Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Definisi 5 Diferensial Definisi 2.7

Definisi 2.6 Misalkan A = [a, b] adalah daerah asal fungsi f yang memuat titik c dan B daerah kawan fungsi f adalah himpunan semua bilangan real. Fungsi f dikatakan mem- punyai nilai minimum relatif di c jika x f c f ≤ untuk semua x di A. Gambar 2.2 menunjukkan sebagian grafik suatu fungsi yang mempunyai nilai minimum di c. Gambar 2.2. Fungsi f yang mempunyai nilai minimum relatif di c Bila suatu fungsi f mempunyai nilai maksimum relatif atau nilai minimum relatif di c, maka dikatakan f mempunyai nilai ekstrim relatif di c.

3. Diferensial Definisi 2.7

Diberikan fungsi f dengan daerah asal dan daerah kawan himpunan bilangan real. Turunan fungsi f adalah fungsi f ′ yang nilainya untuk sebarang elemen x adalah x x f x x f x f x Δ − Δ + = ′ → Δ lim jika limit itu ada dan adalah pertambahan sebarang nilai x. x Δ Jika suatu fungsi f mempunyai turunan di x, maka fungsi tersebut dikatakan ter- diferensialkan terturunkan di x. Jika x, y suatu titik pada grafik f, maka y = fx, dan juga digunakan untuk menyatakan turunan dari fx. Dengan fungsi f didefinisikan y = fx, dapat diperoleh y′ x f x x f y − Δ + = Δ di mana adalah pertambahan dari y dan menyatakan suatu perubahan nilai fungsi bila x berubah sebesar y Δ x Δ . Oleh karena itu f ′ dapat diganti dengan: . lim x y dx dy x Δ Δ = → Δ dx dy dinyatakan sebagai notasi turunan, dalam hal ini berarti y dx d , yaitu turunan dari y terhadap x. Pengambilan turunan dari f adalah pengoperasian pada f yang menghasil- kan . Seringkali kita memakai huruf D untuk menunjukkan operasi ini, se- hingga dapat dituliskan Df = f ′ f ′ atau Dfx = x f ′ . Teorema 2.1 Jika fx = k dengan k suatu konstanta, maka x f ′ = 0. Bukti: lim lim lim = = − = − + = ′ → → → h h h h k k h x f h x f x f . ■ Teorema 2.2 Jika , dengan n bilangan bulat positif, maka n x x f = 1 − = ′ n nx x f . Bukti: h h nxh h x n n nx h h x h nxh h x n n h nx x h x h x h x f h x f x f n n n n h n n n n n n h n n h h ... 2 1 lim ... 2 1 lim lim lim 1 2 2 1 1 2 2 1 − − − − → − − − → → → + + + − + = − + + + − + + = − + = − + = ′ 1 − = n nx . ■ Teorema 2.3 Misalkan f suatu fungsi, k suatu konstanta, dan g adalah fungsi yang didefinisikan oleh gx = k.fx. Jika ada, maka x f ′ . x f k x g ′ = ′ . Bukti: h x f h x f k h x f h x f k h x kf h x kf h x g h x g x g h h h h lim lim lim lim − + = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − + = − + = − + = ′ → → → → x f k ′ = . ■ Teorema 2.4 Misalkan f dan g adalah fungsi dan F adalah fungsi yang didefinisikan oleh x g x f x F + = . Jika x f ′ dan x g ′ ada, maka x g x f x F ′ + ′ = ′ . Bukti: h x g h x g h x f h x f h x g h x g h x f h x f h x g x f h x g h x f h x F h x F x F h h h h h lim lim lim lim lim − + + − + = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − + + − + = + − + + + = − + = → → → → → x g x f ′ + ′ = . ■ Contoh 2.2 Diberikan fungsi . Tentukan turunan dari fungsi tersebut. 1 3 3 + − = x x x f Jawab: . 3 3 1 3 2 3 − = ′ + − = x x f x x x f Teorema 2.5 Jika f didefinisikan pada selang [a, b], mempunyai ekstrim relatif di c, dan ada, maka c f ′ = ′ c f . Bukti: Jika fc nilai maksimum relatif f pada [a, b], maka atau ] , [ , b a x x f c f ∈ ∀ ≥ ] , [ , b a x c f x f ∈ ∀ ≤ − . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Untuk x c atau x - c 0 diperoleh ≥ − − c x c f x f . Jika limitnya ada, maka lim ≥ − − → c x c f x f c x . 1 Untuk x c atau x - c 0 diperoleh ≤ − − c x c f x f . Jika limitnya ada, maka lim ≤ − − → c x c f x f c x . 2 Dari 1 dan 2, diperoleh = ′ c f . Jika fc nilai minimum relatif f pada [a, b], maka ] , [ , b a x x f c f ∈ ∀ ≤ atau ] , [ , b a x c f x f ∈ ∀ ≥ − . Untuk x c atau x - c 0 diperoleh ≥ − − c x c f x f . Jika limitnya ada, maka lim ≥ − − → c x c f x f c x . 3 Untuk x c atau x - c 0 diperoleh ≤ − − c x c f x f . Jika limitnya ada, maka lim ≤ − − → c x c f x f c x . 4 Dari 3 dan 4, diperoleh = ′ c f . ■ Teorema 2.6 Jika f kontinu pada selang [a, b] dan terdiferensial pada selang a, b, sedangkan f a = fb = 0, maka ada bilangan c pada a, b sedemikian sehingga . = ′ c f Bukti: Karena f kontinu pada selang [a, b], maka fungsi f mempunyai nilai maksimum maupun nilai minimum pada [a, b]. Jika kedua nilai tersebut sama dengan 0, maka f x = 0 pada [a, b], akibatnya = ′ x f untuk semua x dalam a, b. Apabila sa- lah satu nilai maksimum atau nilai minimum tidak sama dengan 0 dan = = b f a f , maka nilai ekstrim tersebut dicapai pada suatu titik . Karena f terdiferensial pada selang a, b, maka menurut Teorema 2.5 . ■ , b a c ∈ = ′ c f Teorema 2.7 Jika f kontinu pada selang [a, b] dan terdiferensial pada titik-titik dalam a, b, maka terdapat bilangan c dalam a, b sedemikian sehingga a b a f b f c f − − = ′ . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Bukti: Gambar 2.3. Fungsi sx = fx - gx Misalkan fungsi sx = fx - gx, dengan g adalah garis yang melalui a, fa dan b, fb. Karena garis g ini mempunyai kemiringan fb – fab - a dan melalui a, fa, maka persamaannya adalah a x a b a f b f a f x g − − − = − sehingga a x a b a f b f a f x f x s − − − − − = . Fungsi s kontinu dalam [a, b] karena merupakan selisih dua fungsi kontinu, dan s a = sb = 0. Fungsi s terdiferensialkan dalam a, b, karena s mempunyai tu- runan di setiap titik dalam a, b yaitu a b a f b f x f x s − − − ′ = ′ . Maka terdapat suatu bilangan , b a c ∈ sedemikian sehingga = ′ c s . Jadi a b a f b f c f a b a f b f c f c s − − − ′ = − − − ′ = ′ a b a f b f c f − − = ′ . ■

