85
b. Model matematik kendala debit
Besarnya kebutuhan air adalah hasil kali kebutuhan air per hektar dengan luas lahan. Besarnya kebutuhan air dalam satu musim tanam haruslah
lebih kecil dari debit minimum yang tersedia. Dengan beberapa jenis tanaman dalam satu musim tanam, maka fungsi kendala debit dapat
ditulis sebagai berikut :
q
1 .
X
1
+ q
2
. X
2 +
q
3
. X
3
≤ Q
1 minimum
q
4 .
X
4
+ q
5
. X
5
≤ Q
2 minimum
berdasarkan hasil perhitungan kebutuhna air tanaman perhektar dan debit yang tersedia yang ditunjukkan pada tabel 5.9, maka fungsi kendala debit
pada studi optimasi pola tanam ini adalah sebagai berikut : 1,73
.
X
1
+ 0,0. X
2 +
0,0. X
3
≤ 5020,6
1,27
.
X
4
+ 0,0. X
5
≤ 4584,6
5.4. Penyelesaian Optimasi dengan Metode Simpleks
Metode simpleks merupakan metode yang digunakan untuk menyelesaikan suatu masalah linier programming bila memiliki lebih dari dua variabel-
variabel keputusan. Metode simpleks adalah suatu prosedur aljabar iteratif yang dikembangkan oleh George B. Dantzig pada yahun 1947 untuk memecahkan persoalan-
persoalan program linier. Metode ini menyelesaikan masalah program linier melalui tahapan perhitungan ulang dimana langkah-langkah perhitungan yang sama diulang
sampai tercapai solusi optimal. Dari pembahasan sebelumnya diketahui bahwa fungsi tujuan :
Universitas Sumatera Utara
86
Maksimumkan : Z
= 13778667 . X
1
+ 8046280 . X
2
+ 11241800 . X
3
+ 13778667 . X
4
+ 8046280 . X
5
Fungsi kendala : X
1
+ X
2
+ X
3
≤ 3654
X
4
+ X
5
≤ 3654
X
1
+ X
4
≥ 3124
1,73
.
X
1
≤ 5020,6
1,27
.
X
4
≤ 4584,6
X
1 ,
X
2
, X
3
, X
4
, X
5
≥ 0 Penyelesaian:
Langkah 1 : Merubah fungsi tujuan dan fungsi kendala menjadi bentuk standard
Maksimumkan : Z
= 13778667 . X
1
+ 8046280 . X
2
+ 11241800 . X
3
+ 13778667 . X
4
+ 8046280 . X
5
Perubahan bentuk menjadi bentuk persamaan standar dapat terlihat melalui perubahan tanda sama dengan “=” pada fungsi kendala. Bentuk standar dari persamaan kendala di
atas dapat ditulis sebagai berikut : X
1
+ X
2
+ X
3
+S
1
= 3654Ha
X
4
+ X
5
+ S
2
= 3654 Ha
X
1
+ X
4
- S
3
+ R
1
= 3124 Ha
1,73
.
X
1
+ S
4
= 5020,6
1,27
.
X
4
+ S
5
≤ 4584,6
dengan adanya variabel artifisial R
1
dari fungsi kendala di atas maka penyelesaian metode simplek dilakukan dengan teknik M Metode Penalty. Pada teknik ini, setiap
variabel artifisial diberikan penalty M. Penalty bertanda positif apabila fungsi tujuan
Universitas Sumatera Utara
87
minimisasi dan bertanda negatif apabila fungsi tujuan positif. Maka persamaan diatas berubah menjadi :
maksimumkan : Z - 13778667 . X
1
-8046280 . X
2
- 11241800 . X
3
-13778667 . X
4
-8046280. X
5
+ S
1
+ S
2
- S
3
+ M R
1
+ S
4
+ S
5
Dengan kendala X
1
+ X
2
+ X
3
+ S
1
= 3654
X
4
+ X
5
+ S
2
= 3654
X
1
+ X
4
- S
3
+ R
1
= 3124
1,73
.
X
1
+ S
4
= 5020,6
1,27
.
X
4
+ S
5
= 4584,6
Agar persamaan diatas dapat dibuat dalam bentuk tabel maka terlebih dahulu subtitusikan nilai R
1
; R
1
= 3124 - X
1
- X
4
+ S
3
Sehingga fungsi tujuan dapat dirubah menjadi bentuk implisit dengan jalan menggeser nilai ruas kanan ke sebelah kiri sehingga menjadi :
Z - 13778667 . X
1
-8046280 . X
2
- 11241800 . X
3
-13778667 . X
4
-8046280. X
5
- S
1
- S
2
+ S
3
- M 3124 - X
1
- X
4
+ S
3
- S
4
- S
5
= 0 ; Z – 13778667 + M.X
1
- 8046280.X
2
- 11241800.X
3
- 13778667+ M.X
4
- 8046280.X
5
- S
1
- S
2
- M .S
3
- S
4
- S
5
= -3124 M Dengan kendala
X
1
+ X
2
+ X
3
+ S
1
= 3654
X
4
+ X
5
+ S
2
= 3654
X
1
+ X
4
- S
3
+ R
1
= 3124
1,73
.
X
1
+ S
4
= 5020,6
Universitas Sumatera Utara
88
1,27
.
X
4
+ S
5
= 4584,6
Langkah II : Mentabulasikan persamaan yang diperoleh pada langkah I
Tabel 5.11 Bentuk umum tabel simpleks BASIS Z
X
1
X
2
... ... X
n
S
1
S
2
... ... S
m
SOLUSI Z
1
C
1
C
2
... ...
C
3
... ...
S
1
a
11
a
12
... ...
a
1n
1 ...
... b
1
S
2
a
21
a
22
... ...
a
2n
1 ...
... b
2
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
S
m
a
m1
a
m2
... ...
a
mn
... ...
1 b
m
Persamaan fungsi tujuan dan kendala yang telah dirubah menjadi bentuk standar dapat dilhat pada tabel 5.12.
Langkah III : Menentukan entering variabel
Untuk persamaan dengan fungsi maksimasi, nilai entering variabelnya dapat dipilih dari kolom pada baris fungsi tujuan yang mempunyai nilai negatif terbesar. Jika ditemukan
lebih dari satu nilai negatif terbesar pilihlah salah satunya, sebaliknya bila tidak ditemukan nilai negatif berarti solusi sudah optimal.
Langkah IV : Menentukan leaving variabel
Leaving variabel dipilih dari rasio yang nilainya positif terkecil. Rasio diperoleh dengan cara membagi nilai solusi dengan koefisiien pada entering variabel yang sebaris. Kolom
pada entering variabel dinamakan entering coulomn, dan baris yang berhubungan dengan leaving variabel dinamakan persamaan pivot. Elemen pada perpotongan
entering coloumn dan persamaan pivot dinamakan elemen pivot.
Langkah V :
Menentukan persamaan pivot baru
Persamaan pivot baru = Persamaan pivot lama : elemen pivot Dari tabel 5.12 terlihat bahwa leaving variabelnya adalah S4 maka gantilah basis S4
dengan X1.
Universitas Sumatera Utara
89
Tabel 5.12 Tabel Simplek Awal
Basis Z
X1 X2
X3 X4
X5 S1
S2 S3
S4 S5
R1 SOLUSI
Z 1
-13778667 + M -8046280 -11241800
-13778667 + M -8046280 M
-3124M S1
1 1
1 1
3654 S2
1 1
1 3654
R1 1
1 -1
1 3124
S4 2,01
1 5020,6
S5 1,73
1 4584,6
Tabel 5.13 Penentuan Entering Variabel dan Leaving variabel
Basis Z
X1 X2
X3 X4
X5 S1
S2 S3
S4 S5
R1 Solusi
Rasio Z
1 -13778667 + M -8046280
-11241800 -13778667 + M -8046280
M -3124M
S1 1
1 1
1 3654
3654 S2
1 1
1 3654
3654 R1
1 1
-1 1
3124 3124
S4 1,73
1 5020,6
2902,081 S5
1,27 1
4584,6
Tabel 5.14 Iterasi ke 1
Basis Z
X1 X2
X3 X4
X5 S1
S2 S3
S4 S5
R1 Solusi
Z 1
-8046280 -11241800
-13778667+ M -8046280 -M-1
6854887+0,4975M 34416492219-626,189M
S1 1
1 1
-0,4975 1156,189
S2 1
1 1
3654 R1
1 -1
-0,4975 1
626,1891 X1
1 0,4975
2497,811 S5
1,27 4584,6
Universitas Sumatera Utara
90
Langkah VI : Menentukan persaman pivot Baru
Persamaan pivot baru = Persamaan Lama – Koef. Kolom entering x persamaan Pivot Baru. Dari tabel 5.12 diketahui bahwa persamaan pivot lama adalah S4, dengan kolom
entering adalah X1. Dan elemen pivot adalah 1,73. Maka persamaan pivot baru dapat dilihat seperti tabel 5.13 diatas. Ualngi langkah 1 - 4 hingga persamaan pada fungsi Z
tidak ada yang bernilai negatif. Hasil dari penyelesaian dengan metode simplek didapat X1 = 2902,081; X2 = 0 ; X3 = 751,9191 ; X4 = 3609,921 ; X5 = 44,0786.
5.5. Optimasi dengan program Quantity Methode For Windows
