Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 11
BAB III METODE ALJABAR
3.1. Pengertian
Program linier dengan dengan metode aljabar yaitu menyelesaikan permasalahan dalam perhitungan matematika agar mendapatkan nilai yang optimum
maksimum atau minimum. Secara umum model matematika yang diselesaikan merupakan pertidaksamaan dan metode yang digunakan umtuk mengubah
ketaksamaan menjadi kesamaan yaitu metode aljabar. Adapun langkah-langkah dalam metode aljabar dengan melakukan standarisasi
ketidaksamaan menjadi kesamaan, yaitu: 1.
Memasukkan unsur variable semua ke ruas kiri fungsi kendala. 2.
Unsur fungsi kendala bertanda dilakukan dengan penambahan slack
variables .
Slack variables yaitu suatu variable yang ditambahkan disebelah kiri tanda
ketidaksamaan agar ketidaksamaan menjadi persamaan. 3.
Unsur fungsi kendala bertanda dilakukan dengan pengurangan atau surplus
variables .
Surplus variables yaitu variable yang dikurangkan di dalam suatu
ketidaksamaan agar supaya menjadi persamaan.
3.2. Menentukan Banyak Persamaan
Pada umumnya, kalau ada n variable yaitu
, , … , , … , , akan tetapi hanya
ada m persamaan, maka dapat diperoleh sebanyak K persamaan, dengan rumus:
� =
−
dimana ∶
dan ∶
Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 12
Ada beberapa istilah dalam penyelesaian program linier dengan metode aljabar, yaitu:
1. Variable yang diperoleh dari m persamaan disebut variable dasar basic
variables , sedangkan pemecahannya disebut pemecahan dasar basic
solution 2.
Pemecahan yang memenuhi semua syarat pembatasan disebut pemecahan fisibel feasible solution
3. Pemecahan yang menghasilkan paling sedikit satu variable yang negatif
disebut tidak fisibel not feasible 4.
Pemecahan dasar fisibel yang memenuhi optimum disebut pemecahan optimal
.
Contoh:
1. Menentukan
Fungsi =
+
maksimum
Pembatas +
, +
, ,
Cara: Persamaan dirubah dulu menjadi standar yaitu slack variables dengan
memasukkan variable yang harus ditambahkan di dalam ketidaksamaan agar menjadi persamaan, sehingga persamaan akan berubah menjadi:
a. Menentukan
, , , b.
Fungsi =
+ +
+
maksimum
c. Pembatas
+ +
= ,
+ +
= ,
, ,
d. Menentukan banyaknya solusi dengan menggunakan rumus:
� =
−
� =
−
= =
e. Mengenolkan dua variable, dengan 6 solusi yaitu:
� = � =
+ +
= =
+ +
= =
Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 13
Diperoleh: =
+ +
+ =
+ +
+ = tidak ada penjualan
� = � =
+ +
= =
+ +
= = − tidak fisibel
Diperoleh: tidak dihitung, karena negatif maka pemecahan tidak fisibel
� = � =
+ +
= =
+ +
= =
Diperoleh: =
+ +
+ =
+ +
+ =
� = � =
+ +
= =
+ +
= =
Diperoleh: =
+ +
+ =
+ +
+ =
� = � =
+ +
= = −
tidak fisibel +
+ =
= Diperoleh:
tidak dihitung, karena negatif maka pemecahan
tidak fisibel
� = � = +
+ =
= +
+ =
= Diperoleh:
= +
+ +
= +
+ +
=
terbesar = maksimum
Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 14
Oleh karena yang memberikan nilai tujuan terbesar maka
= =
� �
Jadi pemecahan dasar ke 6 meruapakn pemecahan yang optimal. Jumlah hasil penjualan maksimum sebesar
. Keputusan yang harus dibuat oleh pemilik perusahaan yaitu bahwa barang A dan B masing-masing harus diproduksi
sebesar 12 satuan dan 6 satuan. 2.
Menentukan Fungsi
= +
minimum
Pembatas +
, +
, ,
Cara: Persamaan dirubah dulu menjadi standar yaitu surplus variables dengan
memasukkan variable yang harus dikurangkan di dalam ketidaksamaan agar menjadi persamaan, sehingga persamaan akan berubah menjadi:
a. Menentukan
, , , b.
Fungsi =
+ −
−
minimum
c. Pembatas
+ −
= , + −
= ,
, ,
d. Menentukan banyaknya solusi dengan menggunakan rumus:
� =
−
� =
−
= =
e. Mengenolkan dua variable, dengan 6 solusi yaitu:
� = � =
+ −
= = − tidak fisibel
+ −
= = − tidak fisibel
Diperoleh: tidak dihitung, karena negatif maka pemecahan
tidak fisibel.
� = � = +
− =
= +
− = =
Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 15
Diperoleh: =
+ −
− =
+ −
− =
� = � =
+ −
= = − tidak fisibel
+ −
= = Diperoleh: tidak dihitung, karena
negatif maka pemecahan tidak fisibel.
� = � =
+ −
= = +
− = = − tidak fisibel
Diperoleh: tidak dihitung, karena negatif maka pemecahan tidak
fisibel.
� = � = +
− =
= +
− =
= Diperoleh:
= +
− −
= +
− −
=
� = � = +
− =
= +
− = =
Diperoleh: =
+ −
− =
+ −
− = terkecil = minimum
= =
karena merupakan nilai tujuan yang terkecil apabila dibandingkan dengan nilai tujuan yang lain.
Pemecahan optimal memberikan nilai = dengan =
=
Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 16
Soal-soal:
1. Maksimum
= +
Dengan kendala +
, +
, untuk ,
Tentukan solusi dan nilai optimum dengan metode aljabar 2.
Minimumkan = ,
+ , Dengan pembatas
+ ,
+ ,
, Tentukan solusi dan nilai optimum dengan metode aljabar
3. Maksimum
= +
Dengan pembatas +
, +
, ,
Tentukan solusi dan nilai optimum dengan metode aljabar 4.
Maksimum =
+ Dengan kendala
+ ,
+ ,
, Tentukan solusi dan nilai optimum dengan metode aljabar
Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 17
BAB IV METODE SIMPLEKS
4.1. Pengertian