4. Integral Definisi 2.8

Fungsi F disebut anti turunan dari fungsi f pada suatu selang I jika untuk setiap berlaku . I x ∈ x f x F = ′ Pengintegralan merupakan cara untuk mendapatkan himpunan semua anti turunan dari suatu fungsi yang diberikan. Pengintegralan tersebut didefinisikan sebagai berikut: ∫ + = C x F dx x f dan disebut integral tak tentu, di mana ∫ menyatakan lambang integral dan C merupakan konstanta sembarang. Teorema 2.8 Misalkan r adalah sebarang bilangan rasional kecuali –1, maka C r x dx x r r + + = + ∫ 1 1 . Bukti: r r r x x x r r C r x D = + + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + 1 1 1 1 1 . ■ Teorema 2.9 Misalkan f suatu fungsi dan c suatu konstanta, maka ∫ ∫ = dx x f c dx x cf . Bukti: ∫ ∫ = dx x f D c dx x f c D x x ] [ x cf = . ■ Teorema 2.10 Misalkan f dan g mempunyai anti turunan, maka ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − = − + = + dx x g dx x f dx x g x f dx x g dx x f dx x g x f Bukti: ∫ ∫ ∫ ∫ + = + dx x g D dx x f D dx x g dx x f D x x x ] [ x g x f + = . ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − = − + = − + = − dx x g D dx x f D dx x g D dx x f D dx x g D dx x f D dx x g dx x f D x x x x x x x 1 1 ] [ x g x f − = . ■