2.8 Model Loglinier
Menurut Razia Azen dan Cindy M. Walker 2011 model loglinier digunakan untuk memodelkan jumlah sel pada tabel kontingensi. Tujuan yang ingin dicapai pada
model loglinier adalah mengestimasi parameter yang menjelaskan hubungan antar variabel kategori. Tidak adanya perbedaan antara variabel penjelas dengan variabel
respon, sehingga model loglinier hanya dapat menggambarkan struktur interaksi antar variabelnya. Analisis log linier merupakan perluasan dari tabel kontingensi
dua dimensi di mana hubungan bersyarat di antara dua atau lebih variabel kategori diskrit dianalisis dengan mengambil logaritma natural dari frekuensi sel pada tabel
kontingensi. Model loglinier yang akan dibahas adalah model loglinier dua dimensi dan model loglinier tiga dimensi.
1. Model Loglinier Pada Tabel Kontingensi Dua Dimensi
a. Model Loglinier Independen
Andaikan probabilitas sel pada tabel kontingensi dua dimensi adalah �
��
dengan jumlah observasi � dan nilai harapan �
��
= �. �
��
. Berdasarkan sifat independen maka
�
��
= �. �
�+
. �
+ �
dimana �
�+
adalah probabilitas dari variabel baris
� dan �
+ �
adalah probabilitas dari variabel kolom �.
Ketika praktek, �
��
tidak diketahui yang diamati adalah �
��
, sehingga probabilitas harus ditaksir untuk mencari frekuensi harapan. Besarnya
probabilitas dapat dihitung dengan ��
�+
=
�
�+
�
, ��
+ �
=
�
+ �
�
, sehingga estimasi nilai harapannya sebagai berikut:
��
��
= �. ��
�+
. ��
+ �
= �
�+
�
+ �
� 2.2
Keterangan : ��
���
= nilai harapan �
�+
= ∑
�
�� �
� =1
= jumlah marginal pada variabel baris ke �
�
+ �
= ∑
�
�� �
�=1
= jumlah marginal pada variabel kolom ke �
� = �
++
= ∑
∑ �
�� �
� =1 �
�=1
= jumlah seluruh nilai observasi ke ��
Universitas Sumatera Utara
Setelah terbentuk tabel kontingensi dua dimensi, model loglinier akan menggambarkan pola hubungan antar variabel katagorik. Model
independen logliniernya berdasarkan peluang yaitu: �
��
= � + �
� �
+ �
� �
2.3 Keterangan:
� = 1,2, ⋯ , � dan � = 1,2, ⋯ , � �
��
= ln ��
��
= logaritma natural dari frekuensi harapan sel ke ��
� = parameter rataan umum �
� �
= parameter pengaruh utama variabel pertama � pada katagori ke �
�
� �
= parameter pengaruh utama variabel kedua � pada katagori ke �
b. Model Loglinier Lengkap
Frekuensi harapan pada model loglinier lengkap sama dengan nilai observasinya
��
��
= �
��
. Model umum disebut juga model saturated. Model lengkap pada dua dimensi sebagai berikut:
�
��
= � + �
� �
+ �
� �
+ �
�� ��
2.4 Keterangan:
� = 1,2, ⋯ , � dan � = 1,2, ⋯ , � �
��
= ln ��
��
= logaritma natural dari frekuensi harapan sel ke ��
� = parameter rataan umum �
� �
= parameter pengaruh utama variabel pertama � pada katagori ke �
�
� �
= parameter pengaruh utama variabel kedua � pada katagori ke �
�
�� ��
= parameter pengaruh interaksi variabel pertama � katagori ke �
dengan variabel kedua � katagori ke �
2. Model Loglinier Pada Tabel Kontingensi Tiga Dimensi
Model loglinier tiga dimensi merupakan pengembangan model loglinier dua dimensi. Semakin banyak dimensi pada tabel kontingensi maka semakin
Universitas Sumatera Utara
banyak model loglinier yang dianalisis. Pada tabel tiga dimensi, model-model loglinier tersebut sebagai berikut:
Tabel 2.4 Model-model Loglinier Tiga Dimensi
Model
a
Interpretasi Simbol
Model Tipe
�
���
= � + �
� �
+ �
� �
+ �
� �
Variabel saling independen
�, �, � Mutually
Independent �
���
= � + �
� �
+ �
� �
+ �
� �
+ �
�� ��
� independen terhadap
� dan �
��, � Jointly
Independent �
���
= � + �
� �
+ �
� �
+ �
� �
+ �
�� ��
+ �
�� ��
� dan � independen
dengan syarat �
��, �� Conditionally
independent �
���
= � + �
� �
+ �
� �
+ �
� �
+ �
�� ��
+ �
�� ��
+ �
�� ��
Setiap dua variabel
berhubungan dengan variabel
ketiga ��, ��, ��
Homogeneous Association
�
���
= � + �
� �
+ �
� �
+ �
� �
+ �
�� ��
+ �
�� ��
+ �
�� ��
+ �
��� ���
Ketiga variabel berhubungan
��� General Model
a
Formula untuk model yang tidak tertulis memiliki kemiripan, misalnya untuk XZ, Y,
�
���
= � + �
� �
+ �
� �
+ �
� �
+ �
�� ��
.
Sumber: Agresti 2002
Pada tabel 2.4 model umum loglinier tiga dimensi yaitu:
�
���
= � + �
� �
+ �
� �
+ �
� �
+ �
�� ��
+ �
�� ��
+ �
�� ��
+ �
��� ���
2.5 Keterangan:
� = 1,2, ⋯ , � ; � = 1,2, ⋯ , � dan � = 1,2, ⋯ , � �
���
= ln ��
���
= logaritma natural dari frekuensi harapan sel ke ���
� = parameter rataan umum �
� �
= parameter pengaruh utama variabel pertama � pada katagori ke �
�
� �
= parameter pengaruh utama variabel kedua � pada katagori ke �
�
� �
= parameter pengaruh utama variabel ketiga � pada katagori ke �
Universitas Sumatera Utara
�
�� ��
= parameter pengaruh interaksi variabel pertama � katagori ke �
dengan variabel kedua � katagori ke �
�
�� ��
= parameter pengaruh interaksi variabel pertama � katagori ke �
dengan variabel ketiga � katagori ke �
�
�� ��
= parameter pengaruh interaksi variabel kedua � katagori ke � dengan
variabel ketiga � katagori ke �
�
��� ���
= parameter pengaruh interaksi variabel pertama � katagori ke- �
variabel kedua � katagori ke- � dengan variabel ketiga � katagori
ke �
2.9 Kendala Parameter