tingkat energi ke-υ+1 dan ke υ yang dinyatakan dengan ∆E dalam persamaan 1.95 dapat diserap atau dipancarkan untuk menghasilkan spektra vibrasi molekular.
1.95
ν
υ υ
h E
E E
= −
= ∆
+1
Spektra vibrasi dari molekul biasanya terdapat pada daerah infra merah. Vibrasi molekul yang berkaitan dengan perubahan dari polarisasi listrik akan cenderung untuk memiliki transisi vibrasi dengan peluang
yang lebih besar. Vibrasi tanpa perubahan dalam polarisasi listrik tidak akan menunjukkan transisi-transisi vibrasi.
Meskipun detil dari fungsi gelombang untuk osilator harmonik tidak dijelaskan di sini, karakteristik umum mereka dapat dilihat pada gambar 1.18. Jumlah dari titik nodal pada fungsi
gelombang dari osilator harmonik akan meningkat dengan meningkatnya bilangan kuantum, satu demi satu sama dengan yang terjadi pada titik nodal pada sebuah partikel dalam kotak satu dimensi.
1.13 Momentum sudut
Momentum sudut adalah sebuah besaran fisika yang penting, khususnya untuk masalah-masalah pada tingkat energi dan spektra atom dan molekul. Dalam bagian ini, momentum sudut akan
didefinisikan dan sifat-sifatnya akan dijelaskan. Momentum sudut dari sebuah partikel didefinisikan sebagai sebuah produk luar produk vektor
dari posisi vektor
r
yang menyatakan posisi x, y, z dan momentum .
p r
×
ˆ ,
ˆ ,
ˆ ˆ
z y
x
p p
p =
p
1.96
p l
× =
Momentum sudut yang diperkenalkan di sini disebut sebagai momentum sudut orbital karena ini berkaitan dengan gerak orbital klasik dari partikel.
Contoh 1.12
Dapatkan momentum sudut orbital
l
dari sebuah partikel dengan masa m yang melingkar pada bidang x-y dengan kecepatan yang konstan v dan pada radius r. Kemudian tulis lagi
kondisi Bohr untuk kuantisasi pada persamaan 1.21 untuk batasan dari besaran momentum sudut l .
Jawaban
Karena z = 0, p
z
= 0 untuk gerak melingkar di sekitar titik pusat O dalam bidang x-y sebagaimana ditunjukkan dalam gambar, maka komponen x dan y dari momentum sudut
l
, keduanya akan menghilang.
= ⋅
− ⋅
= −
= =
⋅ −
⋅ =
− =
x p
xp zp
l p
y zp
yp l
x z
x y
y y
z x
Dengan mengambil sudut θ dan arah dari kecepatan v sebagaimana dalam gambar, kita akan mendapatkan persamaan-persamaan berikut.
θ θ
θ θ
cos sin
sin cos
mv mv
p mv
mv p
r y
r x
y y
x x
= =
− =
= =
=
Komponen z dari momentum sudut l menjadi
mvr mvr
mvr yp
xp l
x y
x
= ⋅
+ ⋅
= −
=
θ θ
2 2
sin cos
Dengan demikian, tiga komponen dari momentum sudut orbital
l
diekspresikan dengan
, ,
mvr =
l
6 5
Berdasarkan persamaan 1.21 kondisi Bohr untuk kuantisasi adalah
nh r
mv =
2
π
,... 3
, 2
, 1
= n
Dengan catatan bahwa mvr
=
l dalam persamaan di atas maka kita mendapatkan
h n
=
l
Dengan demikian, kondisi Bohr untuk kuantisasi menunjukkan bahwa besaran momentum sudut orbital dari gerak melingkar dikuantisasi menjadi perkalian bilangan bulat dengan
h
. Operator
berhubungan dengan
l
yang dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan 1.53 yang digunakan juga untuk menurunkan operator Hamiltonian dengan menggunakan
koordinat polar r, θ, φ kita akan mendapatkan persamaan berikut.
