3 Metoda dasar aproksimasi
Kecuali untuk kasus yang sangat sederhana seperti pada sebuah atom hidrogen, persamaan dasar mekanika kuantum tidak dapat diselesaikan secara langsung. Ini akan menyebabkan metoda aproksimasi
harus digunakan untuk menerapkan mekanika kuantum dalam berbagai masalah. Metoda-metoda yang digunakan dan juga ketelitian yang diperlukan sangat bergantung pada masalah yang perlu dipecahkan.
Dalam bab ini, kita akan mempelajari metoda aproksimasi yang sangat penting dan berguna.
3.1 Teori gangguan
Jika sebuah persamaan sangat sulit untuk dipecahkan secara langsung, solusi sebenarnya dapat dicari melalui solusi aproksimasi dari sebuah persamaan yang disederhanakan dengan kondisi bahwa
solusi aproksimasi itu diketahui atau dapat dengan mudah diperoleh. Cara yang demikian itu, berdasarkan teori gangguan, sering digunakan untuk perhitungan-perhitungan dalam teori kuantum. Teori gangguan
diterapkan pada banyak masalah untuk memperkirakan perubahan tingkat-tingkat dan fungsi gelombang yang berhubungan dengan tambahan variasi yang disebabkan oleh interaksi antar partikel dan juga
medan listrik atau magnet.
3.1.1 Teori gangguan
Pada persamaan-persamaan dalam mekanika kuantum, suku tambahan
ˆ H
yang terdapat dalam operator Hamiltonian
Hˆ
disebut sebagai sebuah gangguan. Sebuah sistem tanpa gangguan disebut sebagai sistem yang tidak terganggu. Dengan mengasumsikan bahwa solusi
dari persamaan eigen
untuk Hamiltonian yang tidak terganggu diketahui, marilah kita
mencari untuk memperoleh solusi dari persamaan eigen
} ,
{
i i
E Ψ
ˆ Ψ
= Ψ
E H
ˆ ˆ
ˆ H
H H
− =
} ,
{
n n
E Ψ
Ψ =
Ψ E Hˆ
untuk Hamiltonian yang terdapat gangguan
.
ˆ ˆ
ˆ H
H H
+ =
Pertama, marilah kita memperkenalkan sebuah gangguan dengan parameter λ yang
mengindikasikan besarnya gangguan. Berikutnya kita melakukan ekspansi terhadap ke dalam suku-
suku dari fungsi gelombang yang merupakan solusi sistem yang tidak terganggu .
V H
ˆ ˆ
λ =
n
Ψ }
{
i
Ψ
1 3 1
3.1
∑
Ψ =
Ψ
i i
in n
c
Dengan memasukkan ke dalam persamaan eigen
V H
H ˆ
ˆ ˆ
λ +
= Hˆ
, diikuti dengan menggunakan persamaan yang telah diekspansi untuk
dan persamaan eigen untuk
n
Ψ ˆ
H
, akan menghasilkan
} ˆ
{
i i
i in
n i
i in
c E
V E
c Ψ
= Ψ
+
∑ ∑
λ
3.2
Perlu dicatat bahwa sebuah sistem ortonormal dapat digunakan secara umum untuk , dengan
melakukan perkalian pada sisi sebelah kiri dengan dan kemudian melakukan proses integrasi akan
memberikan persamaan berikut.
} {
i
Ψ
i
Ψ
3.3
∑
= +
i n
jn ji
in j
jn
E c
V c
E c
λ
ji
V
adalah sebuah integral untuk seluruh koordinat yang direpresentasikan oleh q, yang diberikan oleh persamaan berikut.
3.4
∫
Ψ Ψ
= dq
V V
i j
ji
ˆ
Kuantitas dapat dihitung ketika
dan juga operator yang merepresentasikan gangguan
V
diberikan. dituliskan sebagai
dan disebut sebagai elemen matriks
ji
V }
{
i
Ψ ˆ
V ˆ
ji
λ
ˆ
ji
H ji
dari gangguan.
∫
Ψ Ψ
= dq
H H
i j
ji
ˆ
∫
Ψ Ψ
= dq
V
i j
ˆ
λ
3.5
ji
V
λ
=
Persamaan ini akan kemudian akan digunakan untuk merumuskan teori gangguan.
