42
2.62 Ini adalah fungsi bentuk akhir yang digunakan untuk evaluasi matriks kekakuan.
Untuk kode perhitungan hanya derajat kebebasan yang berhubungan dengan dua titik loof sepanjang sisi elemen yang berhubungan terhadap titik sisi tengah yang
terletak sepanjang ujung. Akibatnya untuk pemakaian praktis masing-masing titik sisi tengah diasumsikan mempunyai variabel lima titik setiap sudutnya yang hanya
mempunyai tiga derajat kebebasan.
2.4.5 Pemecahan Sistem Eigen
Masalah instabilitas elastis dalam struktur adalah untuk mereduksi suatu nilai eigen dari persamaan
[ ] [ ] [
] } {
= −
χ λ
B A
2.63 Dimana metode pemecahan dari masalah ini telah banyak dikenal. Dasar dari metode ini
dapat diringkas sebagai berikut: a.
Jika
[ ]
A dan
[ ]
B matriks simetris dari orde n jumlah nilai eigen dari: 2.64
lebih besar dari
λ
adalah sama untuk jumlah persetujuan dalam pangkat pada rangkaian Sturm Sturm sequence.
2.65
[ ] [ ][ ] [ ]
[ ]
} {
A A
B B
A
P C
C S
S G
1
} {
−
− =
[ ] [ ] [
]
} {
= −
χ λ
B A
[ ] [ ] [
]
,
r r
r
B A
Det P
λ λ
− =
n r
,... 1
, =
Universitas Sumatera Utara
43
yang mana didefinisikan
[ ] [ ] [
]
1 =
− B
A Det
λ
dimana
[ ] [ ] [
]
1 =
−
r r
B A
Det
λ
menyatakan minor yang utama atau orde ke r.
b. Untuk masing-masing
λ
rangkaian Sturm dapat ditentukan dengan matriks triangulasi
[ ] [ ] [
]
B A
λ
− , pada kenyataannya pangkat diagonal dari matriks
hasil dengan
i
K , n
i ,...
1 =
kemudia
λ
r
P akan
menghasilkan persamaan sebagai berikut: 2.66
c. Dengan menganggap sekarang untuk pangkat pertama dari rangkaian
Sturm, dengan pendefinisian sama dengan 1. Pangkat kedua akan menghasilkan
1 1K dan dua pangkat ini akan memberikan tanda yang sama
hanya jika 1
K positif. Pangkat ketiga akan diberikan oleh 2
1 1
K K
dengan cara yang sama untuk pangkat kedua dan ketiga dari rangkaian yang akan
memberikan tanda yang sama hanya jika 2
K positif. Pada umumnya jika
λ
r
P baik positif ataupun negatif aka ada suatu perjanjian tanda antara
λ
r
P dan
1
λ
+ r
P jika dan hanya jika tanda
1 +
r
K adalah positif. Kita dapat
menyimpulkan bahwa sejumlah dalam tanda antara elemen yang berhasil dari
λ
r
P adalah sama untuk jumlah pangkat diagonal positif dalam bentuk
triangulasi
[ ] [ ] [
]
B A
λ
−
.
,
, 1
∏
=
=
r i
i r
K P
λ
n r
≤ ≤
1
Universitas Sumatera Utara
44
d. Akhirnya kita dapat menyatakan bentuk digunakan dalam mencari nilai
eigen. Jumlah nilai eigen dari persamaan
λ
adalah sama dalam bentuk triangulasi
[ ] [ ] [
]
B A
λ
− .
e. Dengan membagi interval akan memperoleh perkiraan yang lebih baik
tetapi keakuratan dapat diperoleh dengan metode ini dibatasi oleh stabilitas proses dari eliminasi. Untuk semua masalah dipecahkan terhadap suatu
pengamatan nilai konvergen yang sangat baik dan tidak ada kesulitan dalam penggunaan praktis dalam memperoleh nilai eigen yang akurat sampai
dengan 8 digit dengan membagi interval. Bagaimanapun untuk meningkatkan efisiensi dari algoritma pencarian solusi,
interpolasi linier dapat diadopsi begitu nilai eigen telah dilokalisir. Dengan jelas proses ini dapat diaplikasikan untuk menentukan setiap nilai eigen baik yang bernilai positif
maupun yang negatif. Salah satu keuntungan pokok dari penggunaan proses ini adalah bahwa proses
ini dapat dengan mudah diimplementasikan begitu solusi dari problem elemen hingga statis telah diperoleh.
Batasan dari bentuk matrik [A] dan matrik [B] cukup memuaskan dengan menggunakan matrik geometri dari struktur [K
G
] yang merupakan matrik simetri dan
dengan penggunaan matrik kekakuan yang konvensional [K
E
] yang juga merupakan
matrik simetri dan selalu bernilai positip. Matrik massa [K
M
] yang diimplementasikan
pada problem juga selalu bernilai positip dan dapat dilihat pada Gambar 2.12.
Universitas Sumatera Utara
45
Gambar 2.12 Bagan alir menghitung tekuk kolom baja ringan Definisikan
dan cek Mulai
Simpan fungsi
Persiapan
Bentuk matriks
Susun, rangkai dan eliminasi
matriks Simpan
matriks
Simpan matriks
Bentuk matriks
Simpan Substitusi ke
Memperkirakan nilai eigen
yang dicari terbesar
Iterasi untuk nilai eigen
yang terbesar Pisahkan nilai
Interpolasi untuk masing-masing
nilai eigen Hasil keluaran
dari pemecahan elastis
Tulis nilai eigen dan vektor eigen
cahan elastis Tulis nilai eigen dan
vektor eigen pecahan elastis
Selesai
Universitas Sumatera Utara
46
2.4.6 Permasalahan Stabilitas