ˆ ,
ˆ ,
ˆ ˆ
z y
x
l l
l =
l
φ φ
φ θ
θ φ
φ φ
θ θ
φ
∂ ∂
− =
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
∂ ∂
− ∂
∂ −
= ⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜ ⎝
⎛ ∂
∂ −
∂ ∂
− −
=
h h
h
i l
i l
i l
z y
x
ˆ sin
cot cos
ˆ cos
cot sin
ˆ
1.98
6 6
Persamaan-persamaan ini akan menuju pada sebuah ekspresi yang sangat berguna untuk momentum sudut kuadrat
. Sehingga akan sebanding dengan operator Legendre
.
2 2
2 2
z y
x
l l
l +
+ =
l
2
ˆl
Λ
1.99
Λ ⋅
− =
2 2
ˆ h
l
Sifat karakteristik dari operator
Λ
telah dipelajari dengan baik dalam kaitannya dengan harmonik sudut . Beberapa contoh untuk
ditunjukkan dalam tabel 1.3. Hubungan berikut ini adalah sangat penting.
m l
Y
, m
l
Y
,
1.100
m l
m l
Y l
l Y
, ,
1 +
− =
Λ
atau 1.101
m l
m l
Y l
l Y
, 2
, 2
1 ˆ
h +
=
l
Ini adalah persamaan eigen untuk ; adalah fungsi eigen dan
adalah nilai eigen.
l
adalah bilangan kuantum yang menentukan besarnya momentum sudut orbital. Ini adalah bilangan kuantum
untuk kuadrat dari dan dibatasi pada nilai
2
ˆl
m l
Y
,
2
1 h
+ l
l
l ,...
3 ,
2 ,
1 ,
= l
. Hubungan berikut untuk kompnen z dari momentum sudut dan dapat dikonfirmasi pada
tabel 1.3.
z
lˆ
1.102
m l
m l
z
Y m
Y l
, ,
ˆ h
=
Ini adalah persamaan eigen untuk ; adalah fungsi eigen dan
adalah nilai eigen. m adalah bilangan kuantum untuk komponen z dari momentum sudut orbital dan memiliki
nilai yang mungkin yang berkaitan dengan bilangan kuantum l dalam daerah dari –l hingga +l. Sebagai contoh
untuk l = 1, maka nilai yang mungkin adalah m = -1, 0, 1. Karakteristik yang seperti itu untuk l dan m adalah berkaitan dengan perilaku elektron dalam atom. Sebuah hubungan yang sama dan juga penting
dalam menjelaskan keadaan rotasional dari molekul. Sebagaimana telah dipelajari dalam kasus rotor yang kaku dari sebuah molekul diatomik, operator Hamiltonian adalah sebanding dengan operator Legendre
dalam persamaan 1.100, fungsi gelombang untuk rotasi molekul akan menjadi fungsi harmonik sperikal
.
z
lˆ
m l
Y
,
h m
1 2
+ l
Λ
m l
Y
,
6 7
Tabel 1.3.
Harmonik sperikal
,
,
φ θ
m l
Y
π
4 1
,
= Y
φ
θ π
2 2
2 ,
2
sin 32
15
i
e Y
± ±
=
θ π
cos 4
3
, 1
= Y
cos 3
cos 5
16 7
3 ,
3
θ θ
π
− =
Y
φ
θ π
i
e Y
± ±
= sin
8 3
1 ,
1 φ
θ θ
π
i
e Y
± ±
− =
sin 1
cos 5
64 21
2 1
, 3
1 cos
3 16
5
2 ,
2
− =
θ π
Y
φ
θ θ
π
2 2
2 ,
3
sin cos
32 105
i
e Y
± ±
=
φ
θ θ
π
i
e Y
± ±
= cos
sin 8
15
1 ,
2 φ
θ π
3 3
3 ,
3
sin 64
35
i
e Y
± ±
=
1.14 Nilai terukur dan nilai ekpektasi
