pengelolaan kegiatan dan pengalaman belajar mengajar, dan sebagainya; terlalu berat beban belajar siswa dan atau mengajar guru, terlampau
besar populasi siswa dalam kelas, terlalu banyak menuntut siswa dalam kegiatan di luar; terlalu sering pindah sekolah, atau program, tinggal
kelas; kelemahan dari system belajar mengajar pada tingkat-tingkat pendidikan dasar asal sebelumnya; kelemahan yang terdapat dalam
kondisi rumah tangga pendidikan, status sosial ekonomi, keutuhan keluarga, ketentraman dan kemanan sosial psikologis; terlalu banyak
kegiatan di luar jam sekolah atau terlalu banyak terlibat kegiatan extra- curricular; dan kekurangan gizi.
D. Limit Fungsi Aljabar
Istilah limit dalam matematika hampir sama artinya dengan istilah mendekati. Akibatnya, nilai limit sering dikatakan sebagai nilai pendekatan.
Berikut ini adalah penjelasan limit fungsi berdasarkan Purcell 1987: 1. Definisi Limit
a. Secara Intuisi Pandang fungsi yang ditentukan oleh rumus
1 1
3
x
x x
f
Fungsi
f
tidak terdefinisikan di 1
x
karena di 1
x
,
x f
berbentuk . Tetapi masih dapat diselidiki apa yang terjadi dengan
x f
apabila
x
mendekati 1 tetapi 1
x
.
Untuk 1
x
1 1
1 1
1
2 3
x x
x x
x x
x f
1
2
x
x
Untuk
x
mendekati 1, maka nilai
x f
mendekati 3, ditulis
1 1
1 lim
1 1
lim
2 1
3 1
x x
x x
x x
x x
3 1
lim
2 1
x x
x
Dapat dilihat dengan menunjukkan nilai-nilai ini dalam sebuah skematis dan mensketsakan grafik
x f
y
Tabel 2.2 Tabel Nilai
x 1
1
3
x
x y
1,25 1,1
1,01 1,001
1,000
0,999
0,99 3,813
3,310 3,030
3,003
?
2,997 2,970
0,9 0,75
2,710 2,313
Gambar 2.1 Diagram Sistematis
Sumber: Purcell Varberg, 1987
Gambar 2.2 Grafik dari
1 1
3
x x
x f
y Sumber: Purcell Varberg, 1987
Kesimpulannya adalah
x f
mendekati 3 bilamana
x
mendekati 1. Dalam lambang matematis dapat ditulis
3 1
1 lim
3 1
x x
x
dan dibaca
“limit dari
1 1
3
x x
untuk
x
mendekati 1 adalah 3.” Definisi
Pengertian limit secara intuisi. Untuk mengatakan bahwa
L x
f
c x
lim
berarti bahwa bilamana
x
dekat tapi berlainan dari
c
, maka
x f
dekat dengan L .
b. Membuat Definisi Persis Matematis Kita ganti bilangan-bilangan kecil positif dengan memakai huruf
Yunani yaitu
ε
epsilon dan δ
delta. Mengatakan bahwa
x f
berbeda dari L lebih kecil dari
ε
sama saja dengan mengatakan
ε
L x
f
ε ε
L x
f L
Yang berarti
x f
terletak dalam selang terbuka
, ε
ε
L
L
seperti gambar di bawah ini
Untuk
x
cukup tetapi berlainan dengan
c
sama saja dengan mengatakan bahwa untuk suatu
δ ,
x
terletak dalam selang terbuka
, δ
δ
c
c
dengan
c
tidak diikutkan. δ
c
x Perhatikan bahwa
δ
c x
akan memberikan selang δ
δ
c
x c
,
sedangkan c
x
mensyaratkan bahwa
c x
dikecualikan. Selang dengan pengecualian yang diuraikan tersebut dapat dilihat pada gambar
di bawah ini Gambar 2.3
ε
L x
f
Sumber: Purcell Varberg, 1987
2. Limit-limit Sepihak Bilamana suatu fungsi memiliki lompatan, maka limit tidak ada pada
setiap titik lompatan. Untuk fungsi-fungsi yang demikian, adalah wajar untuk memperkenalkan limit-limit sepihak. Andaikan lambang
c x
berarti bahwa
x
mendekati
c
dari kanan, dan andaikan
c x
berarti bahwa
x
mendekati
c
dari kiri. Gambar 2.4
δ
c x
Sumber: Purcell Varberg, 1987
Definisi Pengertian
persis tentang
limit. Mengatakan
bahwa
L x
f
c x
lim
berarti bahwa untuk setiap
ε yang diberikan
betapapun kecilnya, terdapat
δ yang berpadanan sedemikian
sehingga ε
L
x f
asalkan bahwa δ
c
x ; yakni
ε δ
L x
f c
x
Definisi Limit kiri dan limit kanan. Untuk mengatakan bahwa
L x
f
c x
lim
berarti bahwa bilamana
x
dekat tetapi pada sebelah kanan
c
, maka
x f
adalah dekat ke L . Serupa, untuk mengatakan bahwa
L x
f
c x
lim
berarti bahwa bilamana
x
dekat tetapi pada sebelah kiri
c
, maka
x f
adalah dekat ke L .
