Statistik Cukup Minimal dan Fungsi Likelihood

variabel, jika ada interaksi dua arah yang masuk ke dalam model maka pengaruh utama pada variabel juga masuk ke dalam model. Misal mengikuti model loglinier secara hirarki jika ada mengandung dua interaksi yaitu satu untuk � dan � dan satu untuk � dan �, maka juga mengandung pengaruh utama semua tiga variabel: � ��� = � + � � � + � � � + � � � + � �� �� + � �� �� 2.6 Jika ada salah satu dari pengaruh utama yang tidak masuk ke dalam model maka model tidak hirarki.

2.11 Statistik Cukup Minimal dan Fungsi Likelihood

Setelah diperoleh model loglinier yang terbaik, maka selanjutnya melakukan estimasi parameter dari model loglinier tersebut. Estimasi suatu parameter dalam model loglinier berarti menaksir nilai harapan tiap sel pada tabel kontingensi. Misalkan terpilih model ��, ��, maka untuk mendapatkan estimasi parameter �, � � � , � � � , � � � , � �� �� , � �� �� adalah dengan estimasi nilai � ��� . Metode penaksiran yang digunakan adalah metode maksimum likelihood adalah prosedur untuk menemukan nilai estimasi dari satu atau lebih parameter yang memaksimumkan fungsi likelihood. Sebelum mendapatkan estimasi nilai harapan dari model loglinier dengan metode maksimum likelihood, terlebih dahulu dicari statistik cukup dari model loglinier. Menurut Agresti 2002, sebelum menentukan kecocokan model loglinier, hal pertama yang harus diperoleh adalah statistik cukup minimal. Statistik cukup adalah tabel marginal yang melambangkan model. Menurut Bayo lawal 2003, statistik cukup minimal adalah susunan penjumlahan yang berhubungan dengan pengaruh pada model loglinier. Peluang gabungan poisson pada { � ��� } adalah � � � � −� ��� � ��� � ��� � ��� � � � 2.7 dimana hasil kali menunjukkan seluruh sel pada tabel. log likelihood dari � yaitu: Universitas Sumatera Utara �� = � � � � ��� � ln � ��� � � − � � � � ��� � � � 2.8 Model umum loglinier tiga dimensi ��� pada tabel 2.3, yaitu: � ��� = � + � � � + � � � + � � � + � �� �� + � �� �� + � �� �� + � ��� ��� 2.9 Diketahui � ��� = ln � ��� pada persamaan 2.9, jika persamaan tersebut dirubah menjadi bentuk logaritma maka diperoleh � ��� = exp �� + � � � + � � � + � � � + � �� �� + � �� �� + � �� �� + � ��� ��� � 2.10 Persamaan 2.10 disubstitusi ke persamaan log likelihood, yaitu: �� = � � � � ��� � �� + � � � + � � � + � � � + � �� �� + � �� �� + � �� �� + � ��� ��� � � � − � � � exp⁡�� + ⋯ + � ��� ��� � � � � �� = �� + � � �++ � � � � + � � + � + � � � + � � ++ � � � � � � + � � � �� + � �� �� � � + � � � �+� � �� �� + � � � � � + �� � �� �� + � � � � ��� � ��� ��� − � � � � � � � � exp�� + ⋯ + � ��� ��� �. 2.11 � � � Notasi � merupakan parameter-parameter dalam model yang menjelaskan respon dari masing-masing variabel. Pada persamaan 2.11, { � �++ }, { � + � + } dan { � ++ � } merupakan koefisien dari masing-masing parameter dan jika { � �++ }, { � + � + } dan { � ++ � } berdiri sendiri tanpa diikuti oleh parameter-parameter maka { � �++ }, { � + � + } dan { � ++ � } adalah statistik cukup. Beberapa statistik cukup sesuai model sebagai berikut: Tabel 2.5 Statistik Cukup Minimal pada Model Loglinier Universitas Sumatera Utara Model Statistik Cukup Minimal �, �, � { � �++ }, { � + � + }, { � ++ � } ��, � { � �� + }, { � ++ � } ��, �� { � �� + }. { � + �� } ��, ��, �� { � �� + }, { � �+� }, { � + �� } Sumber: Agresti 2002 Menurut Agresti 2002, nilai harapan pada suatu model merupakan penyelesaian menggunakan persamaan likelihood. Derivatif persamaan likelihood terhadap parameter-parameternya masing-masing disama dengankan nol sehingga diperoleh statistik cukup sama dengan nilai harapan. Misalkan untuk model ��, ��. Log likehood persamaan 2.10 dengan � �� �� = � ��� ��� = 0. Derivatif persamaan log likelihood 1. Derifatif Lm terhadap � ∂Lm ∂� = � − � � � ����� + � � � + � � � + � � � + � �� �� + � �� �� � � � � Karena ln �� ��� � = � + � � � + � � � + � � � + � �� �� + � �� �� exp �� + � � � + � � � + � � � + � �� �� + � �� �� � = � ��� diperoleh ∂Lm ∂� = � − � � � � ��� � � � 0 = � − � � � � ��� � � � � = � � � � ��� � � � � = �� +++ 2.12 2. Derifatif Lmterhadap � � � ∂Lm ∂� � � = � �++ − � � ����� + � � � + � � � + � � � + � �� �� + � �� �� � � � Karena ln �� ��� � = � + � � � + � � � + � � � + � �� �� + � �� �� exp �� + � � � + � � � + � � � + � �� �� + � �� �� � = � ��� Universitas Sumatera Utara diperoleh ∂Lm ∂� � � = � �++ − � � � ��� � � 0 = � �++ − � � � ��� � � � �++ = � � � ��� � � � �++ = �� �++ semua � 2.13 Menggunakan cara yang sama untuk � � � . 3. Derifatif Lmterhadap � �� �� ∂Lm ∂� �� �� = � �+� − � ����� + � � � + � � � + � � � + � �� �� + � �� �� � � Karena ln �� ��� � = � + � � � + � � � + � � � + � �� �� + � �� �� exp �� + � � � + � � � + � � � + � �� �� + � �� �� � = � ��� diperoleh ∂Lm ∂� �� �� = � �+� − � � ��� � 0 = � �+� − � � ��� � � �+� = � � ��� � � �+� = �� �+� semua � dan � 2.14 Menggunakan cara yang sama untuk � �� �� . Berdasarkan model ��, �� tersebut, terlihat nilai harapan mempunyai kesamaan dengan total marginal observasi data �� dan ��.

2.12 Estimasi Frekuensi Harapan Model Loglinier Tiga Dimensi