Program Linier Retno

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 1

BAB I

PENGANTAR PROGRAM LINIER

1.1. Pengertian

Program linier merupakan kata benda dari pemogramman linier (linear programming), muncul dalam penelitian operasional (operational research). Menurut George B. Dantzing yang sering disebut Bapak Linear Programming, di dalam bukunya “Linear Programming and Extension”, menyebutkan bahwa ide dari linear programming ini berasal dari ahli matematik Rusia bernama L.V. Kantorivich yang pada tahun 1939 menerbitkan sebuah karangan dengan judul “Mathematical Methods in The Organization and Planning of Production”, yang didalamnya telah dirumuskan persoalan linear programming untuk pertama kalinya. Ide ini, di Rusia tidak berkembang dan justru berkembang di dunia barat, kemudian tahun 1947 seorang ahli matematik dari Amerika Serikat yaitu George B. Dantzing menemukan suatu cara untuk memecahkan persoalan linear programming tersebut dengan suatu metode yang disebut “Simplex Methods”. Setelah itu, linear programming berkembang pesat sekali, semula di bidang militer (untuk penyusunan strategi perang) maupun di bidang bussines (persoalan untuk mencapai maksimum profit, minimum loss, dll). Sekarang berkembang luas di dalam perencanaan pembangunan ekonomi nasional, misalnya di dalam penentuan “allocation of investments” ke dalam sektor-sektor perekonomian, “rotation corp policy”, peningkatan penerimaan devisa, dll.

Program linier (linear programming) merupakan meodel matematik dalam mengalokasikan sumberdaya yang langka untuk mencapai tujuan tunggal seperti memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya. Program linier sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linear dan sistem kendala linier.

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 2 1.2. Persoalan Optimasi & Persoalan Programming

Pada dasarnya persoalan optimasi (optimazion problems) merupakan suatu persoalan membuat nilai fungsi = + + ⋯ + , dengan variabel yaitu , , … . , menjadi maksimum atau minimum dengan memperhatikan kendala-kendala atau pembatas-pembatas yang ada. Biasanya pembatas-pembatas tersebut meliputi tenaga kerja, uang, material yang merupakan input, serta waktu dan ruang.

Persoalan programming pada dasarnya berkenaan dengan penentuan alokasi yang optimal dari sumber-sumber yang langka (limited resources) untuk memnuhi suatu tujuan (objective). Misalnya, bagaimana mengkombinasikan beberapa sumber yang terbatas seperti tenaga kerja, material, mesin, tanah, pupuk, air sehingga diperoleh output yang maksimum.

Persoalan linear programming adalah persoalan untuk menentukan besarnya masing-masing nilai variable sedemikian rupa sehingga nilai fungsi tujuan atau obyektif (objective function) yang linier menjadi optimum (maksimum atau minimum) dengan memperhatikan pembatasan-pembatasan yang ada yaitu pembatasan mengenai inputnya. Pembatasan-pembatasan inipun harus dinyatakan dalam ketidaksamaan yang linier (linear inequality).

Suatu persoalan disebut persoalan program linier apabila memenuhi hal-hal berikut:

a. Tujuan (objective) yang akan dicapai harus dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi linier. Fungsi ini disebut fungsi tujuan (objective function)

b. Harus ada alternative pemecahan. Pemecahan yang membuat nilai fungsi tujuan optimum (laba yang maksimum, biaya yang minimum, dll) yang hartus dipilih

c. Sumber-sumber tersedia dalam jumlah terbatas (bahan mentah terbatas, ruangan untuk menyimpan barang terbatas, dll). Pembatasan-pembatasan harus dinyatakan di dalam ketidaksamaan yang linier (linear inequality)

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 3 Secara teknis, ada syarat tambahan dari permasalahan program linier yang harus diperhatikan sebgai asumsi dasar yaitu:

a. Kepastian (certainty), yaitu fungsi tujuan dan fungsi kendala sudah diketahui dan tidak berubah selama periode analisa

b. Proporsionalitas (proportionality), yaitu adanya proporsionalitas dalam fungsi tujuan dan fungsi kendala

c. Penambahan (additivity), yaitu aktivitas total sama dengan penjumlahan aktivitas individu

d. Bisa dibagi-bagi (divisibility), yaitu solusi tidak harus merupakan bilangan integer (bilangan bulat) tetapi bisa juga bilangan pecahan

e. Variable tidak negatif (non-negative variable), yaitu bahwa semua nilai jawaban atau variabel tidak negative

1.3. Formulasi Model Matematika.

 Masalah keputusan yang sering dihadapi analis yaitu alokasi optimum sumber daya.

 Sumber daya dapat berupa uang, tenaga kerja, bahan mentah, kapasitas mesin, waktu, ruangan atau teknologi.

 Tugas analisis adalah mencapai hasil terbaik dengan keterbatasan sumber daya tersebut.

 Setelah masalah diidentifikasikan dan tujuan ditetapkan, maka langkah selanjutnya yaitu formulasi model matematik.

 Formulasi model matematik ada 3 tahap yaitu:

a. Menentukan variable yang tidak diketahui dan dinyatakan dengan simbol b. Membentuk fungsi tujuan yang ditunjukkan sebagai suatu hubungan linear

dari variable keputusan (memaksimumkan atau meminimumkan)

c. Menentukan semua kendala masalah tersebut dan mengekspresikannya dalam persamaan, pertidaksamaan atau fungsi

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 4 Contoh:

 Suatu perusahaan menghasilkan dua barang, boneka dan mobil-mobilan. Harga masing-masing barang dan kebutuhan sumber daya terlihat pada tabel berikut. Disamping itu menurut bagian penjualan, permintaan boneka tidak akan melebihi 4 unit.

Sumber daya Boneka Mobil-mobilan Kapasitas

Bahan Mentah 1 2 10

Buruh 6 6 36

Harga per unit 4 5

Tentukan: a. Variable b. Fungsi tujuan c. Sistem kendala d. Formasi model matematik e. Solusi optimum Soal – soal:

1. Sebuah Firma memproduksi sendiri rak buku dalam dua model yaitu model A dan model B. Produksi rak buku dibatasi oleh persediaan material (papan kualitas tinggi) dan waktu yang terbatas mesin pemroses. Tiap unit A memerlukan papan dan tiap unit B memerlukan papan. Firma memperoleh papan tiap minggu dari pemasok sendiri. Tiap unit A membutuhkan 12 menit dari mesin pemroses dan tiap unit B membutuhkan 30 menit. Setiap minggu memungkinkan total waktu mesin 160 jam. Jika keuntungan (profit) tiap unit A sebesar $2 dan tiap unit B sebesar $4. Bagaimana formasi model matematik program linier dari kasus di atas?

2. Pabrik ban sepeda memproduksi ban luar dan ban dalam. Ban luar diproses melalui 3 unit mesin, sedangkan ban dalam hanya diproses di dua mesin. Setiap ban luar diproses secara berurutan selama 2 menit di mesin I, 8 menit di mesin II dan 10 menit di mesin III. Sedangkan setiap ban dalam diproses selama 5 menit di mesin I, kemudian 4 menit di mesin II. Sumbangan keuntungan dari setiap unit ban luar dan ban dalam masing-masing Rp 400,00 dan Rp 300,00. Kapasitas pengoperasian masing-masing mesin setiap harinya 800 menit. Jika setiap ban yang diproduksi senantiasa laku terjual. Tentukan model program liniernya, agar keuntungan maksimum!

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 5 3. PT bank kita yang bergerak dalam usaha pembuatan makanan ternak merencanakan produksi sebesar 200 kg per bulan. Untuk mendapatkan makanan ternak nyang berkualitas tinggi, sesuai dengan persyaratan yang diminta konsumen, telah ditemukan komposisi campuran yaitu: (a) paling sedikit 8% kalsium tetapi tidak boleh melebihi 10%, (b) paling sedikit 30% protein, (c) paling banyak 8% lemak. Untuk memperoleh ketiga jenis bahan tersebut akan diolah dari jagung dan kacang kedelai. Kandungan gizi yang terdapat dalam kedua jenis bahan tersebut sebagai berikut:

Uraian Per – kg bahan

Jagung Kedelai

Kalsium 0,20 0,05

Protein 0,15 0,40

Lemak 0,05 0,05

Harga setiap kg jagung Rp 300,00 dan kacang kedelai Rp 800,00. Bagaimana rumusan model matematik program linier dari kasus di atas.

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 6

BAB II

METODE GRAFIK

2.1. Pengertian

Pada prinsipnya setiap persoalan program linier dapat dipecahkan atau menghasilkan penyelesaian. Penyelesaian dengan metode grafik sebagai berikut:

 Masalah program linier diilustrasikan dan dipecahkan dengan metode grafik, apabila hanya memiliki dua variabel keputusan

 Langkah-langkah penyelesaian:

a. Gambarkan fungsi kendala dalam bentuk persamaan pada sumbu cartesius b. Tentukan daerah solusi layak (feasible solution) atau area layak (feasible

region) dengan memperhatikan tanda ketidaksamaan fungsi kendala c. Gambarkan fungsi tujuan, geser garis tersebut ke lokasi titik solusi optimal d. Selesaikan persamaan-persamaan pada titik solusi untuk menentukan

solusi optimal

Solusi optimal dapat menggunakan dua pendekatan yaitu pendekatan garis profit (isoprofit line) atau titik sudut (corner point)

Dalam program linier dengan metode grafik sering dijumpai permasalahan secara teknis, sebagai berikut:

a. Infeasibility, yaitu suatu kondisi dimana tidak area layak yang memenuhi semua kendala.

b. Unboundedness, yaitu suatu kondisi dimana area layak tidak terbatas. c. Redundancy, misalnya apabila bagian marketing tidak bisa menjual lebih

dari 4 unit maka disebut redundant

d. Alternative Optima, yaitu situasi dimana terdapat lebih dari satu solusi optimal.

