2 ℎ 2 � ′′ � � + ⋯ + 1 � ℎ � � � � � + � �+1 2.57 dimana � ′ � � = ��� � + � � � ′′ � � = �� ′ � � + ′ � � = � 2 �� � + � � � + ′ � � … � � � � = � � � � � + � �−1 � � + � �−2 ′ � � + ⋯ + � �−2 � � + �−1 � � Kemudian kurangkan 2.57 dengan 2.56, maka diperoleh � � �+1 − � �+1 = � � � − � � + ℎ �� � � − �� � + 1 2 ℎ 2 � 2 � � � − � 2 � � + ⋯ + 1 � ℎ � � � � � � − � � � � � �+1 = � � + �ℎ� � + 1 2 �ℎ 2 � � + ⋯ + 1 � �ℎ � � � + � �+1 Misal = 1 + + 1 2 2 + 1 � � , maka untuk = �ℎ diperoleh � �+1 = �ℎ � � + � �+1 Karena � � = � = �, maka � = 0, sehingga untuk � = 0, 1, 2, 3 diperoleh � 1 = �ℎ � + � 1 = � 1 � 2 = �ℎ � 1 + � 2 = �ℎ � 1 + � 2 � 3 = �ℎ � 2 + � 3 = �ℎ 2 � 1 + �ℎ � 2 + � 3 � 4 = �ℎ � 3 + � 4 = �ℎ 3 � 1 + [ �ℎ ] 2 � 2 + �ℎ � 3 + � 4 Maka rumus umumnya adalah � � = �ℎ �−1 � 1 + [ �ℎ ] �−2 � 2 + ⋯ + �ℎ � �−1 + � � = [ �ℎ ] �− � � =1 2.58 Ruas kanan dari 2.58 harus dibatasi agar nilainya mendekati nol ketika ℎ → 0. �ℎ = 1 + �ℎ + 1 2 �ℎ 2 + ⋯ + 1 � �ℎ � ≤ 1 + ℎ � + 1 2 ℎ 2 � 2 + ⋯ + 1 � ℎ � � � Berdasarkan Lemma 2.4.2, maka untuk � = � diperoleh bahwa �ℎ ≤ � ℎ � Dan karena � − ℎ = � �− ≤ � � untuk �ℎ ≤ � � dan ≤ �, maka �ℎ �− ≤ � �− ℎ � = � � � � − ≤ � � � � Kemudian karena � ≤ �ℎ �+1 untuk semua konstanta �, maka � � ≤ �ℎ �+1 �� � � � = ℎ � � � �� � � � Jadi terbukti bahwa � � = ℎ � dan metode deret Taylor konvergen pada orde �. Contoh 2.4.5 Diketahui masalah nilai awal berikut � ′ � = 1 − 2� ��, � 0 � 0 = 1 dimana mempunyai penyelesaian sejati � � = � �−� 2 . Gunakan metode deret Taylor orde dua untuk menyelesaikan masalah nilai awal tersebut dengan mengambil ℎ = 0.3, ℎ = 0.15, dan ℎ = 0.075 pada interval 0 ≤ � ≤ 4. Penyelesaian: Hasil perhitungan dengan menggunakan program Matlab ditunjukkan pada Gambar 2.4.5 di bawah. Jika grafik pada Gambar 2.4.5 dibandingkan dengan grafik pada Gambar 2.4.3, maka untuk nilai ℎ yang sama nampak bahwa penyelesaian hampiran yang dihasilkan oleh metode deret Taylor orde dua lebih akurat dibandingkan yang dihasilkan oleh metode Euler. Dengan program Matlab, penghitungan galat total pada titik 0.09 diperoleh hasil sebagai berikut, H 0.3 0.15 0.075 Taylor 0.0146 0.0027 0.0006 Tabel 2.4.3 Tabel Galat Total Dari Tabel 2.4.3 nampak bahwa ketika ukuran langkah ℎ diperkecil setengah kalinya, maka galat totalnya akan mengecil sekitar seperempat kalinya. Jadi sesuai dengan Teorema 2.4.2, metode Deret Taylor orde dua konvergen dengan orde dua, sehingga � � ∝ ℎ 2 galat total sebanding dengan kuadrat ukuran langkah. Gambar 2.4.5 Grafik penyelesaian sejati dan penyelesaian hampiran dengan menggunakan metode Deret Taylor orde dua 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.5 1 1.5 ti p e n y e le s a ia n Grafik Penyelesaian Sejati dan Penyelesaian Hampiran peny.hamp h=0.3 peny.hamp h=0.15 peny.hamp h=0.075 peny.sejati

BAB III METODE BANYAK LANGKAH LINEAR

A. PENDAHULUAN

Dua metode numerik yang telah dijelaskan pada bab sebelumnya masing- masing mempunyai kelemahan di dalam penerapannya. Kelemahan dari metode Euler yaitu untuk mencapai tingkat keakuratan yang sama dibutuhkan nilai ℎ yang lebih kecil dibandingkan metode deret Taylor, sehingga lebih banyak langkah yang harus diselesaikan. Sedangkan untuk metode deret Taylor yaitu diperlukannya perhitungan turunan-turunan hingga turunan ke- � dari persamaan diferensial yang diketahui. Secara umum kedua metode tersebut tergolong dalam metode satu langkah, yaitu metode yang hanya menggunakan nilai pada satu titik sebelumnya untuk menentukan penyelesaian hampiran pada titik tertentu. Oleh karena itu, pada bab ini akan dijelaskan mengenai metode banyak langkah linear, yaitu metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai awal dimana menggunakan nilai pada beberapa titik sebelumnya untuk menentukan penyelesaian hampiran pada titik tertentu. Pembahasan mengenai metode banyak langkah linear dimulai dengan metode yang lebih sederhana, yaitu metode dua langkah linear.

B. METODE ADAMS-BASHFORTH

Metode dua langkah adalah metode yang menggunakan nilai pada dua titik sebelumnya untuk menentukan penyelesaian hampiran pada titik tertentu. Sebelum masuk ke dalam pembahasan mengenai metode dua langkah linear secara umum, akan dijelaskan terlebih dahulu metode Adams-Bashforth yang tergolong dalam metode dua langkah linear. Penyusunan metode Adams- Bashforth dimulai dengan menggunakan ekspansi deret Taylor berikut � � + ℎ = � � + ℎ�′ � + 1 2 ℎ 2 � ′′ � + ℎ 3 3.1 Kemudian untuk menentukan pendekatan terhadap � ′′ � digunakan ekspansi pada � ′ � − ℎ sebagai berikut � ′ � − ℎ = � ′ � − ℎ� ′′ � + ℎ 2 sehingga ℎ� ′′ � = � ′ � − � ′ � − ℎ + ℎ 2 3.2 Substitusikan 3.2 ke 3.1 sehingga diperoleh � � + ℎ = � � + ℎ�′ � + 1 2 ℎ[� ′ � − � ′ � − ℎ + ℎ 2 ] + ℎ 3 = � � + 3 2 ℎ� ′ � − 1 2 ℎ� ′ � − ℎ + ℎ 3 = � � + 1 2 ℎ[3� ′ � − � ′ � − ℎ ] + ℎ 3 Ketika � = � � dan dengan mengabaikan suku sisa, maka diperoleh rumus dari metode Adams-Bashforth sebagai berikut � �+1 = � � + 1 2 ℎ[3� � ′ − � �−1 ′ ] 3.3 Jika 3.3 disusun ulang dengan indeks terkecil �, maka diperoleh � �+2 = � �+1 + 1 2 ℎ[3� �+1 ′ − � � ′ ] 3.4 Contoh 3.2.1 Gunakan metode Adams-Bashforth untuk menyelesaikan masalah nilai awal berikut � ′ � = 1 − 2� � � � 0 = 1 untuk � ∈ 0,4] dengan ℎ = 0.2. Sedangkan, untuk menentukan satu nilai awal yang dibutuhkan gunakan metode Euler dan deret Taylor orde dua. Kemudian bandingkanlah hasilnya. Penyelesaian: Metode Adams-Bashforth memerlukan nilai pada dua titik sebelumnya untuk menentukan pendekatan pada titik tertentu dan karena masalah nilai awal tersebut hanya menyediakan informasi dari satu titik saja, maka digunakan metode Euler nama metodenya disingkat menjadi ABE dan deret Taylor orde dua nama metodenya disingkat menjadi ABT untuk menentukan satu nilai awal lagi. Hasil perhitungan dengan menggunakan program Matlab ditunjukkan pada Gambar 3.2.1 dan Gambar 3.2.2 di bawah ini: Gambar 3.2.1 Grafik penyelesaian sejati dan hampiran dengan metode ABE kiri, grafik galat total kanan Gambar 3.2.1 dan Gambar 3.2.2 menunjukkan bahwa penyelesaian hampiran yang dihasilkan oleh metode ABT lebih akurat dibandingkan dengan metode ABE. Jika dilihat pada bagian grafik galat total dari kedua metode tersebut nampak bahwa galat total dari metode ABT secara umum lebih kecil dari metode ABE. Jadi agar penyelesaian hampiran yang dihasilkan oleh metode banyak langkah linear akurat, maka perlu juga dipilih metode yang sesuai untuk menentukan nilai awal yang dibutuhkan. 1 2 3 4 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Grafik Peny.Sejati dan Peny.Hampiran ti p e n y e le s a ia n ABE peny.sejati 1 2 3 4 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 Grafik Galat Total ti g a la t galat ABE Gambar 3.2.2 Grafik penyelesaian sejati dan hampiran dengan metode ABT kiri, grafik galat total kanan Berdasarkan Gambar 2.4.2 pada Contoh 2.4.2, Gambar 2.4.4 pada Contoh 2.4.4, Gambar 3.2.1 dan Gambar 3.2.2 pada Contoh 3.2.1, maka galat total maksimum dan jumlahan galat total dari metode Euler, Deret Taylor orde dua, ABE, dan ABT adalah seperti ditunjukkan dalam Tabel 3.2.1 di bawah. Metode Galat Total Maksimum Jumlahan Galat Total Euler 0.1808 0.9853 Taylor 0.0127 0.0842 ABE 0.0517 0.2495 ABT 0.0279 0.1704 Tabel 3.2.1 Tabel Galat Total Maksimum dan Jumlahan Galat Total 1 2 3 4 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Grafik Peny.Sejati dan Peny.Hampiran ti p e n y e le s a ia n ABT peny.sejati 1 2 3 4 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 Grafik Galat Total ti g a la t galat ABT