Pengertian Himpunan Kabur Himpunan Kabur

punan {0,1}. Suatu himpunan A dalam semesta X dapat dinyatakan dengan fungsi karakteristik } 1 , { : → X A χ yang didefinisikan dengan ⎩ ⎨ ⎧ ∉ ∈ = A x A x x A jika jika 1 χ untuk setiap . X x ∈ Sedangkan dalam himpunan kabur, keanggotaannya didefinisikan dengan menggunakan suatu fungsi yang menyatakan derajat kesesuaian antara elemen- elemen dalam semesta dengan konsep yang merupakan syarat keanggotaan him- punan tersebut. Fungsi itu disebut fungsi keanggotaan, sedangkan nilai fungsinya disebut derajat keanggotaan suatu elemen dalam himpunan itu. Derajat keanggo- taan itu dinyatakan dengan suatu bilangan real dalam interval tertutup [0,1]. Definisi 2.10 Suatu himpunan kabur A ~ dalam semesta X adalah himpunan yang mempunyai fungsi keanggotaan yang dinyatakan dalam pemetaan A ~ μ dari X ke interval [0,1], ditulis: ] 1 , [ : ~ → X A μ . Nilai fungsi ~ x A μ menyatakan derajat keanggotaan elemen dalam him- punan kabur X x ∈ A ~ . Nilai fungsi sama dengan 1 menyatakan keanggotaan penuh, se- dangkan nilai fungsi sama dengan 0 menyatakan sama sekali bukan anggota dari himpunan kabur tesebut. Oleh karena itu himpunan tegas dapat dipandang sebagai kejadian khusus dari himpunan kabur, yaitu himpunan kabur yang fungsi keang- gotaanya hanya mempunyai nilai 0 atau 1 saja. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Himpunan kabur A ~ dalam semesta X dapat dinyatakan sebagai himpunan pasangan terurut, yaitu } , { ~ ~ X x x x A A ∈ = μ di mana A ~ μ adalah fungsi keang- gotaan dari himpunan kabur A ~ . Apabila semesta X adalah himpunan yang kon- tinu, maka himpunan kabur A ~ dapat dinyatakan dengan ∫ ∈ = X x A x x A ~ ~ μ di mana bukan merupakan lambang integral, tetapi melambangkan himpunan semua elemen bersama dengan derajat keanggotaanya dalam himpunan kabur ∫ X x ∈ A ~ . Sedangkan bila semesta X adalah himpunan yang diskret, maka him- punan kabur A ~ dapat dinyatakan dengan x x A X x A ~ ~ ∑ ∈ = μ di mana ∑ bukan merupakan lambang operator jumlah, tetapi melambangkan himpunan semua elemen X x ∈ bersama dengan derajat keanggotaanya dalam himpunan kabur A ~ . Contoh 2.5 Dalam semesta X={-1, -2, -3, 0, 1, 2, 3}, A ~ adalah himpunan “bilangan bulat yang dekat dengan nol” dapat dinyatakan dengan x A X x x A ~ ~ ∑ ∈ = μ = 0.10-3 + 0.30-2 + 0.50-1 + 10 + 0.501 + 0.302 + 0.103. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Definisi 2.11 Pendukung dari himpunan kabur A ~ adalah himpunan tegas yang memuat semua elemen semesta yang memiliki derajat keanggotaan taknol dalam A ~ , yang dilam- bangkan dengan Pend , dinyatakan dengan ~ A } { ~ ~ ∈ = x X x A Pend A μ . Himpunan kabur A ~ disebut himpunan kabur elemen tunggal bila pendu- kungnya adalah himpunan dengan elemen tunggal singleton. Definisi 2.12 Tinggi dari himpunan kabur A ~ , dilambangkan dengan Tinggi , adalah ~ A Tinggi = ~ A } { sup ~ x A X x μ ∈ . Himpunan kabur yang tingginya sama dengan 1 disebut himpunan kabur normal, sedangkan yang tingginya kurang dari 1 disebut himpunan kabur subnormal. Definisi 2.13 Titik silang suatu himpunan kabur adalah elemen dari semesta pembicaraan him- punan kabur itu yang mempunyai derajat keanggotaan sama dengan 0.5. Definisi 2.14 Teras dari himpunan kabur A ~ adalah himpunan dari semua elemen dari semesta pembicaraan yang mempunyai derajat keanggotaan sama dengan 1, yang dilam- bangkan dengan Teras , yaitu ~ A Teras = ~ A } 1 { ~ = ∈ x X x A μ . Definisi 2.15 Pusat dari himpunan kabur didefinisikan sebagai berikut: Jika nilai purata dari semua titik di mana fungsi keanggotaan himpunan kabur itu mencapai maksimum adalah berhingga, maka pusat himpunan kabur itu adalah nilai purata tersebut. Ji- ka nilai puratanya takhingga positif atau negatif, maka pusat himpunan kabur itu adalah yang terkecil atau terbesar di antara semua titik yang mencapai nilai fungsi keanggotaan maksimum. Contoh 2.6 Himpunan kabur dalam Contoh 2.5 di atas Pend = {-1, -2, -3, 0,1, 2, 3} ~ A Tinggi = 1 ~ A Titik silang dari A ~ adalah -1 dan 1 Teras = {0} ~ A Pusat dari A ~ adalah 0. Definisi 2.16 Dua buah himpunan kabur A ~ dan B ~ dalam semesta X dikatakan sama, dinotasi- kan dengan A ~ = B ~ , bila dan hanya bila ~ ~ x x B A μ μ = untuk setiap . X x ∈ Definisi 2.17 Himpunan kabur A ~ disebut himpunan bagian dari himpunan kabur B ~ , dinotasi- kan dengan B A ~ ~ ⊆ , bila dan hanya bila ~ ~ x x B A μ μ ≤ untuk setiap . X x ∈ Contoh 2.7 Dalam semesta X = {1,2,3,4,5,6,7}, didefinisikan himpunan kabur sebagai beri- kut: A ~ = 0.101 + 0.302 + 0.503 + 1.04 + 0.505 + 0.306 + 0.107 B ~ = 0.302 + 0.403 + 1.04 + 0.405 + 0.306 maka A B ~ ~ ⊆ .

