STABIL NOL STABILITAS DAN KONVERGENSI
untuk suatu nilai � pada contoh sebelumnya � = −5. Suatu metode dengan
polinomial karakteristik tersebut ketika diterapkan ke dalam �
′
� = 0 akan memberikan penyelesaian umum dalam bentuk
�
�
= +
�
�
Oleh karena itu nilai � harus dibatasi supaya �
�
tidak menuju tak hingga ketika � → ∞, yaitu � ≤ 1. Selanjutnya akan diberikan contoh yang akan semakin
melengkapi pembatasan nilai � sehingga metode banyak langkah linear adalah
konvergen dan penyelesaian hampiran yang dihasilkan oleh metode tersebut juga akan konvergen.
Contoh 4.1.2
Selidikilah konvergensi dari metode tiga langkah linear berikut �
�+3
+ �
�+2
− �
�+1
− �
�
= 4 ℎ�
� ′
ketika diterapkan ke dalam masalah nilai awal �
′
� = 0, � 0 = 1 dengan nilai awal
� = 1,
�
1
= 1 − ℎ, dan �
2
= 1 − 2ℎ.
Penyelesaian: Konsistensi dari metode tersebut telah diselidiki pada Contoh 3.4.1 dan terbukti
bahwa metode tersebut adalah konsisten dengan orde � = 1.
Berdasarkan masalah nilai awal yang diketahui, maka metode tersebut menjadi �
�+3
+ �
�+2
− �
�+1
− �
�
= 0 4.11 yang mempunyai persamaan tambahan
3
+
2
− − 1 = − 1 + 1
2
sehingga penyelesaian umumnya adalah �
�
= + +
��−1
�
4.12 Nilai-nilai awal
� = 1,
�
1
= 1 − ℎ, dan �
2
= 1 − 2ℎ mengakibatkan
i 1 = +
ii 1 − ℎ = − − �
iii 1 − 2ℎ = + + 2�
Kemudian dari ketiga persamaan tersebut dapat dicari nilai , , dan � sebagai
berikut Dari i diperoleh
1 = +
= 1 − 4.13
Dari ii diperoleh 1
− ℎ = − − � 1
− ℎ = 1 − − − � 1
− ℎ = 1 − 2 − � 4.14 Dari iii diperoleh
1 − 2ℎ = 1 − + + 2�
1 − 2ℎ = 1 + 2�
−2ℎ = 2� � = −ℎ
Kemudian substitusikan nilai � = −ℎ ke 4.14, sehingga diperoleh
1 − ℎ = 1 − 2 + ℎ
−2ℎ = −2 =
ℎ Terakhir, substitusikan nilai
= ℎ ke 4.13, maka
= 1 − ℎ
Jadi diperoleh nilai = 1
− ℎ, =
ℎ, dan � = −ℎ, sehingga ketika disubstitusikan ke 4.12 menghasilkan
�
�
= 1 − ℎ + ℎ + −ℎ�−1
�
�
�
= 1 − ℎ + ℎ − �ℎ−1
�
Karena �ℎ = �
�
, maka diperoleh penyelesaian umum dari persamaan homogen 4.11 yaitu
�
�
= 1 − ℎ + −1
�
ℎ − �
�
4.15 Penyelesaian sejati dari masalah nilai awal tersebut adalah
� � = 1. Saat � = �
∗
= 1, maka � 1 = 1, sementara �
�
− 1 + ℎ = 1 − ℎ untuk semua nilai ℎ dengan
�
∗
= �ℎ = 1. Galat totalnya adalah � 1 − �
�
→ 1 dan tidak mendekati nol ketika
ℎ → 0. Oleh karena itu, metode tersebut konsisten tetapi tidak konvergen.
Contoh 4.1.2 menunjukkan bahwa meskipun akar-akar dari polinomial karakteristik pertama suatu metode banyak langkah linear memenuhi syarat
� ≤ 1 ternyata metode tersebut tetap tidak konvergen. Oleh karena itu,
selanjutnya akan diberikan definisi yang akan melengkapi batasan untuk akar-akar polinomial tersebut.
Definisi 4.1.2
Suatu polinomial dikatakan memenuhi syarat akar jika semua akarnya terletak di dalam atau pada lingkaran satuan, yaitu
≤ 1 dan jika = 1, maka multiplisitas akarnya adalah satu.
Definisi 4.1.3
Suatu metode banyak langkah linear dikatakan stabil nol jika polinomial karakteristik pertamanya
� memenuhi syarat akar.
Contoh 4.1.3
a. Metode Euler �
�+1
= �
�
+ ℎ�
� ′
mempunyai polinomial karakteristik pertama � = − 1 dengan akar = 1. Jadi metode tersebut adalah stabil nol.
b. Metode Adams-Bashforth �
�+2
= �
�+1
+
1 2
ℎ3�
�+1 ′
− �
� ′
mempunyai polinomial karakteristik pertama
� =
2
− , sehingga akar-akarnya adalah
1
= 0 dan
2
= 1. Jadi metode tersebut adalah stabil nol. c.
Metode tiga
langkah �
�+3
+ �
�+2
− �
�+1
− �
�
= 2 ℎ�
�+2 ′
+ �
�+1 ′
mempunyai polinomial karakteristik pertama � =
3
+
2
− − 1, sehingga akar-akarnya adalah
1
= −1,
2
= −1, dan
3
= 1. Akar
1
dan
2
keduanya terletak pada lingkaran satuan, maka metode tersebut tidak stabil nol.
d. Metode tiga langkah 11�
�+3
+ 27 �
�+2
− 27�
�+1
− 11�
�
= 3 ℎ�
�+3 ′
+ 9
�
�+2 ′
+ 9 �
�+1 ′
+ �
� ′
mempunyai polinomial karakteristik � = 11
3
+ 27
2
− 27 − 11. Akar-akar polinomial tersebut adalah
1
= 1,
2
= −0.32,
dan
3
= −3.14. Jadi
3
1, sehingga metode tersebut tidak stabil nol.