Akibat dari teorema A a. Jika
lim x
f
c x
tidak ada atau
lim x
f
c x
tidak ada, maka
lim x
f
c x
tidak ada.
b. Jika
lim x
f
c x
ada atau
lim x
f
c x
ada, tetapi
lim lim
x f
x f
c x
c x
, maka
lim x
f
c x
tidak ada. Kita ganti bilangan-bilangan kecil positif dengan memakai huruf
Yunani yaitu
ε
epsilon dan δ
delta.
3. Teorema Limit Teorema A
L x
f
c x
lim
jika dan hanya jika
L x
f
c x
lim
dan
L x
f
c x
lim
Definisi Mengatakan
L x
f
c x
lim
berarti bahwa untuk tiap
ε , terdapat
δ
yang berpadanan sedemikian sehingga ε
δ
L
x f
c x
Teorema A Teorema limit utama. Andaikan
n
bilangan bulat positif, k konstanta,
f
dan g adalah fungsi-fungsi yang memiliki limit di
c
, maka a.
k k
c x
lim
b.
lim c
f x
f
c x
c.
lim .
lim x
f k
x f
k
c x
c x
d.
x g
x f
x g
x f
c x
c x
c x
lim
lim lim
4. Limit Fungsi Aljabar Cara penyelesaian Limit Fungsi Aljabar
a. Metode substitusi Jika fungsi
x f
mempunyai nilai tertentu untuk
c x
, maka
lim c
f x
f
c x
, asalkan
c
. Teorema B
Teorema Substitusi. Jika
f
suatu fungsi polinom atau rasional, maka
lim c
f x
f
c x
Asalkan dalam kasus fungsi rasional nilai penyebut di
c
tidak nol.
Teorema C Teorema Apit. Andaikan
g f ,
dan h adalah fungsi-fungsi yang memenuhi
x h
x g
x f
untuk semua
x
dekat
c
, kecuali mungkin di
c
. Jika
L x
g x
h x
f
c x
c x
c x
lim lim
lim
e.
x g
x f
x g
x f
c x
c x
c x
lim
lim lim
f.
x g
x f
x g
x f
c x
c x
c x
lim
lim lim
g.
lim lim
lim x
g x
f x
g x
f
c x
c x
c x
, dengan syarat
lim
x g
c x
h.
n c
x n
c x
x f
x f
lim lim
i.
n c
x n
c x
x f
x f
lim lim
,
asalkan
lim
x f
c x
bilamana
n
genap
b. Metode Pemfaktoran Jika
x h
x g
x f
dan dengan substitusi langsung
c x
diperoleh
x h
x g
c f
, bentuk
x g
dan
x h
difaktorkan lebih dahulu sehingga memiliki faktor yang sama yang dapat disederhanakan
sedemikian sehingga
c
f
. Selanjutnya perhitungan limit dapat dilakukan dengan cara substitusi.
Secara umum, cara menyelesaikan limit fungsi
x f
bentuk tak tentu dengan memfaktorkan adalah sebagai berikut
lim lim
lim lim
2 2
2 2
x S
x H
x S
c x
x H
c x
x h
x g
x f
x x
x x
c. Metode Mengalikan dengan Akar Sekawan Beberapa Fungsi yang akan ditentukan Limitnya merupakan
sebuah Fungsi irasional sehingga sulit untuk difaktorkan. Untuk bentuk seperti ini,
kita harus menghilangkan tanda akar dengan cara mengalikannya dengan akar sekawan. Setelah itu baru difaktorkan. Cara
merasionalkan penyebut suatu pecahan telah kita pelajari di kelas 1, antara lain:
1 Pecahan berbentuk
b a
dikalikan dengan b
b sehingga diperoleh
b b
a b
b a
b b
b a
b a
2 Pecahan berbentuk
b a
c
dikalikan dengan b
a b
a
sehingga
diperoleh
b a
b a
c b
a b
a b
a c
b a
c
Materi Limit Fungsi Aljabar di SMA a. Limit Fungsi
x f
untuk
c x
Langkah-langkah menentukan
R c
x f
a x
, lim
sebagai berikut 1 Tentukan nilai
lim x
f
dengan mensubstitusikan nilai
c x
pada fungsi
x f
. Dengan demikian kita memperoleh
. lim
c f
x f
c x
Jika
c
, maka nilai
lim x
f
c x
telah diperoleh.
Jika
c
f
bentuk tak tentu, maka teruskan ke langkah 2. 2 Tentukan
lim
2
x f
x
dengan cara memfaktorkan. b. Limit fungsi
x f
untuk
x
1 Bentuk lim
x h
x g
x
Jika kita lakukan substitusi langsung pada limit tersebut maka akan diperoleh bentuk
. Penyelesaian di atas dilakukan dengan cara membagi
x f
dan
x g
dengan
n
x
, dengan
n
adalah pangkat tertinggi dari
x f
dan
x g
.
2 Bentuk
lim x
g x
f
x
Bentuk limit tersebut dapat diselesaikan dengan cara mengalikan dengan
bentuk sekawannya,
yaitu x
g x
f x
g x
f
,
kemudian membaginya dengan
x
pangkat tertinggi dari pembilang dan penyebutnya
E. Pembelajaran Remidial
