2.3 Atom dengan elektron banyak
Masalah untuk menentukan gerakan elektron-elektron di dalam sembarang atom yang memiliki banyak elektron adalah tidak mudah sebagaimana masalah dalam atom hidrogenik. Ini kebanyakan
dikarenakan oleh dua alasan sebagai berikut. Alasan pertama adalah disebabkan oleh interaksi antara elektron-elektron yang tidak membolehkan sebuah perlakuan terhadap gerak bebas dari seluruh elektron
yang ada. Alasan lainnya adalah dikarenakan hadirnya momentum sudut dari elektron yang disebut dengan spin elektron yang tidak mudah untuk ditangani. Bahkan untuk sistem dengan dua elektron
seperti pada sebuah atom helium, persamaan gelombang tidak dapat dipecahkan secara sederhana dan langsung. Karenanya, metoda pendekatan sangat diperlukan. Pada masa awal kelahiran teori kuantum,
tidak terdapat komputer modern sehingga masalah-masalah sistem dengan dua elektron atau lebih sistem elektron banyak ditangani dengan metoda aproksimasi seperti metoda gangguan atau variasi
yang akan dijelaskan ada Bab 3. Pada masa kini, perlakuan variasi yang cocok untuk komputer modern telah dikembangkan untuk memungkinkan kita melakukan perhitungan dengan lebih mudah dengan
beberapa paket program yang konvensional. Dalam bagian ini, karakteristik dari fungsi-fungsi gelombang dan tingkat-tingkat energi untuk atom dengan elektron banyak akan dibandingkan dengan fungsi
gelombang dan tingkat energi dari atom-atom hidrogenik. Kita dapat menyimpulkan di sini bahwa gerakan dari elektron-elektron dapat diperlakukan sama
dengan orbital atomik 1s, 2s, 2p
x
, 2p
y
, 2p
z
dalam atom hidrogenik. Meskipun tingkat-tingkat energi dari atom hidrogenik bergantung hanya pada bilangan kuantum utama n, tingkat-tingakat energi untuk atom
dengan elektron banyak dengan bilangan kuantum utama yang sama dapat berbeda dikarenakan nilai terendah dari bilangan kuantum azimut akan memberikan tingkat energi yang lebih rendah lebih stabil.
Dalam bagian berikut ini, akan dijelaskan bahwa spin elektron juka akan memungkinkan kita untuk memahami konfigurasi elektron dalam orbital atom dan tingkat-tingkat energinya, dan akan sangat
membantu untuk menjelaskan masing-masing sifat dari unsur kimia.
2.3.1 Model elektron independen
Sebagaimana yang disebutkan untuk atom hidrogenik, gerakan dari inti atom dapat diabaikan jika diperbandingkan dengan gerakan elektron. Dengan demikian inti atom dapat dinyatakan dalam posisi
tetap yaitu pada posisi keseimbangannya terhadap sistem dengan elektron banyak. Dengan
9 4
penyederhanaan ini operator Hamiltonian
Hˆ
untuk sistem dengan N elektron diberikan oleh persamaan berikiut.
∑ ∑
=
+ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎣
⎡ −
∆ ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ −
=
j i
ij N
i i
i
r e
r Ze
m H
2 1
2 2
4 4
2 ˆ
πε πε
h
2.31
Di dalam persamaan ini, yang terdapat dalam tanda kurung [ ] dari suku pertama dapat ditulis sebagai
h
dan merupakan sebuah operator yang berkaitan dengan koordinat dari elektron ke-i. pada sisi sebelah
kanan menyatakan jarak antara elektron ke-i dan j dan suku yang di dalamnya terdapat menyatakan interaksi antar elektron. Sebagai sebuah pertukaran dari elektron i dan j dalam interaksi antar elektron, hal
ini juga akan berlaku untuk pasangan elektron yang sama, i j yang dinyatakan dalam simbol penjumlahan
Σ mengindikasikan untuk melakukan penjumlahan hanya sekali untuk sebuah pasangan i dan j. sama dengan operator Hamiltonian
ˆ
ij
r
ij
r
hˆ Hˆ
dari sebuah atom hidrogenik dengan µ = m kecuali untuk indeks i yang diletakkan pada ∆ dan r, dan persamaan karakteristik dan solusinya adalah sebagai
berikut. 2.32
nlm n
nlm i
h
φ ε
φ
= ˆ
2 2
2 4
2
8 n
h e
mZ
n
ε ε
− =
2.33 2.34
, .
