Sebelum mengakhiri bagian ini, adalah penting untuk mencatat bahwa pentingnya persamaan gelombang pada mekanika kuantum.
1 Keadaan dari sebuah sistem dinyatakan dengan fungsi gelombang. 2 Probabilitas sebiuah partikel akan ditemukan pada sebuah posisi adalah sebanding dengan
kuadrat dari nilai absolut persamaan gelombang. 3 Fungsi gelombang akan memiliki perubahan terhadap waktu mengikuti persamaan.
Ψ =
∂ Ψ
∂ H
t ih
ˆ
1.9 Keadaan stasioner dan persamaan nilai eigen
Jika energi E bebas terhadap waktu t, probabilitas untuk menemukan sebuah partikel juga akan bebas terhadap waktu t. Keadaan yang bebas terhadap waktu disebut sebagai keadaan stasioner. Ketika
energi E adalah konstan, tidak bergantung dengan waktu, maka persamaan 1.28 akan mudah untuk diintegrasi terhadap waktu untuk menghasilkan persamaan berikut
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛ −
= Ψ
h Et
i x
t x
exp ,
ψ
1.39
Simbol ψx adalah konstanta integrasi yang muncul dari integrasi terhadap waktu t dan dengan demikian ψx akan bebas terhadap waktu meskipun ia akan bergantung pada posisi x. Meskipun fungsi
gelombang untuk keadaan stasioner
, t
x Ψ
dalam persamaan 1.39 berosilasi sebagai sebuah fungsi terhadap t, kuadrat dari nilai absolut dari
, t
x Ψ
, yang merupakan produk dari akan
tetap konstan.
, ,
t x
t x
Ψ ∗
Ψ
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⋅ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ − =
Ψ h
h Et
i x
Et i
x t
x exp
exp ,
2
ψ ψ
4 0
2
x x
x
ψ ψ
ψ
= ⋅
=
1.40 Karenanya, probabilitas untuk menemukan sebuah partikel dalam keadaan stasioner adalah bebas
terhadap waktu t dan menghasilkan perhitungan yang sama bahkan jika fungsi ψx yang bebas terhadap waktu itu digunakan untuk mengantikan
, t
x Ψ
. Dengan demikian ψx disebut sebagai fungsi gelombang dari keadaan stasioner. Dengan memasukkan
, t
x Ψ
pada persamaan 1.39 ke dalam persamaan gelombang 1.35 dan kemudian melakukan pengaturan pada perumusan tersebut kita akan
mendapatkan
exp ˆ
= ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ − −
h Et
i E
H
ψ ψ
Sehingga persamaan berikut merupakan fungsi gelombang dari keadaan stasioner ψx dan dinyatakan dengan
1.41
ψ ψ
E H
= ˆ
Persamaan ini disebut sebagai persamaan Schrödinger untuk keadaan stasioner atau persamaan Schrödinger bebas waktu.
Contoh 1.10
Tuliskan persamaan Shrödinger bebas waktu untuk sebuah osilator harmonik satu dimensi yang mengandung sebuah partikel dengan masa m dan bergerak sepanjang sumbu-x di bawah
pengaruh gaya potensial
2
2 1
kx x
U =
k 0.
Jawaban
Persamaan Schrödinger bebas waktu dinyatakan sebagai . Dalam kasus ini
gerak partikel dibatasi hanya pada sumbu-x, sehingga fungsi gelombang adalah sebuah fungsi terhadap x dan direpresentasikan sebagai
ψ ψ
E H
= ˆ
x
ψ ψ
=
. Hamiltonian
Hˆ
yang ada pada sistem ini ada pada sistem ini diperoleh dari fungsi Hamilton H yang terdiri dari penjumlahan atas energi kinetik dan energi potensial.
