METODE SATU LANGKAH MASALAH NILAI AWAL DALAM PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
Gambar 2.4.1 Grafik penyelesaian sejati, penyelesaian hampiran,
dan galat total. Dari contoh ini dapat ditunjukkan penurunan metode Euler. Gambar 2.4.1
menunjukkan hampiran pada titik �
�+1
terhadap penyelesaian sejati masalah nilai awal dihitung dengan menggunakan persamaan garis yang melalui titik
�
�
, �
�
dengan gradien �
′ �
sehingga �
�+1
= �
�
+ ℎ�′
�
yang tidak lain merupakan metode Euler.
Contoh 2.4.2
Gunakan metode Euler untuk menyelesaikan masalah nilai awal berikut �
′
� = 1 − 2� � � � 0 = 1, untuk � ∈ 0,4] dengan ℎ = 0.2.
0.2 0.4
0.6 0.8
0.5 1
1.5
a p
e n
y e
le s
a ia
n Grafik Peny.sejati dan Peny.hampiran
peny.numerik peny.sejati
0.2 0.4
0.6 0.8
0.5 1
1.5
b p
e n
y e
le s
a ia
n Grafik Peny.sejati dan Peny.hampiran
peny.numerik peny.sejati
0.2 0.4
0.6 0.8
0.5 1
1.5
c p
e n
y e
le s
a ia
n Grafik Peny.sejati dan Peny.hampiran
peny.numerik peny.sejati
0.2 0.4
0.6 0.8
0.1 0.2
d g
a la
t Grafik Galat Total
galat euler
Penyelesaian: Hasil perhitungan dengan menggunakan program Matlab ditunjukkan pada Gam-
bar 2.4.2 berikut:
Gambar 2.4.2 Grafik penyelesaian sejati dan hampiran dengan metode
Euler kiri dan grafik galat total kanan
Definisi 2.4.1
Metode numerik dikatakan konvergen terhadap penyelesaian �� dari masalah
nilai awal yang diberikan pada � = �
∗
jika galat total �
�
= � �
�
− �
�
pada �
�
= �
∗
+ �ℎ memenuhi
�
�
→ 0 ketika
ℎ → 0. Metode tersebut konvergen pada orde � jika �
�
= ℎ
�
untuk � 0.
1 2
3 4
0.2 0.4
0.6 0.8
1 1.2
1.4 Grafik Peny.Sejati dan Peny.Hampiran
ti p
e n
y e
le s
a ia
n Euler
sejati
1 2
3 4
0.02 0.04
0.06 0.08
0.1 0.12
0.14 0.16
0.18 0.2
Grafik Galat Total
ti g
a la
t galat Euler
Berikut ini diberikan lemma yang nanti akan digunakan dalam pembuktian teorema konvergensi dari Metode Euler.
Lemma 2.4.1
�
�
1 + � untuk semua � 0.
Bukti: Dibuktikan dengan menggunakan fakta bahwa
�
�
1 untuk semua � 0.
Kemudian dengan mengambil integral dari kedua ruasnya pada interval ≤ � ≤ �
dimana � 0, maka diperoleh
�
�
�
�
1 �
�
�
�
− � � − 0
�
�
1 + �
Jadi terbukti bahwa �
�
1 + �.
Teorema 2.4.1
Metode Euler akan diterapkan terhadap masalah nilai awal �
′
� = �� � + �, 0 � ≤ �
�
� 0 = 1 dimana
� ∈ ℂ dan adalah fungsi yang turunannya kontinu. Metode tersebut konvergen dengan galat total pada suatu
� ∈ 0, �
�
adalah ℎ.
Bukti: Metode Euler untuk masalah nilai awal tersebut adalah
�
�+1
= �
�
+ �ℎ�
�
+ ℎ �
�
= 1 + �ℎ �
�
+ ℎ �
�
2.47 Sementara dari ekspansi deret Taylor 2.44 diperoleh
� �
�+1
= � �
�
+ ℎ�
′
�
�
+ �
1
�
�
= � �
�
+ ℎ �� �
�
+ �
�
+ �
1
�
�
= 1 + �ℎ � �
�
+ ℎ �
�
+ �
1
�
�
2.48 Kemudian kurangkan 2.48 dengan 2.47 diperoleh
� �
�+1
= 1 + ℎ� � �
�
+ ℎ �
�
+ �
1
�
�
�
�+1
= 1 + ℎ� �
�
+ ℎ �
�
�
�+1
= 1 + ℎ� �
�
+ �
1
�
�
Selanjutnya untuk menyederhanakan penyimbolan, maka �
1
�
�
diganti dengan �
�+1
, sehingga �
�+1
= 1 + ℎ� �
�
+ �
�+1
2.49 Karena
� =
� � = �, maka �
= 0. Persamaan 2.49 menunjukkan bahwa galat total pada langkah berikutnya
�
�+1
merupakan penjumlahan dari galat pemotongan lokal pada langkah tersebut
�
�+1
dan galat total pada langkah sebelumnya
�
�
. Persamaan tersebut tetap berlaku untuk persamaan diferensial biasa yang lebih umum meskipun nilai
� bervariasi.
Kemudian substitusikan � = 0, 1, 2 ke dalam persamaan 2.49 gunakan �
= 0, maka diperoleh
�
1
= �
1
�
2
= 1 + ℎ� �
1
+ �
2
= 1 + ℎ� �
1
+ �
2
�
3
= 1 + ℎ� �
2
+ �
3
= 1 + ℎ�
2
�
1
+ 1 + ℎ� �
2
+ �
3
Sehingga rumus umumnya adalah �
�
= 1 + ℎ�
�−1
�
1
+ 1 + ℎ�
�−2
�
2
+ ⋯ + �
�
= 1 + ℎ�
�−
�
� =1
2.50 Ruas kanan dari persamaan 2.50 harus dibatasi agar nilainya mendekati nol
ketika ℎ → 0.
Berdasarkan Lemma 2.4.1 dengan � = ℎ � , maka
1 + ℎ� ≤ 1 + ℎ � ≤ �
ℎ �
dan karena � − ℎ = �
�−
≤ �
�
untuk �ℎ ≤ �
�
dan ≤ �, maka
1 + ℎ�
�−
≤ e
n −jℎ �
= e
� �
� −
≤ e
� �
�
. Kemudian karena
� ≤ �ℎ
2
untuk suatu kontanta � tidak bergantung pada ℎ
atau , setiap suku pada ruas kanan persamaan 2.50 dibatasi oleh ℎ
2
�e
� �
�
sehingga �
�
≤ �ℎ
2
��
� �
�
= ℎ�
�
��
� �
�
dengan �ℎ = �
�
. Selama �
�
berhingga, maka �
�
= ℎ dan terbukti bahwa
metode Euler konvergen pada orde pertama.
Contoh 2.4.3
Jika interval pada Contoh 2.4.1 diperluas menjadi ≤ � ≤ 3 dan dengan
mengambil ukuran langkah ℎ = 0.3, ℎ = 0.15, dan ℎ = 0.075, maka dengan
menggunakan program Matlab diperoleh hasil sebagai berikut:
Gambar 2.4.3 Grafik penyelesaian sejati dan penyelesaian hampiran
dengan menggunakan metode Euler Gambar 2.4.3 menunjukkan bahwa ketika ukuran langkah
ℎ diperkecil, maka nilai penyelesaian hampiran akan semakin mendekati penyelesaian sejati dari masalah
nilai awal yang diberikan. Dengan program Matlab, penghitungan galat total pada titik
0.09 diperoleh hasil sebagai berikut,
0.5 1
1.5 2
2.5 3
0.5 1
1.5
ti p
e n
y e
le s
a ia
n Grafik Penyelesaian Sejati dan Penyelesaian Hampiran
peny.hamp h=0.3 peny.hamp h=0.15
peny.hamp h=0.075 peny.sejati
h 0.3
0.15 0.075
Euler 0.2745
0.1325 0.0649
Tabel 2.4.1 Tabel Galat Total
Dari Tabel 2.4.1 nampak bahwa ketika ukuran langkah ℎ diperkecil setengah
kalinya, maka galat totalnya akan mengecil sekitar setengah kalinya juga. Jadi sesuai dengan Teorema 2.4.1, metode Euler konvergen dengan orde satu, sehingga
�
�
∝ ℎ galat total sebanding dengan ukuran langkah.
2. Metode Deret Taylor
Metode Euler yang dijelaskan sebelumnya disusun dari deret Taylor pada ��
�
+ ℎ di sekitar titik � = �
�
yang dipotong sampai suku orde dua. Keakuratan penyelesaian hampiran yang dihasilkan oleh metode tersebut dipengaruhi oleh
besarnya ukuran langkah yang diambil. Metode tersebut menjadi kurang efektif karena untuk mencapai keakuratan yang baik, maka diperlukan ukuran langkah
yang kecil dan berarti diperlukan komputasi yang lebih mahal. Oleh karena itu, dibutuhkan metode yang lebih efektif, yaitu metode deret Taylor dimana bisa
menghasilkan penyelesaian hampiran yang lebih akurat ketika diambil ukuran langkah yang sama besar atau penyelesaian hampiran dengan keakuratan sama
ketika diambil ukuran langkah yang lebih besar. Diberikan masalah nilai awal
�
′
� = ��, �, � � � �
= � pada interval
� ∈ [� ,
�
�
].
Sebelum masuk ke dalam pembahasan metode deret Taylor orde- � bentuk
umum, terlebih dahulu akan dijelaskan mengenai metode deret Taylor orde dua. Ekspansi deret Taylor orde dua adalah sebagai berikut
� � + ℎ = � � + ℎ�
′
� +
1 2
ℎ
2
�
′′
� + �
2
� dimana
�
2
� = ℎ
3
. Substitusikan � = �
�
, dan karena �
�+1
= �
�
+ ℎ, maka
diperoleh � �
�+1
= � �
�
+ ℎ�
′
�
�
+
1 2
ℎ
2
�
′′
�
�
+ ℎ
3
Suku sisa ℎ
3
dapat dibuat sangat kecil sehingga bisa diabaikan. Jadi diperoleh bentuk umum dari metode deret Taylor orde dua
�
�+1
= �
�
+ ℎ�
� ′
+
1 2
ℎ
2
�
� ′′
2.51 dimana
�
�
, �
� ′
, dan �
� ′′
menyatakan pendekatan terhadap ��
�
, �
′
�
�
, dan �
′′
�
�
. Suku �
′′
�
�
diperoleh dengan menurunkan persamaan diferensial yang diketahui.
Contoh 2.4.4
Gunakan metode Deret Taylor orde dua untuk menyelesaikan masalah nilai awal berikut
�
′
� = 1 − 2� � � � 0 = 1
untuk � ∈ 0,4] dengan ℎ = 0.2.
Penyelesaian: Hasil perhitungan dengan menggunakan program Matlab ditunjukkan pada
Gambar 2.4.4 berikut:
Gambar 2.4.4 Grafik penyelesaian sejati dan hampiran dengan metode
Deret Taylor orde dua kiri dan grafik galat total kanan Perbandingan keakuratan penyelesaian yang dihasilkan oleh beberapa
metode pada tugas akhir ini ditentukan berdasarkan galat total maksimum dan jumlahan galat total, yaitu
Galat total maksimum = maks
�
� �=0
, Jumlahan galat total
= �
� �=1
, =
�
�
− � ℎ
1 2
3 4
0.2 0.4
0.6 0.8
1 1.2
1.4 Grafik Peny.Sejati dan Peny.Hampiran
ti p
e n
y e
le s
a ia
n Taylor
sejati
1 2
3 4
0.02 0.04
0.06 0.08
0.1 0.12
0.14 0.16
0.18 0.2
Grafik Galat Total
ti g
a la
t galat Taylor
Berdasarkan Gambar 2.4.2 pada Contoh 2.4.2 dan Gambar 2.4.4 pada Contoh 2.4.4, maka galat total maksimum dan jumlahan galat total dari metode
Euler dan Deret Taylor orde dua adalah seperti ditunjukkan dalam tabel di bawah ini.
Metode Galat Total Maksimum
Jumlahan Galat Total
Euler 0.1808
0.9853 Taylor
0.0127 0.0842
Tabel 2.4.2 Tabel Galat Total Maksimum dan Jumlahan Galat Total
Tabel 2.4.2 menunjukkan bahwa galat total maksimum dan jumlahan galat total dari metode Deret Taylor orde dua lebih kecil daripada metode Euler. Jadi
penyelesaian yang lebih akurat adalah penyelesaian yang dihasilkan oleh metode Deret Taylor orde dua.
Selanjutnya akan dijelaskan mengenai metode deret Taylor secara umum. Deret Taylor orde-
� pada �� + ℎ beserta dengan suku sisanya adalah sebagai berikut
� � + ℎ = � � + ℎ�
′
� +
1 2
ℎ
2
�
′′
� + ⋯ +
1 �
ℎ
�
�
�
� + �
�
� 2.52 dimana
�
�
� =
1 �+1
ℎ
�+1
�
�+1
�, � ∈ �, � + ℎ. Jika ada bilangan positif � sedemikian sehingga
�
�+1
� ≤ � untuk semua � ∈ � ,
�
�
, maka �
�
� ≤
� �+1
ℎ
�+1
, sehingga
�
�
� = ℎ
�+1
. Substitusikan
� = �
�
dan dengan mengabaikan suku sisa, maka diperoleh bentuk umum metode deret Taylor metode deret Taylor orde-
� sebagai berikut
�
�+1
= �
�
+ ℎ�
� ′
+
1 2
ℎ
2
�
� ′′
+ ⋯ +
1 �
ℎ
�
�
� �
2.53 dimana
�
�
, �
� ′
, �
� ′′
, ..., �
� �
menyatakan pendekatan terhadap ��
�
, �
′
�
�
, … , �
�
�
�
.
Berikut ini diberikan lemma yang nanti akan digunakan untuk membuktikan teorema konvergensi dari Metode Deret Taylor.
Lemma 2.4.2
�
�
1 + � +
1 2
�
2
+ ⋯ +
1 �
�
�
2.54 untuk semua
� 0.
Bukti: Dibuktikan dengan induksi:
Untuk � = 1
�
�
1 + � sudah dibuktikan pada Lemma 2.4.1
Jadi 2.54 benar untuk � = 1.
Misalkan 2.54 benar untuk � = �, sehingga
�
�
1 + � +
1 2
�
2
+ ⋯ +
1 �
�
�
2.55 Maka,
�
�
�
�
1 + � +
1 2
�
2
+ ⋯ +
1 �
�
�
�
�
�
�
− � � +
1 2
�
2
+
1 3
�
3
+ ⋯ +
1 �+1
�
�+1
�
�
1 + � +
1 2
�
2
+
1 3
�
3
+ ⋯ +
1 �+1
�
�+1
Jadi 2.54 benar untuk � = � + 1.
Oleh karena itu, terbukti bahwa �
�
1 + � +
1 2
�
2
+ ⋯ +
1 �
�
�
untuk semua � 0.
Teorema 2.4.2
Metode deret Taylor akan diterapkan terhadap masalah nilai awal �
′
� = �� � + �, 0 � ≤ �
�
� 0 = 1 dimana
� ∈ ℂ dan adalah fungsi terdiferensial kontinu � kali. Metode tersebut konvergen dan galat totalnya pada sembarang
� ∈ [0, �
�
] adalah ℎ
�
.
Bukti: Metode deret Taylor untuk masalah nilai awal tersebut adalah
�
�+1
= �
�
+ ℎ�
� ′
+
1 2
ℎ
2
�
� ′′
+ ⋯ +
1 �
ℎ
�
�
� �
2.56 Dimana
�
� ′
= ��
�
+ �
�
�
� ′′
= ��
� ′
+
′
�
�
= �
2
�
�
+ � �
�
+
′
�
�
… �
� �
= �
�
�
�
+ �
�−1
�
�
+ �
�−2 ′
�
�
+ ⋯ + �
�−2
�
�
+
�−1
�
�
Sementara dengan menggunakan ekspansi deret Taylor adalah � �
�+1
= � �
�
+ ℎ�
′
�
�
+
1 2
ℎ
2
�
′′
�
�
+ ⋯ +
1 �
ℎ
�
�
�
�
�
+ �
�+1
2.57 dimana
�
′
�
�
= ���
�
+ �
�
�
′′
�
�
= ��
′
�
�
+
′
�
�
= �
2
��
�
+ � �
�
+
′
�
�
… �
�
�
�
= �
�
� �
�
+ �
�−1
�
�
+ �
�−2 ′
�
�
+ ⋯ + �
�−2
�
�
+
�−1
�
�
Kemudian kurangkan 2.57 dengan 2.56, maka diperoleh � �
�+1
− �
�+1
= � �
�
− �
�
+ ℎ �� �
�
− ��
�
+
1 2
ℎ
2
�
2
� �
�
− �
2
�
�
+ ⋯ +
1 �
ℎ
�
�
�
� �
�
− �
�
�
�
�
�+1
= �
�
+ �ℎ�
�
+
1 2
�ℎ
2
�
�
+ ⋯ +
1 �
�ℎ
�
�
�
+ �
�+1
Misal = 1 + +
1 2
2
+
1 �
�
, maka untuk =
�ℎ diperoleh �
�+1
= �ℎ �
�
+ �
�+1
Karena � �
= � =
�, maka � = 0, sehingga untuk
� = 0, 1, 2, 3 diperoleh �
1
= �ℎ �
+ �
1
= �
1
�
2
= �ℎ �
1
+ �
2
= �ℎ �
1
+ �
2
�
3
= �ℎ �
2
+ �
3
= �ℎ
2
�
1
+ �ℎ �
2
+ �
3
�
4
= �ℎ �
3
+ �
4
= �ℎ
3
�
1
+ [ �ℎ ]
2
�
2
+ �ℎ �
3
+ �
4
Maka rumus umumnya adalah �
�
= �ℎ
�−1
�
1
+ [ �ℎ ]
�−2
�
2
+ ⋯ + �ℎ �
�−1
+ �
�
= [ �ℎ ]
�−
�
� =1
2.58 Ruas kanan dari 2.58 harus dibatasi agar nilainya mendekati nol ketika
ℎ → 0. �ℎ = 1 + �ℎ +
1 2
�ℎ
2
+ ⋯ +
1 �
�ℎ
�
≤ 1 + ℎ � +
1 2
ℎ
2
�
2
+ ⋯ +
1 �
ℎ
�
�
�
Berdasarkan Lemma 2.4.2, maka untuk � = � diperoleh bahwa
�ℎ ≤ �
ℎ �
Dan karena � − ℎ = �
�−
≤ �
�
untuk �ℎ ≤ �
�
dan ≤ �, maka
�ℎ
�−
≤ �
�− ℎ �
= �
� �
� −
≤ �
� �
�
Kemudian karena � ≤ �ℎ
�+1
untuk semua konstanta �, maka
�
�
≤ �ℎ
�+1
��
� �
�
= ℎ
�
�
�
��
� �
�
Jadi terbukti bahwa �
�
= ℎ
�
dan metode deret Taylor konvergen pada orde �.
Contoh 2.4.5
Diketahui masalah nilai awal berikut �
′
� = 1 − 2� ��, � 0 � 0 = 1
dimana mempunyai penyelesaian sejati � � = �
�−�
2
. Gunakan metode deret Taylor orde dua untuk menyelesaikan masalah nilai awal tersebut dengan
mengambil ℎ = 0.3, ℎ = 0.15, dan ℎ = 0.075 pada interval 0 ≤ � ≤ 4.
Penyelesaian: Hasil perhitungan dengan menggunakan program Matlab ditunjukkan pada
Gambar 2.4.5 di bawah. Jika grafik pada Gambar 2.4.5 dibandingkan dengan grafik pada Gambar 2.4.3, maka untuk nilai
ℎ yang sama nampak bahwa penyelesaian hampiran yang dihasilkan oleh metode deret Taylor orde dua lebih
akurat dibandingkan yang dihasilkan oleh metode Euler. Dengan program Matlab, penghitungan galat total pada titik
0.09 diperoleh hasil sebagai berikut,
H 0.3
0.15 0.075
Taylor 0.0146
0.0027 0.0006
Tabel 2.4.3 Tabel Galat Total
Dari Tabel 2.4.3 nampak bahwa ketika ukuran langkah ℎ diperkecil setengah
kalinya, maka galat totalnya akan mengecil sekitar seperempat kalinya. Jadi sesuai dengan Teorema 2.4.2, metode Deret Taylor orde dua konvergen dengan orde dua,
sehingga �
�
∝ ℎ
2
galat total sebanding dengan kuadrat ukuran langkah.
Gambar 2.4.5 Grafik penyelesaian sejati dan penyelesaian hampiran
dengan menggunakan metode Deret Taylor orde dua
0.5 1
1.5 2
2.5 3
0.5 1
1.5
ti p
e n
y e
le s
a ia
n Grafik Penyelesaian Sejati dan Penyelesaian Hampiran
peny.hamp h=0.3 peny.hamp h=0.15
peny.hamp h=0.075 peny.sejati