2. Fungsi Keanggotaan

Himpunan kabur dinyatakan dengan fungsi keanggotaan. Ada beberapa cara untuk menyatakan himpunan kabur dengan fungsi keanggotaannya. Untuk himpunan hingga diskret, dengan menggunakan cara daftar, yaitu mendaftar anggota-anggota himpunan dengan derajat keanggotaannya. Misalnya dalam semesta X = {Andi, Budi, Iwan, Nanda, Anton}yang terdiri dari anak-anak dengan tinggi berturut-turut 175, 168, 170, 172, dan 169, himpunan kabur A ~ = “himpunan anak-anak yang tinggi” dapat dinyatakan dengan cara daftar berikut ini: A ~ = 0.9Andi + 0.4Budi + 0.6Iwan + 0.7Nanda + 0.5Anton. Sedangkan untuk himpunan takhingga yang kontinu, cara yang biasa di- pakai adalah cara analitik yaitu untuk merepresentasikan fungsi keanggotaan him- punan kabur dalam suatu bentuk rumus matematis yang dapat dinyatakan dalam bentuk grafik. Misalkan A adalah himpunan kabur “bilangan real yang dekat de- ngan 4”, maka A ~ dapat dinyatakan dengan ∫ ∈ − − = R x x x e A ~ 2 4 di mana merupakan fungsi keanggotaan 2 4 ~ − − = x A e x μ A ~ yang digambarkan dalam bentuk grafik berikut Gambar 2.5. Grafik fungsi keanggotaan himpunan kabur “bilangan real yang dekat dengan 4” PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI