2. Lintasan terpendek antara semua pasangan simpul.
3. Lintasan terpendek dari simpul tertentu ke simpul yang lain.
4. Lintasan terpendek antara dua buah simpul yang melalui beberapa simpul
tertentu.
2.2.1 Pencarian Jalur Terpendek
Tujuan dari shortest pathfinding adalah untuk menemukan lintasan terpendek dan termurah yang mungkin dari vertex awal ke vertex akhir. Jika edge tidak memilki
nilai, maka shortest path adalah path dengan jumlah edge yang paling sedikit. Jika edge memiliki nilai, maka shortest path adalah path dengan nilai akumulasi minimum
dari semua edge pada path.
2.2.2 Penggolongan Algoritma Shortest Finding secara umum
A. Algoritma Uninformed Search. Algoritma Uninformed Search adalah algoritma yang tidak memiliki keterangan
tentang jarak atau biaya dari path dan tidak memiliki pertimbangan akan path mana yang lebih baik. Yang termasuk dalam algoritma ini antara lain Algoritma Breadth-
First Search.
B. Algoritma Informed Search. Algoritma Informed Search adalah algoritma yang memiliki keterangan tentang jarak
atau biaya dari path dan memiliki pertimbangan berdasarkan pengetahuan akan path mana yang lebih baik. Yang termasuk dalam algoritma ini antara lain Algoritma Ford.
2.3 Program Linier
Problema program linier melibatkan optimisasi dari fungsi objektif linier, dengan subjeknya adalah persamaan linier dan kendala merupakan pertidaksamaan. Program
linier mencoba mendapatkan keluaran terbaik contoh : memaksimumkan laba, mengurangi biaya, dan lain-lain dengan memberikan beberapa daftar kendala
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
contoh: hanya bekerja 30 jamminggu, tidak melakukan hal yang illegal, dan lain- lain, menggunakan model matematika linier.
Contoh lainnya ada pada polytope contoh : polygon dan polyhedral dan nilai riil fungsi affine
1
,
2
, … , =
1 1
+
2 2
+
3 3
+ didefinisikan pada polytope, tujuannya adalah menemukan simpul pada polytope
dimana fungsinya mempunyai nilai terkecil atau terbesar. Simpul mungkin tidak ada, tapi jika dicari sepanjang vertex polytope maka digaransi menemukan paling sedikit
satu darinya.
Program linier adalah problema yang dapat diekspresikan dalam bentuk kanonik :
max imize
�
subject to Ax b where x 0
x direpresentasikan vektor variabel, c dan b adalah koefisien vektor dan A adalah koefisien matriks. Ekspresi untuk memaksimumkan atau meminimumkan
disebut fungsi objektif cTx. Persamaan Ax b adalah fungsi kendala yang
khususnya polyhedral konvex yang fungsi objektifnya dioptimisasi.
Program linier dapat diaplikasikan untuk bermacam-macam field. Lebih diperluas, program linier digunakan dalam situasi bisnis dan ekonomi, tetapi dapat
juga dimanfaatkan untuk beberapa masalah teknik. Beberapa industri menggunakan model program linier dalam transportasi, energi, telekomunikasi dan manufaktur. Dan
dibuktikan juga pada problema dalam perencanaan, rute, jadwal, tugas dan desain.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
2.4 Program Integer
Jika variabel tak diketahui diharuskan integer maka problema ini disebut program integer atau program linier integer. Perbedaan dengan program linier adalah dapat
diselesaikan lebih efesien pada kasus yang buruk. Problema program integer banyak terjadi pada situasi praktis dengan variabel terbatas NP hard
. 0 − 1 program integer adalah kasus yang khusus dari program integer dimana variabel diharuskan 0 atau 1.
Masalah ini juga diklasifikasikan sebagai masalah yang sulit non polynomial.
Program Integer adalah bentuk dari program linier dimana asumsi divisibilitasnya melemah atau hilang sama sekali. Bentuk ini muncul karena
dalamkenyataaannya tidak semua variabel keputusan dapat berupa bilangan pecahan. Asumsi divisibilitas melemah artinya sebagian dari nilai variabel keputusan harus
berupa bilangan bulat integer dan sebagian lainnya boleh berupa bilangan pecahan. Persoalan program integer dimana hanya sebagian dari variabel keputusannya yang
harus integer disebut sebagai persoalan Mixed Integer Programming.
Tetapi jika seluruh variabel keputusan dari suatu persoalan program linier harus berharga integer, maka persoalan tersebut disebut sebagai persoalan Pure
Integer Programming. Dalam hal ini asumsi divisibilitas dari program linier hilang sama sekali.
Contoh
Maksimumkan = 8
1
+ 5
2
Kendala :
1
+
2
6 9
1
+ 5
2
45
1
,
2
0,
2
integrer
Tampaknya cukup untuk mendapatkan solusi integer dari masalah program linier dengan menggunakan metode simpleks biasa dan kemudian membulatkan nilai-
nilai pecahan solusi optimum. Hal ini bukan tugas mudah untuk membulatkan nilai- nilai pecahan variabel basis yang menjamin tetap memenuhi semua kendala dan tidak
menyimpang cukup jauh dari solusi bulat yang tepat. Karena itu perlu prosedur yang
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
sistematis untuk mendapatkan solusi bulat optimum terhadap masalah itu. Ada bebebrapa pendekatan solusi terhadap masalah program integer yaitu salah satu
diantaranya adalah pendekatan dengan cutting plane.
Dalam program linier, metode simpleks didasari oleh pengenalan bahwa pemecahan optimum terjadi di simpul ekstrim dari ruang solusi. Hasil yang penting ini
pada intinya mengurangi usaha pencarian pemecahan optimum dari sejumlah pemecahan yang tidak terbatas menjadi sejumlah yang terbatas. Sebaliknya Program
Linier Integer memulai dengan sejumlah simpul pemecahan yang terbatas. Tetapi sifat variabel yang berbentuk bilangan bulat mempersulit perancangan sebuah algorimta
yang efektif untuk mencari secara langsung di antara simpul integer yang layak dari ruang penyelesaian. Terdapat dua metode untuk menghasilkan batasan-batasan khusus
yang akan memaksa pemecahan optimum dari masalah program linier yang dilonggarkan untuk bergerak kearah pemecahan integer yang diinginkan yaitu metode
Bidang Pemotong Gomory Cutting Plane dan metode Branch and Bound.
Algoritma lanjutan untuk menyelesaikan program linier integer adalah :
a. Metode Cutting Plane
b. Metode Branch and Bound
c. Metode Branch and Cut
d. Metode Branch and Price
Pendekatan Branch And Bound
Branch and Bound untuk memecahkan pemrograman liniar bilangan bulat PLBB
telah dikembangkan melalui Land et al 1960. Metode, yang secara langsung dihubungkan dengan simpleks metode untuk pemrograman linier PL, kemudian
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
dimodifikasi oleh Dakin 1965 dan telah dengan sukses menerapkan di dalam kitab undang-undang hukum dagang banyak orang untuk memecahkan permasalahan
PLBB.
Prinsip metode itu sendiri sungguh sederhana, tetapi meskipun demikian alat yang sangat bermanfaat untuk memecahkan permasalahan terpisah. Ketika
dipertimbangkan dalam konteks lebih luas, secara teoritis, Branch and Bound mungkin digunakan untuk memecahkan masalah optimisasi manapun. Efisiensi
algoritma jenis ini sebagian besar tergantung pada detil itu, terutama pada kalkulasi Bound bagian atas dan yang lebih rendah, pada separasi menetapkan dan, akhirnya,
pada aturan pilihan yang berbeda menggunakan untuk menentukan solusi yang berikutnya mulai dipertimbangkan dan variabel yang berikutnya ke Branch terpasang.
Gagasan yang umum digunakan untuk metode untuk PLBB dapat diuraikan sebagai berikut.
Pertimbangkan suatu masalah PLBB.
Max =
�
2.1 berlaku hanya jika :
Ax = b 2.2
2.3 integer,
∈
′
⊂
Dimana A adalah matrik × ,
�
adalah transpos dari c dan c adalah vektor × ,
dan J = 1, 2, . . . ,n. Proses dari metode awal dengan menyelesaikan 2.1 - 2.3 program linier secara kontinu, abaikan syarat-syarat integral. Andaikan solusi
, ∈
′
, tidak semua integer.
= + , 0
1 2.4
untuk beberapa ∈
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
dimana [xj] adalah komponen integer dari [xj ], solusi kontinu untuk program linier, dan fj adalah komponen bagian yang kecil.
Gagasan untuk menghasilkan dua subproblem masing-masing dengan penambahan pembuktian
2.5 dan
+1 2.6
Karena variabel tertentu ∈ . Proses menyelesaikan masalah disebut
Branching. Masing-Masing ini subproblema dipecahkan lagi sebagai PL kontinu. Proses dari Branching dan pemecahan suatu sequance dari permasalahan kontinu
untuk variabel yang berbeda ∈
′
dan bilangan bulat yang berbeda . Secepatnya,
disediakan daftar alternatif subproblema untuk diselidiki, dengan PL yang kontinu yang pertama dimasukkan.
Struktur metode yang logis sering diwakili sebagai pohon. Masing-Masing tangkai pohon menghadirkan suatu subproblem. Ketika subproblema manapun, atau
tangkai pohon, diselidiki subproblema manapun yang dihasilkan dihubungkan kepada tangkai pohon dengan Branch.
Jika salah satu dari tiga ukuran-ukuran di bawah ini dicukupi, Branch dari tiap tangkai pohon akan berakhir.
1. Subproblema tidak mempunyai solusi fisibel
2. Solusi subproblema tidak ada lebih baik daripada integer-fisibel solusi terbaik
yang dikenal sekarang. 3.
Solusi adalah integer-fisibel, i.e., , ∈
′
mempunyai nilai-nilai bilangan bulat menyediakan suatu integer-fisibel, solusi ada. Itu adalah jelas, bahwa
efektivitas dari prosedur seperti itu adalah sangat dependen. 4.
Variabel yang mana harus bercabang, dan 5.
Subproblema yang mana harus diselidiki berikutnya.
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
2.5 Masalah Lokasi Hub
