Integral Definisi 2.8 Fungsi Tegas

Teorema 2.9 Misalkan f suatu fungsi dan c suatu konstanta, maka ∫ ∫ = dx x f c dx x cf . Bukti: ∫ ∫ = dx x f D c dx x f c D x x ] [ x cf = . ■ Teorema 2.10 Misalkan f dan g mempunyai anti turunan, maka ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − = − + = + dx x g dx x f dx x g x f dx x g dx x f dx x g x f Bukti: ∫ ∫ ∫ ∫ + = + dx x g D dx x f D dx x g dx x f D x x x ] [ x g x f + = . ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − = − + = − + = − dx x g D dx x f D dx x g D dx x f D dx x g D dx x f D dx x g dx x f D x x x x x x x 1 1 ] [ x g x f − = . ■ Contoh 2.3 Tentukan intergral dari fungsi . 1 3 3 + + = x x x f Jawab: Integral dari fungsi tersebut adalah . 2 3 4 1 1 3 2 4 3 c x x x dx x x dx x f + + + = + + = ∫ ∫ Misalkan sebuah fungsi f didefinisikan pada selang tertutup [a, b]. Pandang suatu partisi P pada selang [a, b] yang terdiri dari n selang bagian yang memakai titik-titik b x x x x x a n n = = −1 2 1 ... dan andaikan . Pada tiap selang bagian , ambil sebarang titik 1 − − = Δ i i i x x x ] , [ 1 i i x x − i x yang disebut titik sampel untuk selang bagian ke-i. Contoh partisi dapat dilihat dalam Gambar 2.9 dengan n = 6. Gambar 2.4. Sebuah partisi dari [a, b] dengan titik-titik sampel i x Bentuk jumlahan sebagai berikut ∑ = Δ = n i i i p x x f R 1 yang disebut jumlah Riemann untuk f dengan partisi P. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Definisi 2.9 Misalkan fungsi f didefinisikan pada selang tertutup [a, b]. Jika i n i i P x x f Δ ∑ = → lim 1 ada, maka fungsi f dikatakan terintegralkan pada [a, b], di mana | P | yang disebut norma P , adalah panjang selang bagian yang terpanjang dari partisi P. Selanjut- nya, i n i i P b a x x f dx x f Δ = ∑ ∫ = → lim 1 disebut integral tentu fungsi f dalam [a, b]. Teorema 2.11 Integral tentu fungsi f dalam [a, b] adalah a F b F dx x f b a − = ∫ di mana F adalah anti turunan dari fungsi f. Bukti: Misalkan b x x x x x a P n n i = = −1 2 ... : adalah sebarang partisi dari [a, b], maka . ] [ ... 1 1 1 2 1 1 ∑ = − − − − − = − + + − + − = − n i i i n n n n x F x F x F x F x F x F x F x F a F b F Menurut Teorema 2.6, terdapat , 1 i i i x x x − ∈ sedemikian sehingga x x f x x x F x F x F i i i i i i Δ = − ′ = − − − 1 1 . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Jadi ∑ = Δ = − n i i x x f a F b F 1 . Apabila kedua ruas diambil limitnya untuk , maka diperoleh | | → P . lim 1 | | ∫ ∑ = Δ = − = → b a n i i P dx x f x x f a F b F ■ Contoh 2.4 Diketahui fungsi . Hitungah integral tentu dari fungsi tersebut dalam interval [1, 2]. 2 2 + = x x f Jawab: . 3 1 4 3 7 3 20 2 3 1 2 2 1 3 2 1 2 = − = ⎥⎦ ⎤ + = + ∫ x x dx x

B. Himpunan Kabur

1. Pengertian Himpunan Kabur

Kita telah mengenal himpunan tegas, yaitu himpunan yang terdefinisi se- cara tegas dalam arti bahwa untuk setiap elemen dalan suatu semesta pembicaraan selalu dapat ditentukan secara tegas apakah elemen tersebut termasuk anggota himpunan itu atau tidak. Ada batas yang tegas antara elemen yang termasuk ang- gota dan yang tidak termasuk anggota himpunan itu. Suatu himpunan tegas dapat dinyatakan dalam fungsi karakteristik, yaitu fungsi dari semesta X ke dalam him- punan {0,1}. Suatu himpunan A dalam semesta X dapat dinyatakan dengan fungsi karakteristik } 1 , { : → X A χ yang didefinisikan dengan ⎩ ⎨ ⎧ ∉ ∈ = A x A x x A jika jika 1 χ untuk setiap . X x ∈ Sedangkan dalam himpunan kabur, keanggotaannya didefinisikan dengan menggunakan suatu fungsi yang menyatakan derajat kesesuaian antara elemen- elemen dalam semesta dengan konsep yang merupakan syarat keanggotaan him- punan tersebut. Fungsi itu disebut fungsi keanggotaan, sedangkan nilai fungsinya disebut derajat keanggotaan suatu elemen dalam himpunan itu. Derajat keanggo- taan itu dinyatakan dengan suatu bilangan real dalam interval tertutup [0,1]. Definisi 2.10 Suatu himpunan kabur A ~ dalam semesta X adalah himpunan yang mempunyai fungsi keanggotaan yang dinyatakan dalam pemetaan A ~ μ dari X ke interval [0,1], ditulis: ] 1 , [ : ~ → X A μ . Nilai fungsi ~ x A μ menyatakan derajat keanggotaan elemen dalam him- punan kabur X x ∈ A ~ . Nilai fungsi sama dengan 1 menyatakan keanggotaan penuh, se- dangkan nilai fungsi sama dengan 0 menyatakan sama sekali bukan anggota dari himpunan kabur tesebut. Oleh karena itu himpunan tegas dapat dipandang sebagai kejadian khusus dari himpunan kabur, yaitu himpunan kabur yang fungsi keang- gotaanya hanya mempunyai nilai 0 atau 1 saja. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI