⎩ ⎨
⎧ ≤
≤ =
selainnya 2
untuk 1
π μ
x x
D
Nilai maksimum dicapai di
x f
x di mana
. 2
atau untuk
1 sup
] ,
min[ sup
2 2
π μ
μ μ
μ
π π
= =
= =
≤ ≤
≤ ≤
x x
x x
x
M x
D M
x M
Maka nilai maksimum 1
= x
f dicapai ketika
= x
atau π
2 .
Gambar 3.5. Nilai maksimum dengan daerah asal tegas
b. Daerah Asal Kabur
Sekarang dibahas cara mendapatkan nilai maksimum jika daerah
asalnya didefinisikan dalam himpunan kabur. Agar f mencapai nilai maksimum di , dua kondisi berikut harus dipenuhi:
x f
x -
x
M
μ maksimum
- x
D
μ maksimum
Elemen yang menghasilkan nilai maksimum f harus memenuhi dua kondisi di
atas. Kemungkinan x menghasilkan nilai maksimum dari f ditentukan oleh min- imum dari
M 1
x
1 1
x μ
dan
1
x
D
μ yaitu:
] ,
[ min
1 1
x x
D M
μ μ
. Titik
yang membuat fungsi f menjadi maksimum didefinisikan sebagai beri- kut:
x
] ,
[ min
sup x
x x
f
D M
X x
μ μ
∈
=
di mana x
M
μ adalah fungsi keanggotaan himpunan pemaksimum dan
x
D
μ adalah fungsi keanggotaan daerah asal kabur Gambar 3.6. Perbandingan
dengan dalam Gambar 3.6, kemungkinan
menghasilkan maksimum untuk f lebih besar dari
: x
1
x
1
x x
atau
1 1
x x
x f
x f
M M
μ μ
. Tetapi karena
1
x
D
μ jauh lebih kecil dari pada
x
D
μ , maka
dipilih sebagai nilai maksimum.
x f
Gambar 3.6. Nilai maksimum sebagai skalar
Contoh 3.11
Diberikan suatu fungsi dengan daerah asal kabur Gambar 3.7:
⎩ ⎨
⎧ ≤
≤ =
∈ +
− =
lainnya yang
1 untuk
, 2
2
x x
x D
x x
x f
D
μ
Fungsi keanggotaan himpunan pemaksimum:
1 1
2 1
2 +
− =
− −
+ −
= x
x x
M
μ .
Dari persamaan ]
, [
min sup
x x
x f
D M
X x
μ μ
∈
=
titik diperoleh ketika
x
6 .
, 1
2
= =
+ −
= x
x x
x x
D M
μ μ
Maka kita mempunyai nilai maksimum 6
. untuk
4 .
1 =
= x
x f
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Gambar 3.7. Nilai maksimum dari
2 +
− = x
x f
dengan daerah asal kabur
Contoh 3.12
Misalkan diberikan suatu fungsi tegas f dan daerah asal kaburnya D:
2 1
cos 2
1 lainnya
untuk 2
untuk ]
, 1
[ min
, cos
+ =
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
≤ ≤
= ∈
=
x x
x x
x D
x x
x f
M D
μ π
π μ
seperti dalam Gambar 3.8. Maka
] ,
[ min
max x
x
D M
X x
μ μ
∈
diperoleh ketika π
2 =
x dan .
1 =
x f
Gambar 3.8. Nilai maksimum
x x
f cos
=
dengan daerah asal kabur
C. Integral dan Differensial Fungsi Kabur
1. Integral
Sekarang kita akan membahas integral fungsi kabur pada interval tegas dan pada interval kabur.
a. Integral Fungsi Kabur pada Interval Tegas
Definisi 3.6 Integral Fungsi Kabur
Dalam interval tegas , misalkan fungsi kabur mempunyai nilai kabur
] ,
[ b
a ]
, [
untuk ~
b a
x x
f ∈
. Integral
, ~
b a
I
dari fungsi kabur dalam dide-
finisikan sebagai berikut
] ,
[ b
a
} ]
1 ,
[ ,
{ ,
~
∫ ∫
∈ +
=
+ −
b a
b a
dx x
f dx
x f
b a
I α
α
α α
di mana dan
adalah fungsi potongan- α dari
−
α
f
+
α
f ~
x f
. Tanda + dalam rumus di atas menggambarkan keseluruhan unsur-unsur dalam himpunan kabur, bukan
penjumlahan aritmetika. Selanjutnya, integral total diperoleh dengan mengumpulkan semua integral dari setiap fungsi potongan-
α. Jika kita mengerjakan operasi potongan-
α untuk fungsi kabur, diperoleh atau
sehingga kita dapat menghitung integral dari masing-masing fungsi itu:
−
α
f
+
α
f
∫
− −
=
b a
dx x
f I
~
α α
dan
∫
+ +
=
b a
dx x
f I
~
α α
Jadi dapat dikatakan bahwa kemungkinan
− α
I ~
atau
+ α
I ~
adalah anggota dari integral total
, ~
b a
I
adalah α.
Contoh 3.13
Misalkan ada suatu himpunan kabur dari fungsi-fungsi dan kita akan menghitung integralnya pada [1, 2]:
