Potongan- α dari Himpunan Kabur Prinsip Perluasan

untuk setiap . Himpunan dan juga dapat dinyatakan de- ngan menggunakan fungsi karateristik yaitu sebagai berikut: Y P B ∈ A f 1 B f − ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≠ ∈ ∀ = ∈ ∃ = = jika jika } { sup x f y X x x f y X x x y A x f y A f χ χ 1 x f x B B f χ χ = − . Suatu fungsi tegas dikatakan dikaburkan bila fungsi itu diper- luas menjadi fungsi , di mana dan berturut-turut adalah himpunan kuasa dari semesta X dan Y, yaitu himpunan semua himpunan kabur dalam X dan Y. Selain itu invers dari juga dapat dikaburkan de- ngan memperluasnya menjadi fungsi . Prinsip yang diguna- kan untuk mengaburkan fungsi tegas disebut dengan prinsip perluasan. Y X f → : : Y F X F f → X F Y F Y X f → : : 1 X F Y F f → − Definisi 2.21 Suatu fungsi tegas dapat dikaburkan dengan memperluas fungsi terse- but menjadi fungsi dengan aturan: , me- rupakan himpunan kabur dalam dengan fungsi keanggotaan Y X f → : : Y F X F f → ~ X F A ∈ ∀ ~ 1 A f − Y F ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≠ ∈ ∀ = ∈ ∃ = = jika jika } { sup ~ ~ x f y X x x f y X x x y A x f y A f μ μ Invers dari fungsi tegas dapat dikaburkan dengan memperluas menjadi fungsi dengan aturan: , meru- pakan himpunan kabur dalam dengan fungsi keanggotaan Y X f → : : 1 X F Y F f → − ~ Y F B ∈ ∀ ~ B f X F ~ ~ 1 x f x B B f μ μ = − Misalkan f adalah suatu pemetaan satu-satu, maka fungsi keanggotaan himpunan kabur adalah ~ A f ⎩ ⎨ ⎧ ≠ ∈ ∀ = ∈ ∃ = jika jika ~ ~ x f y X x x f y X x x y A A f μ μ Jadi prinsip perluasan merupakan suatu prinsip yang mendasar dalam teori himpunan kabur. Sehingga dengan prinsip perluasan tersebut kita dapat menga- burkan konsep matematik yang tegas menjadi konsep yang kabur. Contoh 2.12 Misalkan diberikan dan } 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 { = X } 10 , 9 , 8 , 7 { = Y . Pemetaan didefinisikan sebagai berikut: Y X f → : 7 2 1 = = f f , 9 3 = f , 10 6 5 4 = = = f f f . Misalkan diberikan himpunan kabur 6 9 . 5 1 4 5 . 3 7 . 2 2 . 1 6 . ~ + + + + + = A dan himpunan kabur 10 5 . 9 9 . 8 7 . 7 3 . ~ + + + = B . Dengan prinsip perluasan diperoleh 10 1 } 10 9 . 10 1 10 5 . sup{ 10 6 5 4 9 7 . 9 3 7 6 . } 7 2 . 7 6 . sup{ 7 2 1 = + + ⇒ = = = ⇒ = = + ⇒ = = f f f f f f Jadi himpunan kaburnya adalah . 6 5 . 5 5 . 4 5 . 3 9 . 2 3 . 1 3 . ~ 10 1 9 7 . 7 6 . ~ 1 + + + + + = + + = − B f A f

BAB III FUNGSI KABUR

Dalam bab ini akan diperkenalkan konsep fungsi kabur. Fungsi kabur terdiri dari fungsi tegas dengan kendala kabur dan fungsi yang mengaburkan. Himpunan pemaksimum dan peminimum juga diperkenalkan dan akan diaplikasikan untuk menentukan nilai maksimum dengan daerah asal kabur pada fungsi tegas. Dalam bagian ini juga akan dibahas tentang integral dan diferensial kabur dengan contoh-contohnya.

A. Jenis-jenis Fungsi Kabur

Fungsi kabur dapat diklasifikasikan dalam tiga kelompok, yaitu 1. Fungsi tegas dengan kendala kabur. 2. Fungsi tegas yang menularkan kekaburan dari variabel bebas ke variabel tidak bebas. 3. Fungsi pengaburan dengan variabel tegas.

1. Fungsi Tegas dengan Kendala Kabur

Definisi 3.1 Misalkan X dan Y adalah himpunan semesta tegas, dan adalah suatu fungsi tegas. A dan B adalah himpunan kabur yang berturut-turut didefinisikan dalam himpunan semesta X dan Y. Jika fungsi f memenuhi kondisi Y X f → : 37 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI X x x f x B A ∈ ∀ ≤ μ μ , maka f disebut fungsi tegas dengan kendala kabur pada daerah asal A dan daerah hasil B. Contoh 3.1 Misalkan diberikan suatu fungsi x f y = , dan fungsi f mempunyai kendala ka- bur: “Derajat keanggotaan x A μ dari x dalam A adalah lebih kecil atau sama dengan y B μ dari y dalam B” atau y x B A μ μ ≤ untuk setiap . X x ∈ Jika derajat keanggotaan dari x dalam A adalah , maka derajat keanggotaan y dalam B tidak lebih kecil dari a . a Contoh 3.2 Diberikan dua himpunan kabur } 8 . , 2 , 5 . , 1 { = A dan } 9 . , 4 , 7 . , 2 { = B , dan fungsi , 2 x x f = maka fungsi f memenuhi kondisi X x x f x B A ∈ ∀ ≤ , μ μ . Diberikan fungsi-fungsi yang memenuhi kendala kabur dan A, B, dan C adalah himpunan kabur dalam X, Y, dan Z berturut- turut. Komposisi kedua fungsi tersebut hasilnya adalah fungsi kabur , : Y X f → Z Y g → :