Kebergantungan sudut dan bentuk dari koordinat-koordinat polar Kebergantungan radial dan distribusi radial

2.2.3 Kebergantungan sudut dan bentuk dari koordinat-koordinat polar

Bagian sudut , φ θ Y menentukan kebergantungan sudut dari kemungkinan untuk menentukan sebuah elektron. Dengan mengambil Y dalam setiap arah sebagai panjang sebuah vektor terhadap titik awal, sebuah kontur dapat dibuat dengan titik puncak vektor tersebut memberikan sebuah gambaran atas koordinat polar dalam permukaan 3 dimensi dan ditunjukkan dalam Gambar 2.3. Gambar-gambar ini menyatakan kebergantungan sudut dari orbital atom. Simbol + dan - dalam Gambar 2.3 menunjukkan tanda untuk , φ θ Y . Gambar 2.3 Kebergantungan sudut dari orbital s, p dan d 8 7 Contoh 2.2. Buatlah gambar dari koordinat polar untuk fungsi p z , dalam bidang x-z , 1 Y Jawaban Karena φ = 0, y = 0 dalam bidang x-z, koordinat x dan z dari titik puncak dari vektor Px,0,z menunjukkan besaran dan jaraknya dari titik pusat diberikan sebagai berikut θ θ cos sin Y z Y x = = Di sini Y adalah θ π θ cos 4 3 , = Y Dengan memperhatikan bahwa θ θ cos cos = untuk 2 π θ ≤ ≤ dan dengan menggunakan sebuah konstanta a, π 4 3 = a x dan y dapat dinyatakan sebagai θ θ θ θ θ 2 cos cos cos sin cos a a y a x = = = Karenanya 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 1 cos sin cos ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = − ⋅ = − = = a a z z z a a a x θ θ θ θ Dengan demikian kita mendapatkan 2 2 2 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + a a z x Ini akan menghasilkan gambar berupa sebuah lingkaran dengan jari-jari a2 dan terletak pada . Lingkaran yang lain dengan jari-jari a2 terletak pada 2 , , a z x = 2 , , a z x − = juga memenuhi 8 8 syarat karena θ θ cos cos − = untuk π θ π ≤ ≤ 2 . Dengan demikian kita mendapatkan dua lingkaran dengan jari-jari yang sama dengan titik pusat berada pada sumbu z dan membuat kontak satu dengan lainnya pada titik pusat sebagaimana ditunjukkan dalam gambar berikut. Untuk ≠ φ , gambar di atas harus dirotasikan pada sudut φ di sekitar sumbu z untuk menghasilkan gambar 3 dimensi yang terdiri dari pasangan sperikal sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 2.3.

2.2.4 Kebergantungan radial dan distribusi radial

Kebergantungan radial dari orbital atomik pada jarak r dari inti atom ditentukan oleh bagian radial . Probabilitas untuk menemukan sebuah elektron dalam daerah antara sebuah pasangan bola dengan jari-jari r dan r + dr dilakukan dengan memperkenalkannya sebagai Drdr, dan dr didefinisikan sebagai fungsi distribusi radial yang digunakan untuk memahami kebergantuangan radial dari sebuah fungsi gelombang. Gambar 2.4 menunjukkan beberapa contoh dari Dr untuk sebuah atom hidrogen. Penurunan fungsi distribusi radial Dr akan dilakukan sebagai berikut. Dikarenakan dr akan menjadi 0 ketika bagian radial R memiliki sebuah noda, terdapat n-l titik-titik maksimum yang mana jumlahnya satu lebih banyak dibandingkan dengan jumlah noda untuk R. Nilai terbesar dari Dr terletak pada nilai maksimum terluar. Jarak dari nilai terbesar r , r R l n max meningkat dengan meningkatnya n. r max menunjukkan tempat di mana probabilitas untuk menemukan sebuah elektron sangat besar dan jarak ini memberikan ukuran kulit elektron, ukuran atom dan juga panjang ikatan. 8 9 Marilah kita menurunkan rumus untuk Dr. Integrasi dari Dr dari 0 ke ∞ harus sama dengan probabilitas untuk menemukan elektron dalam seluruh ruang yang merupakan nilai integrasi dari kuadrat dari fungsi gelombang Ψ pada seluruh daerah dalam ruang 3 dimensi. Nilai ini harus merupakan nilai yang finit disebabkan oleh persyaratan normalisasi. Dengan demikian, ∫ ∫ ∫ ∫ ∞ ∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ − = Ψ = 2 1 dxdydz dr r D 2.26 Gambar 2.4 Fungsi distribusi radial 2 , 2 l n R r r D = 9 0 Gambar 2.5 Elemen volume untuk koordinat polar. dr d d r dv θ φ θ sin 2 = Sebagaimana dapat dilihat pada Gambar 2.5, untuk koordinat polar r, θ,φ, elemen volume dv = dxdydz dapat digantikan dengan persamaan berikut. dr d d r dxdydz dV θ φ θ sin 2 = = 2.27 Harus dicatat bahwa jangkauan dari integrasi adalah dari 0 ke 2 π untuk φ, dari 0 ke π untuk θ, dan dari 0 ke ∞ untuk r. Dengan memasukkan penggantian ini dalam sisi bagian kanan pada persamaan 2.26 dan membandingkannya dengan sisi sebelah kiri, kita mendapatkan rumus untuk Dr dengan proses integrasi berikut. ∫ Ψ = θ φ θ d d r r D sin 2 2 2.28 Berikutnya, penggantian untuk Ψ dengan sebuah produk dari bagian radial R akan memberikan sebuah integrasi untuk bagian sudut dari Y terhadap sudut-sudut θ dan φ, yang juga sama dengan kondisi normalisasi untuk fungsi harmonik sperikal Y. 9 1 ∫∫ =1 sin 2 θ φ θ d d Y 2.29 Dengan demikian kita akan mendapatkan sebuah rumus untuk Dr sebagai berikut. 2 , 2 r R r r D l n = 2.30 Contoh 2.3 Carilah Dr untuk fungsi gelombang 1s dari sebuah atom hidrogenik. Jawaban Fungsi gelombang 1s untuk atom hidrogenik diberikan sebagai berikut , , 1 , , 1 1 Y R s = Ψ = Ψ Dengan menggunakan bagian radial dari fungsi gelombang ini dan persamaan 2.30, fungsi distribusi radial Dr dinyatakan sebagai berikut 2 , 1 2 1 R r r D s = Di sini r a Z e a Z R 2 3 , 1 2 − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = dan kita memperoleh r a Z s e r a Z r D 2 2 2 3 1 4 − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = Jelas terlihat dari diferensiasi pada persamaan ini bahwa nilai maksimum dari Dr terletak pada . Dalam kasus sebuah atom hidrogen Z = 1, jarak untuk nilai maksimum sama dengan , dan ini hampir sama dengan radius Bohr . Z a r = a B a 9 2

2.2.5 Garis-garis kontur