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 7 Beberapa contoh kasus khusus pada program linier:

1. Solusi tidak layak, jika tidak ada satu titikpun yang memenuhi fungsi kendala.

Contoh: Max = +

Terhadap + , , , ,

2. Solusi optimum lebih dari satu (multiple optimum solution), jika fungsi tujuan sejajar dengan fungsi kendala yang menghubungkan titik ekstrem.

Contoh: Max = +

Terhadap + , + , , ,

3. Tidak memiliki solusi optimum, jika solusi layak tidak terbentuk dan fungsi kendala tidak dapat membatasi peningkatan nilai fungsi tujuan baik kearah positif maupun negatif.

.

2.2. Masalah Maksimisasi

Maksimisasi dapat berupa memaksimalkan keuntungan atau hasil. Contoh:

1. Maksimum = +

Dengan batasan + , + , ,

a. Gambarlah grafik sistem pertidaksamaan!

b. Tentukan nilai maksimum dan koordinat titik yang menunjukkan nilai maksimum

2. PT LAQUNATEKSTIL memiliki sebuah pabrik yang akan memproduksi 2 jenis produk, yaitu kain sutera dan kain wol. Untuk memproduksi kedua produk diperlukan bahan baku benang sutera, bahan baku benang wol dan tenaga kerja. Maksimum penyediaan benang sutera adalah 60 kg per hari, benang wol 30 kg per hari dan tenaga kerja 40 jam per hari. Kebutuhan setiap unit produk akan bahan baku dan jam tenaga kerja dapat dilihat dalam tabel berikut:

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 8 Jenis bahan baku

dan tenaga kerja

Kg bahan baku & Jam tenaga kerja Maksimum penyediaan Kain sutera Kain wol

Benang sutera 2 3 60 kg

Benang wol - 2 30 kg

Tenaga kerja 2 1 40 jam

Kedua jenis produk memberikan keuntungan sebesar Rp 40 juta untuk kain sutera dan Rp 30 juta untuk kain wol. Masalahnya adalah bagaimana menentukan jumlah unit setiap jenis produk yang akan diproduksi setiap hari agar keuntungan yang diperoleh bisa maksimal?

Langkah – langkah:

a) Menentukan variablel ∶ ∶

b) Fungsi tujuan _�� = +

c) Fungsi kendala/batasan +

+ , d) Menggambar grafik

e) Untuk mendapatkan solusi optimal yaitu mencari nilai z pada setiap titik ekstrim dengan memaksimumkan keuntungan.

2.3.Masalah Minimisasi

Minimisasi dapat berupa meminimumkan biaya produksi.

Solusi optimal tercapai pada saat garis fungsi tujuan menyinggung daerah fasible yang terdekat dengan titik origin.

Contoh:

1. Minimum = +

Dengan batasan + , + , ,

a. Gambarlah grafik sistem pertidaksamaan!

b. Tentukan nilai minimum dan koordinat titik yang menunjukkan nilai minimum!

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 9 2. Perusahaan makanan ROYAL merencanakan untuk membuat dua jenis

makanan yaitu Royal Bee dan Royal Jelly. Kedua jenis makanan tersebut mengandung vitamin dan protein. Royal Bee paling sedikit diproduksi 2 unit dan Royal Jelly paling sedikit diproduksi 1 unit. Tabel berikut menunjukkan jumlah vitamin dan protein dalam setiap jenis makanan:

Jenis makanan Vitamin (unit) Protein (unit) Biaya per unit (ribu rupiah)

Royal Bee 2 2 100

Royal Jelly 1 3 80

minimum kebutuhan 8 12

Bagaimana menentukan kombinasi kedua jenis makanan agar meminimumkan biaya produksi?

Langkah – langkah:

a) Menentukan variable ∶ ∶

b) Fungsi tujuan = +

c) Fungsi kendala/batasan +

+ ,

d) Menggambar grafik

e) Untuk mendapatkan solusi optimal yaitu mencari nilai z pada setiap titik ekstrim dengan meminimumkan biaya produksi.

Soal – soal:

1. Maksimum = +

Dengan batasan + , , + , ,

a. Gambarlah grafik sistem pertidaksamaan!

b. Tentukan nilai maksimum dan koordinat titik yang menunjukkan nilai maksimum

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 10

2. Minimum = +

Dengan batasan + , + , + , , a. Gambarlah grafik sistem pertidaksamaan!

b. Tentukan nilai minimum dan koordinat titik yang menunjukkan nilai minimum!

3. Maksimum = . + .

Dengan kendala + , + , , ,

a. Gambarlah grafik sistem pertidaksamaan!

b. Tentukan nilai maksimum dan koordinat titik yang menunjukkan nilai maksimum

4. Suatu persoalan program linier dirumuskan sebagai berikut:

Maksimumkan = +

Dengan kendala + , + , ,

a. Gambarlah daerah yang memenuhi system pertidaksamaan/pembatas! b. Carilah koordinat titik yang menunjukkan nilai maksimum fungsi tujuan! c. Tentukan nilai maksimumnya

5. Perhatikan persoalan program linier.

Fungsi tujuan � = . + . (minimumkan)

Pembatas . , . , + . a. Gambarlah daerah yang memenuhi system pertidaksamaan! b. Tentukan nilai optimal fungsi tujuan!

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 11

BAB III

METODE ALJABAR

3.1.Pengertian

Program linier dengan dengan metode aljabar yaitu menyelesaikan permasalahan dalam perhitungan matematika agar mendapatkan nilai yang optimum (maksimum atau minimum). Secara umum model matematika yang diselesaikan merupakan pertidaksamaan dan metode yang digunakan umtuk mengubah ketaksamaan menjadi kesamaan yaitu metode aljabar.

Adapun langkah-langkah dalam metode aljabar dengan melakukan standarisasi ketidaksamaan menjadi kesamaan, yaitu:

1. Memasukkan unsur variable semua ke ruas kiri fungsi kendala.

2. Unsur fungsi kendala bertanda dilakukan dengan penambahan slack variables.

Slack variables yaitu suatu variable yang ditambahkan disebelah kiri tanda ketidaksamaan agar ketidaksamaan menjadi persamaan.

3. Unsur fungsi kendala bertanda dilakukan dengan pengurangan atau surplus variables.

Surplus variables yaitu variable yang dikurangkan di dalam suatu ketidaksamaan agar supaya menjadi persamaan.

3.2. Menentukan Banyak Persamaan

Pada umumnya, kalau ada n variable yaitu , , … , , … , , akan tetapi hanya ada m persamaan, maka dapat diperoleh sebanyak K persamaan, dengan rumus:

� = ₋ !_{! !}

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 12 Ada beberapa istilah dalam penyelesaian program linier dengan metode aljabar, yaitu:

1. Variable yang diperoleh dari m persamaan disebut variable dasar (basic variables), sedangkan pemecahannya disebut pemecahan dasar (basic solution)

2. Pemecahan yang memenuhi semua syarat pembatasan disebut pemecahan fisibel (feasible solution)

3. Pemecahan yang menghasilkan paling sedikit satu variable yang negatif disebut tidak fisibel (not feasible)

4. Pemecahan dasar fisibel yang memenuhi optimum disebut pemecahan optimal.

Contoh:

1. Menentukan

Fungsi = + (maksimum)

Pembatas + , + , , Cara:

Persamaan dirubah dulu menjadi standar yaitu slack variables dengan memasukkan variable yang harus ditambahkan di dalam ketidaksamaan agar menjadi persamaan, sehingga persamaan akan berubah menjadi:

a. Menentukan , , ,

b. Fungsi = + + + (maksimum)

c. Pembatas + + = , + + =

, , ,

d. Menentukan banyaknya solusi dengan menggunakan rumus:

� = ₋ !_{! !} � = ! − ! !=

!

! != e. Mengenolkan dua variable, dengan 6 solusi yaitu:

 _{� = � = + + =} =

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 13 Diperoleh:

= + + +

= + + + = (tidak ada penjualan)

 _{� = � =} + + = =

+ + = = − (tidak fisibel) Diperoleh: tidak dihitung, karena negatif maka pemecahan tidak fisibel

 _{� = � =} + + = =

+ + = = Diperoleh:

= + + +

= + + + =

 _{� = � =} + + = =

+ + = = Diperoleh:

= + + +

= + + + =

 _{� = � =} + + = = −

(tidak fisibel) + + = = Diperoleh: tidak dihitung, karena negatif maka pemecahan tidak fisibel

 _{� = � =} + + = =

+ + = = Diperoleh:

= + + +

= + + + =

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 14

Oleh karena yang memberikan nilai tujuan terbesar maka

= = � �

Jadi pemecahan dasar ke 6 meruapakn pemecahan yang optimal. Jumlah hasil penjualan maksimum sebesar . Keputusan yang harus dibuat oleh pemilik perusahaan yaitu bahwa barang A dan B masing-masing harus diproduksi sebesar 12 satuan dan 6 satuan.

2. Menentukan

Fungsi = + (minimum)

Pembatas + , + , , Cara:

Persamaan dirubah dulu menjadi standar yaitu surplus variables dengan memasukkan variable yang harus dikurangkan di dalam ketidaksamaan agar menjadi persamaan, sehingga persamaan akan berubah menjadi:

a. Menentukan , , ,

b. Fungsi = + − − (minimum)

c. Pembatas + − = , + − =

, , ,

d. Menentukan banyaknya solusi dengan menggunakan rumus:

� = ₋ !_{! !} � = ! − ! !=

!

! != e. Mengenolkan dua variable, dengan 6 solusi yaitu:

 _{� = � =} + − = = − (tidak fisibel)

+ − = = − (tidak fisibel) Diperoleh: tidak dihitung, karena negatif maka pemecahan tidak fisibel.

 _{� = � =} + − = =

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 15 Diperoleh:

= + − −

= + − − =

 _{� = � =} + − = = − (tidak fisibel)

+ − = =

Diperoleh: tidak dihitung, karena negatif maka pemecahan tidak fisibel.

 _{� = � =} + − = =

+ − = = − (tidak fisibel) Diperoleh: tidak dihitung, karena negatif maka pemecahan tidak fisibel.

 _{� = � =} + − = =

+ − = = Diperoleh:

= + − −

= + − − =

 _{� = � =} + − = =

+ − = = Diperoleh:

= + − −

= + − − = (terkecil = minimum)

= = karena merupakan nilai tujuan yang terkecil apabila dibandingkan dengan nilai tujuan yang lain.

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 16 Soal-soal:

1. Maksimum = +

Dengan kendala + , + , untuk ,

Tentukan solusi dan nilai optimum dengan metode aljabar!

2. Minimumkan = , + ,

Dengan pembatas + , + , , Tentukan solusi dan nilai optimum dengan metode aljabar!

3. Maksimum = +

Dengan pembatas + , + , ,

Tentukan solusi dan nilai optimum dengan metode aljabar!

4. Maksimum = +

Dengan kendala + , + , , Tentukan solusi dan nilai optimum dengan metode aljabar!

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 17

BAB IV

METODE SIMPLEKS

4.1.Pengertian

Metode simpleks merupakan suatu prosedur aljabar yang bukan secara grafik untuk mencari nilai optimum dari fungsi tujuan dalam persoalan optimasi yang terkendala. Penyelesaian program linier dalam menentukan nilai optimum yang memiliki dua variable atau lebih dengan menggunakan metode simpleks. Untuk mencari nilai optimum dengan menggunakan metode simpleks dilakukan proses pengulangan (iterasi) dimulai dari penyelesaian dasar awal yang layak (feasible) hingga penyelesaian dasar akhir yang layak dimana nilai dari fungsi tujuan telah optimum, sehingga proses pengulangan (iterasi) tidak dapat dilakukan lagi. Ada beberapa istilah yang sangat sering digunakan dalam metode simpleks, diantaranya :

1. Iterasi yaitu tahapan perhitungan dimana nilai dalam perhitungan itu tergantung dari nilai tabel sebelumnya.

2. Variable non basis yaitu variable yang nilainya diatur menjadi nol pada sembarang iterasi. Dalam terminologi umum, jumlah variable non basis selalu sama dengan derajat bebas dalam sistem persamaan.

3. Variable basis merupakan variable yang nilainya bukan nol pada sembarang iterasi. Pada solusi awal, variable basis merupakan slack variable (jika fungsi kendala merupakan pertidaksamaan ≤) atau variable buatan (jika fungsi kendala menggunakan pertidaksamaan ≥ atau =). Secara umum, jumlah variable basis selalu sama dengan jumlah fungsi pembatas (tanpa fungsi non negatif).

4. Solusi atau nilai kanan merupakan nilai sumber daya pembatas yang masih tersedia. Pada solusi awal, nilai kanan atau solusi sama dengan jumlah sumber daya pembatas awal yang ada, karena aktivitas belum dilaksanakan.

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 18 5. Slack Variable adalah variable yang ditambahkan ke model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≤ menjadi persamaan (=). Penambahan variable ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, slack variable akan berfungsi sebagai variabel basis.

6. Surplus Variable adalah variable yang dikurangkan dari model matematik kendala untuk mengkonversikan pertidaksamaan ≥ menjadi persamaan (=). Penambahan ini terjadi pada tahap inisialisasi. Pada solusi awal, surplus variable tidak dapat berfungsi sebagai variable basis.

7. Variable buatan adalah variable yang ditambahkan ke model matematik kendala dengan bentuk ≥ atau = untuk difungsikan sebagai variabel basis awal. Penambahan variable ini terjadi pada tahap inisialisasi. Variable ini harus bernilai 0 pada solusi optimal, karena kenyataannya variabel ini tidak ada. Variable hanya ada di atas kertas.

8. Kolom Kerja/Kolom Kunci/Kolom Pivot adalah kolom yang memuat variable masuk. Koefisien pada kolom ini akan menjadi pembagi nilai kanan untuk menentukan baris kerja.

9. Baris Kerja/Baris Kunci/Kolom Pivot adalah salah satu baris dari antara variable basis yang memuat variable keluar.

10. Elemen Kerja/Elemen Kunci/Elemen Pivot adalah elemen yang terletak pada perpotongan kolom dan baris pivot. Elemen pivot akan menjadi dasar perhitungan untuk tabel simpleks berikutnya.

11. Variable masuk adalah variable yang terpilih untuk menjadi variable basis pada iterasi berikutnya. Variable masuk dipilih satu dari antara variable non basis pada setiap iterasi. Variable ini pada iterasi berikutnya akan bernilai positif.

12. Variable keluar adalah variable yang keluar dari variable basis pada iterasi berikutnya dan digantikan oleh variable masuk. Variable keluar dipilih satu dari antara variable basis pada setiap iterasi. Variable ini pada iterasi berikutnya akan bernilai nol.

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 19 4.2.BENTUK BAKU

Pertama sekali sebelum melakukan perhitungan iteratif untuk menentukan solusi optimum, bentuk umum program linier dirubah ke dalam bentuk baku terlebih dahulu. Bentuk baku dalam metode simpleks yaitu mengubah persamaan kendala ke dalam bentuk sama dengan dan setiap fungsi kendala harus diwakili oleh satu variable basis awal. Variable basis awal menunjukkan status sumber daya pada kondisi sebelum ada aktivitas yang dilakukan. Dengan kata lain, variable keputusan semuanya masih bernilai nol dan meskipun fungsi kendala pada bentuk umum pemrograman linier sudah dalam bentuk persamaan, fungsi kendala tersebut masih harus tetap berubah.

Dalam metode simpleks, ada beberapa hal yang harus diperhatikan dalam membuat bentuk baku, yaitu :

1. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≤ dalam bentuk umum, dirubah menjadi persamaan (=) dengan menambahkan satu slack variable.

2. Fungsi kendala dengan pertidaksamaan ≥ dalam bentuk umum, dirubah menjadi persamaan (=) dengan mengurangkan satu surplus variable.

3. Fungsi kendala dengan persamaan dalam bentuk umum, ditambahkan satu

artificial variable (variabel buatan). Contoh:

1. Perhatikan kasus A berikut : Minimumkan = + , Kendala :

+ =

. + . .

. + .

. + . .

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 20 Bentuk di atas adalah bentuk umum pemrograman liniernya.

Kedalam bentuk baku, model matematik tersebut akan berubah menjadi:

Minimumkan = + , + � + � − � + � + �

Kendala :

+ + � =

. + . + � = .

. + . − � + � =

. + . + � = .

, , , , , ,

Fungsi kendala pertama mendapatkan variable buatan � , karena bentuk umumnya sudah menggunakan bentuk persamaan. Fungsi kendala kedua dan kelima mendapatkan slack variables � � karena bentuk umumnya menggunakan pertidaksamaan ≤, sedangkan fungsi kendala ketiga mendapatkan surplus variables � dan variabel buatan � karena bentuk umumnya menggunakan pertidaksamaan ≥.

2. Perhatikan kasus B berikut ini :

Maksimumkan = +

Kendala :

+

+

+ ,

Bentuk di atas juga merupakan bentuk umum.

Perubahan ke dalam bentuk baku hanya membutuhkan variabel slack, karena semua fungsi kendala menggunakan bentuk pertidaksamaan ≤ dalam bentuk umumnya.

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 21 Bentuk bakunya adalah sebagai berikut:

Maksimumkan = + + � + � + �

Kendala :

+ + � =

+ + � =

+ + � =

, , , ,

� , � , � merupakan slack variables.

4.3. TABEL SIMPLEKS

Bentuk baku yang sudah diperoleh, harus dibuat dalam bentuk tabel. Semua variable yang bukan variable basis mempunyai solusi (nilai kanan) sama dengan nol dan koefisien variable basis pada baris tujuan harus sama dengan nol. Oleh karena itu harus membedakan pembentukan tabel awal berdasarkan variable basis awal dan hanya akan memperhatikan fungsi kendala yang menggunakan slack variable dalam bentuk bakunya.

Tabel simpleks sebagai berikut:

CB VDB

... ... Rasio ... ... � ... ... � ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . �

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 22 Keterangan tabel:

1. CB yaitu menggambarkan koefisien ongkos relatif untuk variable dalam basis, pada mulanya koefisien itu bernilai nol.

2. VDB yaitu berisikan variable bayangan (slack variables), variable tersebut akan digantikan dengan variabel keputusan.

3. Kolom yaitu berisikan nilai variable konstanta di ruas kanan setiap batasan.

4. Kolom yaitu berisikan variable keputusan dan variable bayangan.

5. Kolom yaitu berisikan koefisien relatif dari fungsi tujuan dan kolom variable bayangan bernilai nol.

6. Baris � yaitu berisikan hasil pengurangan � − dan baris ini akan memberikan informasi tentang tujuan apakah sudah optimum atau belum. 7. Kolom rasio yaitu berisikan hasil bagi untuk menyatakan variabel yang akan

menjadi baris kunci atau tidak.

Langkah – langkah penyelesaian tabel simpleks sebagai berikut: 1. Merubah persoalan program linier ke dalam bentuk baku standar. 2. Masukkan semua nilai pada fungsi kendala ke dalam tabel simpleks.

3. Masukkan semua nilai pada fungsi tujuan ke dalam tabel simpleks pada baris

� − dengan menggunakan rumus � − = − (rumus yang digunakan saat awal memasukkan semua nilai fungsi tujuan).

4. Menentukan kolom kerja/kolom kunci/kolom pivot:

 Untuk persoalan maksimum keuntungan maka penentuan kolom kerja dalam baris z_j− c_j diambil nilai yang paling kecil atau paling negatif.

 Untuk persoalan minimum biaya yang dirubah menjadi maksimum maka penentuan kolom kerja dalam baris z_j− c_j diambil nilai yang paling besar atau paling positif.

5. Menentukan baris kerja/baris kunci/baris pivot:

 Menggunakan rumus atau perbandingan minimum dan bukan negatif.

= :

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 23 6. Mencari angka baru yang terdapat pada baris kunci.

 Caranya yaitu membagi semua angka yang terdapat pada baris kerja dengan angka kerja.

 Elemen kerja/elemen kunci/elemen pivot yaitu angka yang terdapat pada perpotongan baris kunci dengan kolom kunci.

7. Mencari angka baru pada baris yang lain (angka baris baru).

 Caranya yaitu:

= −

8. Apabila kondisi optimum belum tercapai maka ulangi kembali langkah ke 4 sampai langkah ke 7 sehingga pada baris � − tidak ada lagi yang bernilai negatif.

Penggunaan tabel simpleks, misalnya gunakan kasus B di atas dengan bentuk baku yaitu:

Maksimumkan = + + � + � + �

atau − − + � + � + � =

Kendala :

+ + � = + + � + + =

+ + � = + + + � + =

+ + � = + + + + � = , , , ,

� , � , � merupakan slack variables.

maka tabel awal simpleks sebagai berikut:

variabel bayangan konstanta sebelah kanan fungsi tujuan variabel fungsi tujuan

CB VDB

4 6 0 0 0

Rasio

� � � � �

0 � 300 5 2 1 0 0

0 � 300 3 10 0 1 0

0 � 300 4 8 0 0 1

� − 0 -4 -6 0 0 0

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 24 4.4. Kesimpulan Tabel Simpleks

Tabel simpleks merupakan bagian yang terpenting dalam mengambil keputusan, sehingga harus memperhatikan solusi optimal dalam variabel keputusan, yaitu melihat nilai pada kolom dengan variabel produk pada tabel optimal

Contoh:

1. Selesaikan kasus berikut dengan metode simpleks:

Maksimum = + +

Kendala:

+ +

+ +

+ +

, , Penyelesaian:

 Langkah 1 merubah menjadi bentuk baku

Maksimum = + + + + +

atau − − − + + + =

Kendala:

+ + + =

+ + + =

+ + + =

, , , , ,

 Langkah 2 menggunakan tabel simpleks CB VDB

8 9 4 0 0 0

Rasio

� � � � � �

0 � 2 1 1 2 1 0 0

0 � 3 2 3 4 0 1 0

0 � 8 7 6 2 0 0 1

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 25

 Langkah 3 menentukan kolom kunci, baris kunci dan rasio Nilai negatif terbesar ada pada kolom � , maka kolom � adalah kolom kunci (KK)

Rasio pembagi kanan dengan kolom kunci adalah bersesuaian dengan baris � maka baris � adalah baris kunci (BK) dan � merupakan variabel keluar.

Elemen kunci adalah 3

CB VDB

8 9 4 0 0 0

Rasio

� � � � � �

0 � 2 1 1 2 1 0 0 ₌

0 � 3 2 3 4 0 1 0 ₌

0 � 8 7 6 2 0 0 1 ₌

� − 0 -8 -9 -4 0 0 0

 Langkah 4 iterasi I

Nilai yang dimiliki adalah nilai baris kerja baru yaitu baris � (tabel di bawah ini). Semua nilai pada � di tabel solusi awal dibagi dengan 3 (elemen kunci)

CB VDB

8 9 4 0 0 0

Rasio

� � � � � �

0 �

9 � 1 1 0 0

0 �

� −

Perhitungan nilai baris, sebagai berikut: Baris Kunci Baru:

3 2 3 4 0 1 0

dibagi 3

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 26 Baris �, yaitu:

0 -8 -9 -4 0 0 0

baris lama

koefisien KK pada -9 (1 1 0 0) baris baru baris -

9 -2 0 8 0 3 0

Baris � , yaitu:

2 1 1 2 1 0 0

baris lama

koefisien KK pada 1 (1 1 0 0) baris baru baris - 1 0 1 − 0 Baris � , yaitu:

8 7 6 2 0 0 1

baris lama

koefisien KK pada 6 (1 1 0 0)

baris baru baris

-2 3 0 -6 0 -2 1

maka tabel iterasi 1 sebagai berikut:

CB VDB

8 9 4 0 0 0

Rasio

� � � � � �

0 � 1 0 1 ₋ 0

9 � 1 1 0 0

0 � 2 3 0 -6 0 -2 1

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 27

 Langkah 5 pemeriksaan tabel sudah optimal atau belum

Nilai baris � di bawah variabel � masih negatif, maka tabel belum optimal.

Variabel masuk yaitu � dan variabel keluar yaitu � , sehingga diperoleh tabel berikut:

CB VDB

8 9 4 0 0 0

Rasio

� � � � � �

0 � 1 0 1 ₋ 0 =

9 � 1 1 0 0 =

0 � 2 3 0 -6 0 -2 1

� − 9 -2 0 8 0 3 0

 Langkah 6 iterasi 2

Nilai yang dimiliki adalah nilai baris kerja baru yaitu baris � (tabel berikut ini)

Semua nilai pada � di tabel solusi awal dibagi dengan 3 (elemen kunci) CB VDB

8 9 4 0 0 0

Rasio

� � � � � �

0 � 9 �

8 � 1 0 -2 0 ₋

� −

Perhitungan nilai baris, sebagai berikut: Baris Kunci Baru:

2 3 0 -6 0 -2 1

dibagi 3

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 28 Baris �, yaitu:

9 -2 0 8 0 3 0

baris iterasi 1

-2 ( 1 0 -2 0 − )

baris baru -

0 0 4 0

Baris � , yaitu:

1 1 0 0

baris iterasi 1

( 0 -2 0 0 − )

baris baru -

0 1 0 − Baris � , yaitu:

1 0 1 − 0

baris iterasi 1

( 1 0 -2 0 − )

baris baru

0 0 1 − −

maka tabel iterasi 2 sebagai berikut:

CB VDB

8 9 4 0 0 0

Rasio

� � � � � �

0 � 0 0 1 _{− −}

9 � 0 1 0 ₋

8 � 1 0 -2 0 ₋

� − 0 0 4 0

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 29

 Langkah 7 membaca tabel optimal

Dengan tabel optimal dapat disimpulkan dengan solusi optimal, yaitu: = , = , = =

artinya: agar keuntungan yang diperoleh maksimum sebesar $ , maka sebaiknya perusahaan menghasilkan produk pertama sebesar

dan produk kedua sebesar

2. Selesaikan kasus berikut dengan metode simpleks:

Minimumkan = +

Kendala +

+ + ,

Penyelesaian:

 Langkah 1 merubah menjadi bentuk baku

Minimum = + + + +

Kendala + + = ,

+ + = ,

+ + =

, , , ,

Bentuk baku diatas masih minimum, sehingga harus dirubah ke bentuk maksimum

Maksimumkan = − − − − −

atau + + + + + =

Kendala: + − =

+ − = + − = , , , ,

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 30

 Langkah 2 menggunakan tabel simpleks C

B VD

B

-10 -15 0 0 0

Rasio

� � � � �

0 � 40 1 1 -1 0 0

0 � 30 1 3 0 -1 0

0 � 30 3 1 0 0 -1

� − 0 10 15 0 0 0

 Langkah 3 menentukan kolom kunci, baris kunci dan rasio Nilai positif terbesar ada pada kolom � , maka kolom � adalah kolom kunci (KK)

Rasio pembagi kanan dengan kolom kunci adalah bersesuaian dengan baris � maka baris � adalah baris kunci (BK) dan � merupakan variabel keluar. Elemen kunci adalah 3

CB VDB

-10 -15 0 0 0

Rasio

� � � � �

0 � 40 1 1 -1 0 0 ₌

0 � 30 1 3 0 -1 0 ₌

0 � 30 3 1 0 0 -1 ₌

� − 0 10 15 0 0 0

 Langkah 4 iterasi I

Nilai yang dimiliki adalah nilai baris kerja baru yaitu baris � (pada tabel di bawah)

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 31 Semua nilai pada � di tabel solusi awal dibagi dengan 3 (elemen kunci) CB VDB

-10 -15 0 0 0

Rasio

� � � � �

0 �

-15 � 10 1 0 ₋ 0

0 �

� −

Perhitungan nilai baris, sebagai berikut: Baris Kunci Baru:

30 1 3 0 -1 0

dibagi 3

10 1 0 − 0 Baris �, yaitu:

0 10 15 0 0 0

baris lama

koefisien KK pada 15 (10 1 0 − 0)

baris baru baris -

-150 5 0 0 5 0

Baris � , yaitu:

40 1 1 -1 0 0

baris lama

koefisien KK pada 1 (10 1 0 − 0) baris baru baris -

30 0 -1 0

Baris � , yaitu:

30 3 1 0 0 -1

baris lama

koefisien KK pada 1 (10 1 0 − 0) baris baru baris -

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 32 maka tabel iterasi 1 sebagai berikut:

CB VDB

-10 -15 0 0 0

Rasio

� � � � �

0 � 30 0 -1 0

-15 � 10 1 0 ₋ 0

0 � 20 0 0 -1

� − -150 5 0 0 5 0

 Langkah 5 pemeriksaan tabel sudah optimal atau belum

Nilai baris z di bawah variable � masih positif maka tabel belum optimal. Variable masuk yaitu � variable keluar yaitu � , sehingga diperoleh tabel berikut:

CB VDB

-10 -15 0 0 0

Rasio

� � � � �

0 � 30 0 -1 0 =

-15 � 10 1 0 ₋ 0 =

0 � 20 0 0 -1 = ,

� − -150 5 0 0 5 0

 Langkah 6 iterasi 2

Nilai yang dimiliki adalah nilai baris kerja baru yaitu baris � (tabel berikut ini).

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 33 Semua nilai pada � di tabel solusi awal dibagi dengan (elemen kunci)

CB VDB

-10 -15 0 0 0

Rasio

� � � � �

0 �

-15 �

-10 � 7,5 1 0 0 ₋

� −

Perhitungan nilai baris, sebagai berikut: Baris Kunci Baru:

20 0 0 -1

dibagi � 7,5 1 0 0 � − �

Baris �, yaitu:

-150 50 0 0 5 0 baris lama

koefisien KK pada 5 (7,5 1 0 0 � − �) baris baru baris -

-187,5 0 0 0

Baris � , yaitu:

30 0 -1 0 baris lama

koefisien KK pada (7,5 1 0 0 � − �)

baris baru baris - 25 0 0 -1

Baris � , yaitu:

30 3 1 0 0 -1

baris lama

koefisien KK pada (7,5 1 0 0 � − � ) baris baru

baris -

7,5 0 1 0 − − �

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 34 maka tabel iterasi 2 sebagai berikut:

CB VDB

-10 -15 0 0 0

Rasio

� � � � �

0 � 25 0 0 -1

-15 � 7,5 0 1 0 _{− −}

-10 � 7,5 1 0 0 ₋

� − -187,5 0 0 0

 Langkah 7 membaca tabel optimal

Dengan tabel optimal dapat disimpulkan dengan Solusi optimal, yaitu: = , , = , , = = − ,

artinya: agar memperoleh minimum biaya sebesar $− , maka perusahaan sebaiknya menghasilkan produk yang pertama sebesar 7,5 unit dan produk yang kedua sebesar 7,5 unit

Soal – soal:

1. Maksimumkan = +

Kendala +

+ dengan ,

2. Maksimumkan = +

Kendala

+ dengan ,

3. Maksimumkan = + +

Kendala + +

+ +

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 35 4. Perusahaan genteng modern di Jakarta memproduksi 3 jenis genteng yaitu molek, jelita dan anggun. Ketiga jenis genteng tersebut menggunakan bahan mentah yang diimpor dari Swiss. Proses produksinya diulakukan dengan teknik dan peralatan yang serba modern. Pabrik ini mempunyai 3 bagian yaitu bagian cetak (bagian mentah dicapur lalu dicetak), bagian press (genteng merah dipress agar padat dan terpisah dari air) dan bagian pengeringan (genteng sudh dipress dikeringkan). Berbeda dengan genteng tradisional yang terbuat dari tanah liat. Genteng yang diproduksi perusahaan modern ini tidak memerlukan waktu yang lama untuk dikeringkan. Waktu pengeringan hanya beberapa menit saja karena memang sudah cukup dan lamanya proses masing-masing jenis genteng pada masing-masing-masing-masing bagian yaitu:

Bagian Jenis Genteng

Molek Jelita Anggun

Cetak 10,7 menit 5 menit 2 menit

Press 5,4 menit 10 menit 4 menit

Pengeringan 0,7 menit 1 menit 2 menit

Jumlah Waktu 16,8 menit 16 menit 8 menit

Dalam seminggu mesin-mesin pada setiap bagian dapat bekerja selama: bagian cetak = 2.705, bagian press = 2.210 dan bagian pengeringa = 445, sedangkan tingkat kontribusi laba masing-masing jenis genteng yaitu: molek = Rp. 10,00 dan jelita = Rp 15,00 serta anggun = Rp 10,00. Berapa banyaknya masing-masing genteng harus diproduksi agar diperoleh keuntungan yang maksimum?

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 36

BAB V

METODE BIG M (METODE M. CHARNES)

Metode Big M (metode M. Charnes) merupakan pemecahan persoalan program linier dalam menentukan solusi optimal yaitu untuk mengatasi saat fungsi kendala dengan menggunakan pertidaksamaan maka variable basis awal adalah slack variable dan/atau variable buatan dan saat fungsi kendala dengan menggunakan persamaan sehingga ditemukan pada variable basis awal. Charnes mencoba mencari jawaban atas persoalan program linier dan menggunakan simpleks untuk memaksa variable buatan (variable semu atau variable artifisial) menjadi nol, dengan menentukan konsatan (-M) jika masalah yang dihadapi yaitu memaksimumkan fungsi tujuan dan menentukan nilai konstanta (M) pada variable buatan (variable semu atau variable artifisial) jika masalah yang dihadapi yaitu meminimimkan.

Perbedaan metode Big M dengan metode simpleks yang telah dipelajari yaitu terletak pada pembentukan table awal. Apabila fungsi kendala dengan bentuk pertidaksamaan maka perubahan dari bentuk umum ke bentuk baku memerlukan satu surplus variable yang berfungsi sebagai variable basis awal karena bertanda negatif. Sebagai variable basis pada solusi awal maka harus ditambahkan satu variable buatan dan variable buatan pada solusi optimal hartus bernilai nol (0) jarena variable tersebut memang tidak ada. Adapun teknik yang digunakan untuk memaksa variable buatan bernilai nol (0) pada solusi optimal yaitu dengan cara berikut:

a. Penambahan variable buatan pada fungsi kendala yang tidak memiliki slack variable maka penambahan variable buatan pada fungsi tujuan.

b. Apabila fungsi tujuan adalah maksimasi maka variable buatan pada fungsi tujuan mempunyai koefisien +M dan apabila fungsi tujuan adalah minimisasi maka variable buatan pada fungsi tujuan mempunyai koefisien –M.

c. Koefisien variable basis pada table simpleks harus bernilai nol (0) maka variable buatan pada fungsi tujuan harus digantikan nilai dari fungsi kendala yang memuat variable buatan tersebut.

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 37 Catatan:

 PL Kendala “=” atau “≥” variable buatan

 Variable buatan solusi basis awa layak disingkirkan

 _{� = − �} � = −� _�

Contoh:

Minimumkan = +

Kendala + =

+

+ , Bentuk Baku:

Minimumkan = + − +

Kendala + =

+ − =

+ + = , , , Pada kendala yang I dan II tidak mempunyai slack variable sehingga tidak ada variable basis awal dan agar berfungsi sebagai basis awal maka pada kendala I dan II dilakukan penambahan pada masing-masing kendala dengan satu variable buatan (artificial variable), sehingga bentuk Big M nya yaitu:

Bentuk Big M:

Minimum = + − + + � + �

Kendala + + = kendala I

+ − + = kendala II + + = kendala III , , , , ,

Langkah-langkahnya yaitu:

1. Nilai � digantikan dari fungsi kendala I = − −

� = � − −

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 38 2. Nilai � digantikan dari fungsi kendala II = − − +

= � − − +

� = � − � − � + � 3. Fungsi tujuan berubah menjadi:

Min = + − + + � + �

= + + � − � − � + � − � − � + �

= + + � − � − � + � − � − � + �

= + + � − � − � + �

= − � + − � + � + �

Minimum = − � + − � + � + �

Maksimum − = − − � − − � − � − �

atau − − � − − � − � = �

Minimum = + − + + � + �

Maksimum − = − − + − − � − �

Kendala = − − + + =

= − − + + − + = + + = 4. Tabel awal simpleks

CB VDB

-4 -1 0 0 -m -m

Rasio

� � � �

-m � 3 3 1 0 0 1 0

-m � 6 4 3 -1 0 0 1

0 � 4 1 2 0 1 0 0

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 39 5. Menentukan kolom kunci, baris kunci dan rasio

Nilai positif terbesar ada pada kolom � , maka kolom � adalah kolom kunci (KK)

Rasio pembagi kanan dengan kolom kunci adalah bersesuaian dengan baris � maka baris � adalah baris kunci (BK) dan � merupakan variabel keluar. Elemen kunci adalah 3.

CB VDB

-4 -1 0 0 -m -m

Rasio

� � � �

-m � 3 3 1 0 0 1 0 ₌

-m � 6 4 3 -1 0 0 1 ₌

0 � 4 1 2 0 1 0 0 ₌

� − 9M -4+7M -1+4M -M 0 0 0

6. Menentukan Tabel Iterasi I

Nilai yang dimiliki adalah nilai baris kunci baru yaitu baris � (tabel berikut) Semua nilai pada � di tabel solusi awal di bagi dengan 3 (elemen kunci) CB VDB

-4 -1 0 0 -m -m

Rasio

� � � �

-4 � 1 1 0 0 0

-m �

0 �

� −

Perhitungan nilai baris, sebagai berikut:

Baris Kunci Baru: 3 3 1 0 0 1 0

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 40

Baris � , yaitu: 6 4 3 -1 0 0 1

1 1 0 0 0

4

-2 0 -1 0 − 1

Baris � , yaitu: 4 1 2 0 1 0 0

1 1 0 0 0

1

-3 0 0 1 - 0

Baris z, yaitu: 9M -4+7M -1+4M -M 0 0 0 1 1 0 0 0 -4+7M -

4+2M 0 + � -M 0 − � 0

Diperoleh Tabel Iterasi I, yaitu:

CB VDB

-4 -1 0 0 -m -m

Rasio

� � � �

-4 � 1 1 0 0 0

-m � 2 0 -1 0 ₋ 1

0 � 3 0 0 1 ₋ 0

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 41 7. Pemerikasaan Tabel Iterasi I

Nilai baris � di bawah variable � positif terbesar maka table belum optimal. Variabel masuk yaitu � dan variable keluar � sehingga diperoleh table berikut: CB VDB

-4 -1 0 0 -m -m

Rasio

� � � �

-4 � 1 1 0 0 0 =

-m � 2 0 -1 0 ₋ 1 =

0 � 3 0 0 1 ₋ 0 =

� − 4+2M 0 + � -M 0 − � 0

8. Menentukan Tabel Iterasi II

Nilai yang dimiliki adalah nilai baris kunci baru yaitu baris � (tabel berikut) Semua nilai pada � di tabel solusi awal di bagi dengan (elemen kunci)

CB VDB

-4 -1 0 0 -m -m

Rasio

� � � �

-4 �

-1 � 0 1 ₋ 0 ₋

0 �

� −

Perhatikan nilai baris, sebagai berikut:

Baris Kunci Baru: 2 0 -1 0 − 1

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 42 Baris � , yaitu: 1 1 0 0 0

0 1 − 0 − 1 0 0 −

Baris � , yaitu: 3 0 0 1 − 0

0 1 − 0 − - 1 0 0 1 1 1 -1 Baris �, yaitu:

4+2M 0 + � -M 0 − � 0 0 1 − 0 −

+ � - 0 0 0 − � − − �

Disederhanakan: 0 0 0 − � − − � Diperoleh Tabel Iterasi II, yaitu:

CB VDB

-4 -1 0 0 -m -m

Rasio

� � � �

-4 � 1 0 0 ₋

-1 � 0 1 ₋ 0 ₋

0 � 1 0 0 1 1 1 -1

� − 0 0 0 _{− � − − �}

9. Pemeriksaan Tabel Iterasi II

Nilai baris � di bawah variable � masih positif maka tabel belum optimal. Variabel masuk yaitu � dan variable keluar � sehingga diperoleh tabel berikut:

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 43 CB VDB

-4 -1 0 0 -m -m

Rasio

� � � �

-4 � 1 0 0 ₋ =

-1 � 0 1 ₋ 0 ₋

− = −

0 � 1 0 0 1 1 1 -1 1

� − 0 0 0 _{− � − − �}

10. Menentukan Tabel Iterasi III

Nilai baris kunci baru: baris � & semua nilai pada � di tabel solusi awal: (kunci)

CB VDB

-4 -1 0 0 -m -m

Rasio

� � � �

-4 �

-1 �

0 � 1 0 0 1 1 1 -1

� −

Perhatikan nilai baris, sebagai berikut:

Baris Kunci Baru: 1 0 0 1 1 1 -1

dibagi 1

1 0 0 1 1 1 -1

Baris � , yaitu: 1 0 − 1 0 0 1 1 1 -1

1 0 0 − Baris � , yaitu: 0 1 − 0 −

1 0 0 1 1 1 -1

- 0 0 -

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 44 Baris �, yaitu: 0 0 0 − � − − �

1 0 0 1 1 1 -1

0 0 0 − − � −� Diperoleh Tabel Iterasi III, yaitu:

CB VDB

-4 -1 0 0 -m -m

Rasio

� � � �

-4 � 1 0 0 ₋ 0

-1 � 0 1 0 ₋ 0

0 � 1 0 0 1 1 1 -1

� − 0 0 0 _{− − �} −�

Dengan demikian tabel telah optimal, = − _{� �} = − tercapai

bila = =

Soal – soal:

1. Minimumkan = +

Kendala + = + + ,

2. Minimumkan = +

Kendala + + ,

3. Minimumkan = + +

Kendala + + + + =

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 45

BAB VI

METODE DUAL SIMPLEKS

(METODE SIMPLEKS DUA FASE)

Metode simpleks dua fase merupakan suatu modifikasi dari metode M’Charnes. Penyelesaian program linier pada metode M’Charnes koefisien, yaitu variable tiruan (buatan atau semu) mendapatkan harga (-M) untuk permasalahan memaksimumkan atau (+M) untuk permasalahan meminimumkan. Sedangkan penyelesaian program linier dengan metode simpleks dua fase, yaitu harga (konstanta) variable tiruan pada fungsi tujuan diberi tanda (-1) pada permasalahan memaksimumkan atau (+1) pada permasalahan meminimumkan.

Metode simpleks dua fase digunakan bila tabel optimal tidak layak. Pada bentuk umum program linier, fungsi kendala dengan menggunakan tanda dan tidak ada tanda = maka bentuk dapat menggunakan metode simpleks dua fase. Metode simpleks dua fase digunakan pada variable basis awal terdiri dari variable buatan dan proses optimasi dilakukan dengan dua tahap (dua fase), yaitu:

1. Fase I (tahap I) merupakan proses optimasi variable buatan yaitu mengusahakan agar semua nilai variable buatan menjadi nol (0)

Pada akhir fase I yaitu setelah _{� �} = dengan 3 kemungkinan hasil sebagai berikut:

a. _{� �}< satu atau lebih variabel buatan berada dalam basis pada tingkat nilai yang

positif. Hal ini berarti permasalahan program linier yang asli tidak mempunyai penyelesaian yang layak (pemecahan fisibel)

b. _{� �}= tidak ada variable buatan yang terletak (ada) dalam basis. Hal ini berarti permasalahan program linier yang asli telah diperoleh penyelesaian dasar yang fisibel.

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 46 c. _{� �}> satu atau lebih variable buatan terletak (ada) pada basis, pada

tingkat nilai

nol (degenerasi). Hal ini berarti permasalahan program linier yang asli telah diperoleh penyelesaian yang layak (pemecahan fisibel)

2. Fase II (tahap II) merupakan proses optimasi variable keputusan yaitu dari suatu pemecahan dasar yang fisibel baik yang memuat vriable buatan dengan nilai variable pada tingkat nol dan tidak memuat vektor buatan sama sekali. Ringkasan perubahan untuk penyelesaian simpleks.

No Tanda Fungsi Kendala

Perubahan Fungsi Kendala (diubah menjadi tanda “=”)

Perubahan Fungsi Tujuan

Maksimasi Minimisasi

1 = Tambahan Variable Artificial −� − +� +

2 Kurangi Slack Variabel 0 0

3 Kurangi Surplus Variable

Tambahkan Variable Artificial

0

−� −

0

+� +

Bentuk khusus dalam Simpleks, sebagai berikut: 1. Degeneracy

 Kasus ini terjadi apabila salah satu variable basis berharga nol (0) pada iterasi selanjutnya sehingga iterasi yang dilakukan menjadi suatu loops yang akan kembali ke bentuk sebelumnya.

 Degeneracy dapat bersifat temporer (sementara) sehingga apabila iterasi dilanjutkan maka degeneracy itu menghilang.

2. Solusi Optimum Banyak

 Kasus ini terjadi apabila masalah program linier memiliki lebih dari satu solusi optimum. Hal ini ditandai apabila fungsi tujuan sejajar dengan fungsi kendala. Pada table simpleks hal ini ditandai dengan paling sedikit satu variable basis pada baris � bernilai nol (0).

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 47

 Solusi optimum yang lain dapat dicari dengan cara melanjutkan iterasi dengan memilih variable non basis bernilai nol menjadi entering variable dan memberikan nilai � yang sama.

3. Solusi Tidak terbatas

 Kasus ini terjadi apabila ruang solusi tidak terhingga (nilai fungsi tujuan meningkat untuk maksimasi atau menurun untuk minimasi secara tidak terbatas).

Contoh:

1. Minimumkan = +

Kendala +

+ , Penyelesaian:

 Fase I dengan Bentuk Baku:

Minimumkan = + − − + +

Maksimumkan − = − − + + − −

Kendala + − + =

+ − + =

, , , , ,

: variable pengurang : variable buatan Tabel Awal

CB VDB

0 0 0 0 -1 -1

Rasio

� � � � � �

-1 � 40 1 1 -1 0 1 0 ₌

-1 � 60 1 2* 0 -1 0 1 ₌

� − + − .− .

= − − − = − − − = − − = + =

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 48 Tabel I

CB VDB

0 0 0 0 -1 -1

Rasio

� � � � � �

-1 � 10 0 -1 1 ₋

0 � 30 1 0 ₋ 0

� − -10 ₋ 0 1 ₋ 0

Tabel II

CB VDB

0 0 0 0 -1 -1

Rasio

� � � � � �

-1 � 10 * 0 -1 1 ₋ 20

0 � 30 1 0 ₋ 0 60

� − -10 ₋ 0 1 ₋ 0

Table III

Ternyata dalam table 3 menunjukkan fase I berakhir sehingga melangkah ke fase II CB VDB

0 0 0 0 -1 -1

Rasio

� � � � � �

0 � 20 1 0 -2 1 2 -1

0 � 20 0 1 1 -1 -1 1

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 49

 Fase II

Tabel IV pada fase II

Karena semua kolom sudah positif maka nilai = − _{� �} = − − =

Jadi nilai maksimum di = = =

2. Minimumkan = +

Kendala + = ,

Penyelesaian:

 Fase I dengan Bentuk Baku:

Minimumkan = + + − + +

Maksimumkan − = − − − + − −

Kendala + =

− + =

+ + =

, , , , ,

: variabel penambah : variabel pengurang : variabel buatan Tabel Awal

CB VDB

0 0 0 0 -1 -1

Rasio

� � � � � �

0 � 40 1 0 1 0 0 0

-1 � 20 0 1 0 -1 0 0

-1 � 50 1 1 0 0 0 1

� − -70 1 -2 0 1 0 0

CB

VDB

-30 -40 0 0

Rasio

� � � �

-30 � 20 1 0 -2 1

-40 � 20 0 1 1 -1

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 50 Tabel I

CB VDB

0 0 0 0 -1 -1

Rasio

� � � � � �

0 � 40 1 0 1 0 0 0 ∞

-1 � 20 0 1 * 0 -1 0 0 20

-1 � 50 1 1 0 0 0 1 50

� − -70 1 -2 0 1 0 0

Tabel II

CB VDB

0 0 0 0 -1 -1

Rasio

� � � � � �

0 � 40 1 0 1 0 0 0

0 � 20 0 1 0 -1 0 0

-1 � 30 1 0 0 1 -1 1

� − -30 -1 0 0 -1 2 0

Tabel III

CB VDB

0 0 0 0 -1 -1

Rasio

� � � � � �

0 � 40 1 0 1 0 0 0 40

0 � 20 0 1 0 -1 0 0 ∞

-1 � 30 1* 0 0 1 -1 1 30

� − -30 -1 0 0 -1 2 0

Tabel IV

CB VDB

0 0 0 0 -1 -1

Rasio

� � � � � �

0 � 10 0 0 1 -1 1 -1

0 � 20 0 1 0 -1 1 0

0 � 30 1 0 0 1 -1 1

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 51

 Fase II

Tabel V pada fase II

CB VDB

-50 -80 0 0

Rasio

� � � �

0 � 10 0 0 1 -1

-80 � 20 0 1 0 -1

-50 � 30 1 0 0 1

� − -3100 0 0 0 30

Karena semua kolom sudah positif maka nilai = − _{� �} = − − =

Jadi nilai maksimum di = = =

Soal – soal :

1. Minimumkan = +

Kendala +

+ ,

2. Minimumkan = +

Kendala +

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 52

BAB VII

METODE SIMPLEKS YANG DIREVISI

Metode simpleks yang direvisi merupakan salah satu cara dalam pemecahan persoalan program linier. Penyelesaian dengan metode simpleks yang direvisi dengan menggunakan dua bentuk penyelesaian yaitu:

a. Bentuk Standard I (Standrad From I), yaitu memasukkan variable slack dan surplus dan tidak memerlukan variable – variable buatan (artificial variable) sehingga memperoleh matriks identitas (identity matrix).

b. Bentuk Standard II (Standrad From II), yaitu memasukkan variabel – variable buatan (artificial variable) sehingga memperoleh matrix identitas (identity matrix).

Pada metode simpleks yang direvisi, menganggap bahwa fungsi tujuan merupakan suatu pembatasan, dengan langkah-langkah sebagai berikut:

a. Bentuk Standard I (Standrad From I)

1. Dirubah dalam bentuk baku/standar program linier 2. Ditulis dalam bentuk matrix, sebagai berikut:

= , , � = − = − −

⋯ − =

setelah itu dimasukkan di dalam = , maka diperoleh:

− − ⋯ − =

+ ⋯ + = ℎ

+ ⋯ + = ℎ

. . .

+ ⋯ + = ℎ

Dari uraian di atas diperoleh persamaan sebanyak + dengan variable yang tidak diketahui sebanyak + yaitu , , , … , .

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 53 Pada kolom = , − = maka didapat sebagai berikut:

+ + ⋯ + =

+ ⋯ + = ℎ

+ ⋯ + = ℎ

. .

.

+ ⋯ + = ℎ

3. Di dalam bentuk matrix partisi atau partition matrix diperoleh sebagai berikut:

[ ]

[ ] = [ ] [ −

] [ ] = [ ]

4. Bentuk table untuk revised simpleks

VDB ……_{…… �}

…… …… = − � …… …… � � …… …… � . . . . . . . . . …… …… . . . . . . . . . �� …… …… �� . . . . . . . . . …… …… . . . . . . . . . �� …… …… ��

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 54

b. Bentuk Standard II (Standrad From II)

1. Membuat fungsi tujuan menjadi maksimum (memaksimumkan) 2. Dirubah dalam bentuk baku/standar program linier

3. Ditulis dalam bentuk matrix, sebagai berikut:

= , , � = − = − −

⋯ − =

setelah itu dimasukkan di dalam = , maka diperoleh:

− − ⋯ − =

+ + ⋯ … . . … … … + + + =

+ ⋯ + + + = ℎ

(**)

. . .

+ ⋯ + + ⋯ … + _{+ +} = ℎ

Pembatasan di dalam persamaan yang kedua merupakan persamaan yang ditamdahkan sehinggga mendapatkan bahwa vector buatan tetap nol, tetapi ternyata lebih baik dengan menambah indeks baris dengan 1 (satu) yaitu +

, sehingga diperoleh matrix yaitu:

=

[

.

. .

+ , + , ]

, = [ℎ , … . , ℎ + ]

Persamaan – persamaan (**) dapat ditulis sebagai berikut:

− − ⋯ − =

+ + ⋯ … . . … … … + + + = (***)

+ ⋯ + + + = ℎ

. . .

+ ⋯ + + ⋯ … + + + = ℎ +

Pada persamaan di atas, penambahan variable ₊ dalam persamaan (***) di baris kedua sebelum ₊

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 55 4. Matrix basis untuk fase II, sebagi berikut:

= [ … … … . . . … ]

kolom 1 & 2 masing-masing dan bukan merupakan identity matrix

Invers dari dengan mempergunakan matrix partisi yaitu:

= [ … − … − … . . . … ] [ ]

5. Bentuk table untuk revised simpleks

VDB ………… _�

………… = − � _………… � � _………… � . . . . . . . . . ………… . . . . . . . . . �� ………… �� . . . . . . . . . ………… . . . . . . . . . �� ………… _� �

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 56 6. Perhitungan selanjutnya dengan menggunakan cara simpleks

Contoh:

1. Maksimumkan = +

Kendala +

+ , , Penyelesaian:

= + − + =

+ + + =

+ + + =

[

− − ]

[ ]

=

[ ]

[

] [ ] = [ ]

A X H

Matrix basis = , , , = − = =

− = [

�

] = [

]

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 57 Tabel Awal

VDB _�

0 0 0

1 0 5

0 1 3

menentukan nilai =

[

] [ −

] =

[ −

]

Masukan nilai � pada table: KK EK BK= terkecil

VDB _� Rasio

0 0 0 -3 _{= ∞}

1 0 5 2 * ₌

0 1 3 1 ₌

Nilai masih bernilai negative maka langkah selanjutnya seperti pada simpleks dengan menentukan kolom kunci, baris kunci dan elemen kunci, yaitu:

Baris Kunci : 1 0 5

dibagi 2

0

Untuk : 0 1 3

0

1 -

− 1

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 58 Untuk : 0 0 0

0

-3 - 0

Tabel Iterasi I

VDB _�

0

0

− 1

menentukan nilai =

[

− ] [

−

] =

[ −

]

Masukan nilai � pada table:

VDB _� Rasio

0 ₋

− = −

0 =

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 59 Langkah selanjutnya seperti pada simpleks dengan menentukan kolom kunci, baris kunci dan elemen kunci, yaitu:

Baris Kunci : − 1 dibagi

-1 2 1

Untuk : 0

-1 2 1

-

1 -1 2

Untuk : 0

-1 2 1

− -

1 1 8

Tabel Iterasi II

VDB _�

1 1 8

1 -1 2

-1 2 1

Karena semua nilai − maka sudah tercapai pemecahan optimal, yaitu � � = dengan = =

2. Minimumkan = + Kendala +

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 60 Penyelesaian:

= − � �

� � = − −

= + + + =

+ + =

+ + − + =

+ + − + =

= = + = harus maksimum

Dalam bentuk matrix, yaitu:

[

− − ]

[ ]

=

[ ]

[

] [

− −

]

[ ]

=

[ −

]

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 61 Tabel Awal

VDB _�

0 0 0 0

1 -1 -1 -5

0 1 0 3

0 0 1 2

menentukan nilai =

[

− −

]

[ ]

= [

−

]

Masukan nilai � pada table: EK KK BK = terkecil

VDB _� Rasio

0 0 0 0 5 =

1 -1 -1 -5 -3 −

− =

0 1 0 3 2 *

0 0 1 2 1 =

Nilai masih bernilai negative maka langkah selanjutnya seperti pada simpleks dengan menentukan kolom kunci, baris kunci dan elemen kunci, yaitu:

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 62

Baris Kunci : 0 1 0 3

dibagi 2

Untuk : 0 0 0 0

5 -

0 − 0 −

Untuk : 1 -1 -1 -5

-3 -

1 -1 -

Untuk : 0 0 1 2

0 0

1 -

0 − 1 Tabel Iterasi I

VDB _� Rasio

0 ₋ 0 ₋

1 -1 ₋

0 0

0 ₋ 1

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 63

menentukan nilai =

[

− −

− ]

[ ]

=

[ −

]

Masukan nilai � pada table:

VDB _� Rasio

0 ₋ 0 ₋ − = −

1 -1 _{− −} −

− =

0 0 =

0 ₋ 1 _∗ =

Nilai masih bernilai negative maka langkah selanjutnya seperti pada simpleks dengan menentukan kolom kunci, baris kunci dan elemen kunci, yaitu:

Baris Kunci : 0 − 1

dibagi

-1 2 1

Untuk : 0 − 0 −

0 -1 2 1

-

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 83

Untuk menentukan nilai cij ada beberapa istilah dan rumusan yang akan dipakai untuk memudahkan dalam perhitungannya. Istilah tersebut adalah ui = bilangan baris yang diletakkan pada kolom paling kanan, sedangkan vj = bilangan kolom diletakkan pada baris spaling bawah. Sedangkan rumusan yang akan dipakai adalah sebagai berikut :

 pada kotak isi (variabel basis) berlaku hubungan ui + vj = cij atau ui + vj – cij = 0

 pada kotak kosong (variabel nonbasis) berlaku hubungan ui + vj – cij = c'ij (ongkos kesempatan)

Untuk menentukan nilai-nilai ui , vj dan c'ij , pertama diberikan nilai u1 = 0 (bisa juga ui atau vj yang lain) kemudian dicari nilai-nilai ui dan vj yang lain dengan menggunakan rumusan di atas, lantas akan dapat ditentukan nilai c'ij dari rumus di atas.

Contoh 10 :

Perhatikan PBF masalah transportasi berikut, apakah sudah optimal ?. (Biaya dalam jutaan rupiah)

1 2 3

1 4 5 400 2 400

2 400 1 5 6 400

3 100 2 ₃₀₀ 2 4 ₄₀₀

4 7 ₂₀₀ 9 ₂₀₀ 7 ₄₀₀

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 84

Penyelesaian

Dari PBF di atas kita tambah baris dan kolom untuk ui , vj dan kita beri nilai u1 = 0, akan diperoleh tabel berikut

1 2 3 ui

1 4 5 400 2 400 u1 = 0 2 400 1 5 6 _{400 u2 = ?} 3 100 2 ₃₀₀ 2 4 _{400 u3 = ?} 4 7 200 9 200 7 400 u4 = ?

500 500 600 1600

vj v1 = ? v2 = ? v3 = ?

Dengan menggunakan ketentuan ui + vj = cij pada kotak isi akan mendapatkan berbagai nilai ui dan vj berikut

u1 + v3 = c13  0 + v3 = 2  v3 = 2 u4 + v3 = c43  u4 + 2 = 7  u4 = 5 u4 + v2 = c42  5 + v2 = 9  v2 = 4 u3 + v2 = c32  u3 + 4 = 2  u3 = – 2 u3 + v1 = c31  – 2 + v1 = 2  v1 = 4 u2 + v1 = c21  u2 + 4 = 1  u2 = – 3

Tabel PBF di atas dapat ditulis sebagai berikut:

1 2 3 ui

1 4 5 400 2 400 u1 = 0 2 400 1 5 6 _{400 u2 =} – ₃ 3 100 2 ₃₀₀ 2 4 _{400 u3 =} – ₂ 4 7 200 9 200 7 400 u4 = 5

500 500 600 1600

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 85

Dengan menggunakan ketentuan ui + vj – cij = c'ij akan diperoleh nilai c'ij untuk setiap kotak kosong. Hasilnya adalah sebagai berikut

c'11 = u1 + v1 – c11 = 0, c'22 = u2 + v2 – c22 = – 4, c'33 = u3 + v3 – c33 = – 4, c'12 = u1 + v2 – c12 = – 1, c'23 = u2 + v3 – c23 = – 7, c'41 = u4 + v1 – c41 = 2

Apabila kita letakkan pada tabel di atas kita peroleh tabel berikut

1 2 3 ui

1 4

0

5 – 1

400 2 400 u1 = 0

2 400 1 5 – 4

6 – 7

400 u2 = – 3

3 100 2 ₃₀₀ 2 4 – 4

400 u3 = – 2

4 7

2

200 9 ₂₀₀ 7 _{400 u4 = 5}

500 500 600 1600

vj v1 = 4 v2 = 4 v3 = 2

Dari di atas terlihat bahwa masih ada variabel nonbasis dengan nilai c'ij positif, yakni x41. Jadi PBF tersebut belum optimal dan variabel nonbasis x41 akan menjadi variabel basis baru. Karena belum optimal, PBF akan diubah pada langkah berikut ini.

b. Menyusun Tabel baru

Variabel x41 menjadi variabel basis baru, untuk mengalokasikan komoditasnya, kita buat loop dari kotak K41 terlebih dahulu. Kita dapatkan loop untuk kotak K41 adalah K41 K31 K32 K42.

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 86

Kotak K31 dan K42 adalah donor, masing-masing memiliki alokasi komoditas 100 dan 200, maka alokasi maksimum untuk kotak K41 adalah α41 = min {200, 100} = 100. Dengan mengalokasikan komoditas sebesar 100 unit, maka jumlah komoditas pada resipien bertambah 100 dan pada donor berkurang 100. Hasilnya dapat dilihat pada tabel berikut, variabel x31 menjadi variabel non basis.

1 2 1 2

3 - 2 100

+ 2 300

 3 2 2 400

4 + 7 _- 9 200

4 7 100

9 100

Kotak isi ada 6, sedangkan m + n – 1 = 6, sehingga diperoleh PBF baru berikut

1 2 3

1 4 5 400 2 400 2 400 1 5 6 400 3 2 ₄₀₀ 2 4 ₄₀₀ 4 100 7 100 9 200 7 400

500 500 600 1600

Dilakukan proses uji optimalitas kembali, hasil penghitungan ui , vj dan cij untuk variabel nonbasisnya diperoleh tabel berikut

1 2 3 ui

1 4

– 2

5 – 1

400 2 _{400 u1 =} – ₅ 2 400 1 5

– 2

6 – 5

400 u2 = – 6 3 2

– 2

400 2 4 – 4

400 u3 = – 7 4 100 7 100 9 200 7 400 u4 = 0

500 500 600 1600

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 87

Dari nilai tabel di atas terlihat bahwa nilai c'ij negatif semua, jadi PBF nya sudah optimal, berhenti.

Tabel optimalnya adalah sebagai berikut :

1 2 3

1 400 400

2 400 400

3 400 400

4 100 100 200 400 500 500 600 1600

Nilai fungsi tujuannya adalah f = 800 + 400 + 800 + 700 + 900 + 1400 = Rp. 5000 juta.

SOAL-SOAL:

1. Seseorang memiliki 3 pabrik mobil yang terbesar di tiga lokasi dengan kapasitas produksi masing-masing pabrik yaitu pabrik ke-I = 56 unit, pabrik ke-II = 82 unit dan pabrik ke-III = 77 unit. Hasil produksi dari 3 pabrik tersebut akan dialokasikan ke tiga daerah pemasaran. Masing-masingdaerah pemasaran membutuhkan produk yaitu daerah I = 72 unit, daerah 2 = 102 unit dan daerah 3 = 41 unit. Biaya transportasi (dalam ribuan rupiah) dari pabrik ke daerah pemasaran dapat dilihat pada tabel berikut:

Daerah 1 Daerah 2 Daerah 3

Pabrik I 4 8 8

Pabrik II 16 24 16

Pabrik III 8 16 24

Bagaimana mengalokasikan produk dari pabrik ke daerah pemasaran agar biaya transportasi (pendistribusian) minimum?

2. Tiga pabrik dalam satu group (W, H, P) dengan kapasitas produk maisng-masing adalah 90, 60 dan 50. Hasil produksi aka didistribusikan ke tiga gudang (A, B, C) yang kapasitas penyimpanannya masing-masing adalah 50, 110 dan 40. Tabel biaya pengiriman produk dari pabrik ke gudang ditampilkan pada tabel di bawah ini.

Dra. Retno Marsitin, MPd. - Program Linier Page 88

Tentukan solusi optimal biaya pengiriman, apabila perusahaan ingin mendistribusikan produk ke masing-masing gudang dengan biaya pengiriman (dalam ribuan rupiah) yang minimal yaitu:

3. Dari 3 pelabuhan A1, A2 dan A3 terdapat semen sebanyak masing-masing 120 ton, 170 ton dan 160 ton. Semen tersebut akan diangkut ke kota T1, T2 dan T3 yang masing-masing mempunyai daya tamping 150 ton, 210 ton, 90 ton. Biaya pengiriman dari pelabuhan A1 ke T1, T2 dan T3 masing-masing adalah 50, 100 dan 100 (dalam ribuan rupiah per ton). Biaya pengiriman dari pelabuhan A2 ke kota T1, T2 dan T3 adalah 200,300 dan 200, sedangkan biaya pengiriman dari pelabuhan A3 ke kota T1, T2 dan T3 adalah 100, 200 dan 300. Tentukan solusi optimal biaya pengiriman!

Dari Ke _{Gudang A Gudang B Gudang C Kapasitas Pabrik}

Pabrik W 20 5 8 90

Pabrik H 15 20 10 60

Pabrik P 25 10 19 50