Untuk sistem ini, momentum p dari partikel akan menjadi energi kinetik dan energi potensialnya
adalah
m p
2
2 2
2 1
kx
dan kita akan mendapatkan
4 1
2 2
2 1
2 kx
m p
H +
=
Dengan demikian Hamiltonian
Hˆ
dapat diturunkan dengan mudah hanya dengan mengganti momentum p dengan operator
x i
p ∂
∂ −
= ˆ
h
dalam ekspresi terhadap H. Penggantian ini harus dilakukan dua kali untuk
dan kita akan mendapatkan m
p 2
2
2 2
2 2
2 2
1 x
m x
i m
∂ ∂
− =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
∂ ∂
− h
h
Energi potensial
2
2 1
kx
dapat digunakan langsung karena tidak mengan dung momentum p. Karenanya Hamiltonian
Hˆ
dapat dinyatakan sebagai berikut
2 2
2 2
2 1
2 ˆ
kx x
m H
+ ∂
∂ −
= h
Dengan memasukkan Hamiltonian
Hˆ
ini ke dalam , persamaan Schrödinger bebas waktu
untuk osilator harmonik satu dimensi dinyatakan sebagai berikut ψ
ψ
E H
= ˆ
2 1
2
2 2
2 2
x E
x kx
x m
ψ ψ
= ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ +
∂ ∂
− h
Catatan
k 0 merepresentasikan gaya yang bekerja pada partikel. Sebuah partikel dalam osilator harmonik akan menerima gaya kembali gaya balik yang sebanding
dengan jarak dari titik setimbangnya dan berosilasi di sekitar titik seimbangnya. Pergeseran sebuah benda elastis seperti pegas adalah sebanding dengan gaya yang bekerja padanya. Hal ini
dikenal sebagai hukum Hooke.
kx dx
x dU
x F
− =
− =
pˆ dan
Hˆ
adalah operator yang masing-masing berhubungan dengan momentum dan energi. Sebuah operator
Fˆ
yang berhubungan dengan sebuah satuan sembarang yang dapat diamati dapat
dimasukkan sebagai dengan memasukkan persamaan 1.33
, x
p F
, ˆ
x p
F
x p
∂ ∂
− =
ˆ h
pada posisi p ke dalam
. Operator x berhubungan dengan sebuah koordinat kartesian x dan dinyatakan secara sederhana dengan
, karena tidak ada faktor momentum p dalam x.
, x
p F
ˆ
x x
= ˆ
4 2
Secara umum, pilihan yang tepat dari sebuah fungsi φ akan menghasilkan yang berbanding
dengan φ dan sama terhadap suatu konstanta yang dikalikan dengan φ.
φ
Fˆ
1.42
φ φ
f F
= ˆ
Perkalian konstanta f adalah nilai eigen dari operator
Fˆ
dan fungsi φ adalah nilai eigen dari operator
Fˆ
yang berkorespondensi dengan nilai eigen f. Ketika beberapa fungsi eigen contoh φ
1
dan φ
2
berkaitan dengan nilai eigen f yang sama saling bebas linier satu dengan lainnya contoh φ
1
tidak proporsional dengan φ
2
nilai eigen f dikatakan sebagai generate. Jumlah dari fungsi eigen yang saling bebas berkaitan dengan nilai eigen yang sama disebut sebagai tingkat degenerasi. Persamaan 1.42 termasuk di dalamnya
sebuah himpunan yang terdiri dari fungsi eigen φ dan nilai eigen f untuk operator
Fˆ
disebut sebagai persamaan nilai eigen dari
Fˆ
. Persamaan gelombang 1.41 untuk keadaan stasioner persamaan schrödinger bebas waktu adalah persamaan nilai eigen dari operator Hamiltonian
Hˆ
yang berhubungan dengan energi. Persamaan 1.41 memberikan himpunan fungsi eigen φ dan nilai eigen E untuk energi
yang mungkin terjadi. Dalam keadaan stasioner, energi E dan probabilitas untuk menemukan partikel adalah bebas
terhadap waktu t. Akan tetapi, kita tidak harus memikirkan bahwa partikel tersebut diam pada suatu posisi tertentu. Bahkan dalam keadaan stasioner, gerak sebuah partikel harus diperhitungkan sebagai
osilasi dari faktor fasa pada persamaan 1.39 yang memenuhi persamaan gelombang bebas waktu pada persamaan 1.35.
1.10 Sebuah partikel dalam kotak satu dimensi
