Tabel 1.3.
Harmonik sperikal
,
,
φ θ
m l
Y
π
4 1
,
= Y
φ
θ π
2 2
2 ,
2
sin 32
15
i
e Y
± ±
=
θ π
cos 4
3
, 1
= Y
cos 3
cos 5
16 7
3 ,
3
θ θ
π
− =
Y
φ
θ π
i
e Y
± ±
= sin
8 3
1 ,
1 φ
θ θ
π
i
e Y
± ±
− =
sin 1
cos 5
64 21
2 1
, 3
1 cos
3 16
5
2 ,
2
− =
θ π
Y
φ
θ θ
π
2 2
2 ,
3
sin cos
32 105
i
e Y
± ±
=
φ
θ θ
π
i
e Y
± ±
= cos
sin 8
15
1 ,
2 φ
θ π
3 3
3 ,
3
sin 64
35
i
e Y
± ±
=
1.14 Nilai terukur dan nilai ekpektasi
Nilai-nilai eigen nilai eigen energi yang memenuhi persamaan gelombang untuk keadaan stasioner adalah energi dari sistem yang dimungkinkan untuk dimiliki oleh sistem dan dinamakan tingkat
energi. Karenanya, nilai energi yang terukur untuk keadaan stasioner harus sesuai dengan nilai eigen energi. Dengan kata lain setiap nilai yang berbeda dari nilai eigen energi tidak dapat diukur secara prisnsip,
kecuali untuk perbedaan yang disebabkan oleh kesalahan eksperimental. Bagaimana dengan nilai eigen dari momentum dan nilai eigen dari momentum sudut? Ini telah dikonfirmasi dengan eksperimen bahwa
nilai yang mungkin yang akan diukur sebagai sebuah kuantitas fisika haruslah sebuah nilai eigen dari operator yang dapat diamati.
Jika sebuah sistem berada dalam keadaan stasioner, energinya harus merupakan sebuah nilai yang tertentu, kapanpun dia diamati. Ini dikarenakan fungsi gelombang yang merepresentasikan sebuah
keadaan dari sistem adalah sebuah fungsi eigen tertentu yang berkaitan dengan nilai eigen tersebut.
6 8
Momentum atau momentum sudut tidak selalu tertentu dan nilai yang terukur dapat saja berbeda. Ini berkaitan dengan sifat dari fungsi elombang yang tidak harus sama atau proporsional dengan fungsi
eigen tertentu dari momentum atau momentum sudut. Penyelidikan secara teori kuantum terhadap ketidakpastian dalam kuantitas yang terukur akan
memberikan aturan-aturan sebagai berikut. 1 Fungsi gelombang
dapat diekspresikan dalam bentuk berikut ini yang merupakan kombinasi linier dari
{
yang merupakan fungsi eigen dari suatu kuantitas fisik F.
, t
q Ψ
}
i
φ
1.103
∑
= Ψ
i i
i
q t
c t
q ,
φ
Di sini, persamaan eigen untuk F diberikan dengan 1.104
ˆ q
f q
F
i i
i
φ φ
=
2 Nilai yang terukur dari sebuah kuantitas fisik F haruslah berkesesuaian dengan satu nilai eigen untuk operatornya
Fˆ
. Probabilitas untuk menemukan nilai eigen ke-i, diberikan oleh
kuadrat dari koefisien ke-i, dalam ekspansi yang ditulis di atas dalam bentuk fungsi eigen yang ternormalisasi
{
.
i
f P
i
f
i
c
}
i
φ
2 i
i
c a
f P
=
1.105 Karena probabilitas total haruslah sama dengan suatu satuan
∑
1.106
=
i i
f P
1
Kemudian konstanta a pada persamaan 1.105 harus dinormalisasi dengan cara sebagai berikut.
∑
=
i i
c a
2
1
1.107
Dari kedua aturan di atas, rata-rata dari nilai terukur
f
diharapkan diberikan oleh rumusan berikut ini.
6 9
∑
=
i i
i
f P
f f
1.108
Nilai pada sisi sebelah kanan pada persamaan ini ditentukan oleh besaran dari koefisien ekspansi
{ }
i
c
yang merepresentasikan jumlah dari masing-masing komponen yang termasuk dalam Ψ. Jika seluruh kecuali untuk
adalah 0, kemudian
1 ≠
i c
i
1 =
i c
i i
f f
=
. Dalam kasus ini, Ψ adalah keadaan asli dari , yang terdiri dari hanya fungsi eigen yang pertama dan
untuk sementara
untuk . Ketika suatu nilai eigen yang berasal dari seluruh nilai eigen
1 1
φ c
= Ψ
1
1
= f
P 1
= i
=
i
f P
1 ≠
i
i
f
{ }
i
f
dari
Fˆ
adalah selalu diamati, keadaan Ψ adalah keadaan eigen dari suatu besaran fisis F dan kuantitas fisis ini selalu memiliki suatu nilai . Di lain pihak untuk kasus-kasus yang lebih umum dari keadaan yang
tercampur yang mana Ψ mengandung beberapa komponen dari himpunan
f
{ }
i
c
, nilai yang terukur akan terdistribusi pada nilai eigen yang berbeda daripada memiliki nilai tetap pada suatu nilai tertentu.
Rata-rata dari nilai yang dapat terukur
f
dapat langsung dihitung dengan nilai ekspektasi dari mekanika kuantum
F
dan didefinisikan oleh rumus berikut.
∫ ∫
Ψ Ψ
Ψ Ψ
= dq
dq F
F ˆ
1.109
Proses integrasi harus dilakukan untuk seluruh variabel yang disimbolkan dengan q pada seluruh daerah dari variabel Ψ. Ketika Ψ telah dinormalisasi, penyebut menjadi satu dan dengan demikian hal ini dapat
diabaikan.
1.15 Hubungan komutasi dan prinsip ketidakpastian
