38
Nilai ini dapat diinterpolasi dengan menggunakan fungsi bentuk
[ ]
N dengan cara yang biasa yaitu:
2.47 Komponen perpindahan dari masing-masing arah local
Z Y
X ˆ
, ˆ
, ˆ
dinyatakan oleh W
V U
, ,
secara bersamaan dan proyeksi dari }
{d pada vektor satuan dasar dan dinyatakan oleh perkalian skalar yaitu:
[ ]
} {
} {
} {
} {
e T
T
N X
d X
U
δ
= =
2.48 Dinyatakan demikian juga untuk V dan W ini.
2.4.2 Perilaku Ke Arah Dalam In-Plane
Untuk menghitung matriks geometri, penurunan U dan V terhadap arah lokal dapat ditentukan. Ini telah diturunkan dengan hasil sebagai berikut:
2.49 dimana
∂ ∂
X N
adalah matriks 3x9 dengan komponen:
2.50
dimana :
ξ
dan
η
menunjukkan
ξ
∂ ∂
P dan
η
∂ ∂
P .
Persamaan 9 secara eksplisit sama dengan Y
U ∂
∂ ,
X V
∂ ∂
dan Y
V ∂
∂
[ ]
} {
} {
e
N d
δ
=
} {
} {
e T
X N
X X
U
δ
∂ ∂
= ∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
=
∂ ∂
∂ ∂
−
Y N
X N
Y Y
X X
Y N
X N
i i
i i
1
. ˆ
. ˆ
. ˆ
. ˆ
η ξ
η ξ
Universitas Sumatera Utara
39
2.4.3 Perilaku Ke Arah Luar Out-Plane
Z U
∂ ∂
, Z
V ∂
∂ memerlukan perhatian lebih lanjut. Kita dapat menulis dengan:
2.51
Adalah pangkat pertama yang berhubungan dengan perputaran sudut pada loof dan titik pusat dan pangkat kedua berhubungan dengan perpindahan sudut, sisi tengah
dan titik pusat. Untuk menghitung pangkat pertama, vektor ketebalan pada tiap-tiap titik loof
dan titik pusat j sebagai berikut:
j j
j
Z t
T ˆ
=
2.52 dimana
j
t adalah tebal elemen shell pada titik j. Rotasi yang dibagikan ke elemen dapat dinyatakan oleh vektor
j
R sebagai berikut: 2.53
dan kemiringan sepanjang ujung elemen pada titik j diberikan dengan: 2.54
Vektor
j
R
j
S dan
j
T seperti pada Gambar 1. Dengan bantuan vektor-vektor ini pangkat pertama pada persamaan 10 dapat dituliskan sebagai berikut:
2.55
N L
Z U
Z U
Z U
∂ ∂
+
∂
∂ =
∂ ∂
j j
j
Y T
R ˆ
× =
j j
j
Y t
S ˆ
=
∑
=
+ =
∂ ∂
9 1
} {
} {
} {
} {
j j
XZ j
T j
j XZ
j T
j L
t L
X S
t L
X R
Z U
θ θ
Universitas Sumatera Utara
40
j
L menunjukkan fungsi bentuk untuk loof dan titik pusat. Pernyataan yang sama untuk
L
Z V
∂ ∂
. Dengan menggunakan persamaan 11 vektor ketebalan pada sembarang titik P dapat diinterpolasi:
2.56
Vektor T tidak memerlukan normal terhadap permukaan tengah yang menunjukkan itu dapat membandingkan 2 titik misalnya A dan B, A tidak orthogonal di
atas B. Yang mengikat kita terhadap XZ dapat dituliskan sebagai berikut:
2.57
Dimana t adalah tebal shell pada titik yang ditannya dan
X
T adalah komponen T sepanjang sumbu x local. Dengan menambahkan kontribusi dari bidang datar YZ
hasilnya adalah: 2.58
Persamaan yang sama dapat dituliskan untuk
N
Z V
∂ ∂
2.4.4 Penggunaan Dari Pengekangan Geser