, ,
, ,
, ,
i i
m l
i l
n i
i i
m l
n
Y r
R r
φ θ
φ θ
φ
=
m l
n , ,
φ
adalah orbital atomik yang menyatakan gerak dari sebuah elektron sebagaimana dalam kasus atom hidrogenik. Secara umum, fungsi orbital ini menyatakan gerakan sebuah elektron yang disebut sebagai
orbital. Nilai eigen energi ε
yang berkaitan dengan orbital, disebut sebagai energi orbital. Pengabaian interaksi antara elektron dalam suku kedua pada persamaan 2.31 akan
menghasilkan Hamiltonian dalam bentuk sebagai berikut.
ˆ H
2.35
∑
=
=
N i
i
h H
1
ˆ ˆ
Persamaan eigen untuk ini adalah
, dan ini dapat dengan mudah untuk dipecahkan dengan persamaan 2.32-2.34 untuk memberikan solusi-solusi sebagai berikut.
ˆ H
Φ =
Φ E H
ˆ
9 5
nN n
nN n
nN n
E H
⋅⋅ ⋅
⋅⋅ ⋅
⋅⋅ ⋅
Φ =
Φ
1 1
1
ˆ
2.36
nN n
n nN
n
φ φ
φ ...
2 1
... 1
= Φ
2.37
nN n
n nN
n
E ε
ε ε
+ +
+ =
...
2 1
... 1
2.38 Di sini, orbital atomik dan energi orbital untuk elektron-elektron pertama ditunjukkan dengan
dan dan bukan ditulis dengan
dan yang berisi tiga bilangan kuantum dan tertulis secara
eksplisit. Penyingkatan ini diaplikasikan pada bagian yang terakhir dari .
1 n
φ
1 n
ε
1 ,
1 ,
1 m
l n
φ
1 ,
1 ,
1 m
l n
ε
nN nN
ε φ ,
Dalam kasus hipotetik tanpa interaksi antar elektron, fungsi gelombang dan energi untuk gerakan kolektif elektron dapat diekspresikan dalam bentuk orbital dan energinya untuk gerakan
independen dari individual elektron. Gambaran karakteristik untuk model elektron independen dinyatakan sebagai berikut.
[
Gambaran karakteristik dari model elektron independen
] 1 Fungsi gelombang untuk sebuah sistem elektron banyak dinyatakan sebagai sebuah produk dari
fungsi gelombang untuk sistem satu elektron orbital. 2 Energi untuk sebuah sistem elektron banyak diberikan sebagai sebuah penjumlahan sederhana
dari energi-energi untuk sistem sebuah elektron energi-energi orbital. Gambaran 1 menunjukkan bahwa probabilitas untuk menemukan sebuah elektron pada suatu posisi
diberikan sebagai sebuah produk dari probabilitas untuk menemukan masing-masing elektron. Gambaran 2 menunjukkan bahwa tingkat energi terendah, tingkat dasar, dari sebuah sistem elektron
banyak direalisasikan ketika elektron-elektron tersebut secara individual berada dalam tingkat energi terendah. Meskipun keberadaan seluruh elektron dalam orbital 1s adalah dimungkinkan untuk atom-
atom H dan He, namun hal ini tidak diijinkan untuk seluruh atom lain yang memiliki bilangan atom Z ≥ 3. Alasannya akan diberikan dalam bagian 2.4, dalam kaitannya dengan spin elektron.
2.3.2 Efek perisai dan model muatan inti efektif
Kategori