1 3 2
Persamaan 3.3 adalah sebuah persamaan untuk memperoleh nilai eigen energi dan
yang akan menentukan fungsi gelombang . Dalam usaha untuk memecahkan persamaan ini sedekat
mungkin, marilah kita melakukan ekspansi pada dan
ke dalam deret pangkat dari λ
n
E }
{
in
c
n
Ψ
in
c
n
E
3.6
⋅ ⋅
⋅ +
+ +
=
2 in
in in
in
c c
c c
λ λ
⋅ ⋅
⋅ +
+ +
=
2 n
n n
n
E E
E E
λ λ
3.7 Ketika
tidak memiliki degenerasi, kita memperoleh 1 untuk
n
E
in
δ =
c
in
n i
=
, 0 untuk
n i
=
, karena untuk
→ λ
, berkaitan dengan
. Karenanya, suku pertama dalam ekspansi berkaitan dengan sistem yang tidak terganggu dan suku kedua adalah koreksi terhadap gangguan dengan
memasukkan ekspansi di atas, yaitu persamaan 3.6 3.7 ke dalam persamaan 3.3, diikuti dengan mengatur suku dengan pangkat lebih rendah dari λ dari kiri, kita memperoleh
n n
Ψ →
Ψ
n n
E E
→
3.8
2
= ⋅
⋅ ⋅
+ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ −
− +
−
∑
E E
c c
V E
V
n n
nn i
in ni
n nn
λ λ
Dengan mengabaikan suku kedua dan suku yang memiliki pangkat lebih tinggi, kita memperoleh hasil sebagai berikut untuk orde pertama dari koreksi terhadap energi.
nn n
V E
=
3.9 Hal ini akan memberikan rumus untuk energi pada orde pertama dari gangguan dan diberikan oleh
nn n
nn n
n
H E
V E
E +
= +
=
λ
∫
Ψ +
= dq
} H
H {
Ψ
n n
ˆ ˆ
∫
= dq
Ψ H
Ψ
n n
ˆ
3.10 Persamaan terakhir memberikan indikasi bahwa nilai ekspektasi dari operator Hamiltonian yang mengan
dung gangguan dalam fungsi gelombang yang tidak terganggu akan menghasilkan energi pada orde
pertama dari gangguan.
n
Ψ
1 3 3
Dengan meninjau kontribusi kedua dari λ kita akan memperoleh persamaan berikut.
3.11
∑
≠
=
n i
i in
ni n
c V
E
Dari suku orde pertama dari λ dalam persamaan 3.3 dan dengan memasukkan persamaan yang sudah terekspansi,
dapat ditulis sebagai berikut.
n c
in
≠ 1
E E
V c
i n
in in
− =
n i
≠
3.12
Dengan menggunakan persamaan ini pada persamaan 3.11 kita menuliskan
E E
V V
E
n i
i i
n in
ni in
∑
≠
− =
3.13
Dengan menggunakan hasil-hasil di atas, kita akan mendapatkan rumus-rumus berikut untuk aproksimasi dari
hingga ke gangguan orde kedua.
} ,
{
n n
E Ψ
∑
≠
− +
+ =
n i
i i
n in
ni nn
n n
E E
H H
H E
E
3.14
i n
i i
i n
in n
n
E E
H Ψ
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− +
Ψ =
Ψ
∑
≠
3.15
Contoh 3.1
Buktikan bahwa koreksi gangguan orde kedua pada energi yang disebabkan oleh keadaan energi yang lebih rendah selalu positif, sementara untuk yang disebabkan oleh keadaan energi
yang lebih tinggi selalu negatif. Harus dicatat bahwa , di mana menyatakan kompleks
konjugat persamaan 1.37.
ˆ ˆ
in ni
H H
=
Jawaban
Koreksi gangguan orde kedua untuk energi keadaan ke-n dinyatakan oleh
1 3 4
∑
≠
− =
2
n i
i i
n in
ni n
E E
H H
E
Dengan menggunakan dan mencatat bahwa
ˆ ˆ
in ni
H H
=
2 in
H
, kita akan memperoleh
2
| |H
H H
H H
in in
in n
i ni
= =
Ini berarti bahwa pembilang dalam ekspresi untuk akan selalu positif. Ini akan memberikan
kondisi bahwa kontribusi-kontribusi yang disebabkan oleh keadaan energi yang lebih rendah adalah selalu positif.
2
n
E
E iE
n i
−
i n
in ni
E E
H H
Juga, kontribusi-kontribusi yang diberikan oleh keadaan-keadaan energi yang lebih tinggi selalu negatif.
E iE
n i
−
i n
in ni
E E
H H
3.1.2 Teori gangguan untuk keadaan terdegenerasi
