Perkalian Pecahan a. Perkalian pecahan biasa

37  Ani, Beta, dan Cica akan membuat bunga dengan masing-masing memerlukan 5 1 meter pita. Berapa meter pita yang diperlukan untuk 3 anak? Bila setiap anak memerlukan 5 1 m pita, maka 3 anak akan memerlukan … m pita. Dalam kalimat matematika dapat dituliskan 3  5 1 = ....... 5 1 m atau 20 cm 5 1 m 5 1 m 1 anak 1 anak 1 anak 3 anak Dengan menggunakan konsep penjumlahan berulang akan didapat konsep perkalian sebagai berikut. 5 1 + 5 1 + 5 1 = 5 1 1 1   = 5 3 3  5 1 = 5 3 = 5 1 3  Jadi 3 anak memerlukan 5 3 meter pita atau 60 cm. Contoh 2 Ati, Bety, dan Cindi akan membuat bunga dan masing-masing memerlukan 5 2 m pita. Berapa meter pita yang diperlukan untuk 3 orang anak? Bila setiap anak memerlukan 5 2 m pita, maka 3 anak memerlukan … m pita. Kalimat matematika yang bersesuaian adalah 3  5 2 = ..... 5 2 m atau 40 cm 5 2 m 5 2 m 1 anak 1 anak 1 anak 3 anak Dengan menggunakan konsep penjumlahan berulang maka akan didapat konsep perkalian. 5 2 + 5 2 + 5 2 = 5 2 2 2   = 5 6 3  5 2 = 5 6 = 5 2 3  38 Jadi pita yang diperlukan 5 6 atau 1 5 1 meter dan setelah diukur hasilnya adalah 1 meter lebih 20 cm. Contoh-contoh tersebut dapat dilanjutkan untuk perkalian-perkalian yang lain. Dari contoh tersebut dapat dibuat kesimpulan berdasar pola yang terjadi sebagai berikut. 1 5 1 + 5 1 + 5 1 = 3  5 1 = 5 3 = 5 1 3  atau 3  5 1 = 5 1 3  2 5 2 + 5 2 + 5 2 = 3  5 2 = 5 6 = 5 2 3  atau 3  5 2 = 5 2 3  Dalam kalimat sederhana dapat dinyatakan bahwa: 2 Perkalian pecahan dengan bilangan asli Permasalahan perkalian pecahan dengan bilangan asli ada dalam kehidupan sehari-hari dengan contoh-contoh sebagai berikut. Dalam pelaksanaan pembelajaran benda kongkret dapat diganti dengan gambar- gambar yang disusun dalam LK Lembar Kerja. Gambar-gambar yang tercantum pada LK hendaknya sederhana sehingga siswa mudah menentukan bagian-bagian dari bangun tersebut. Materi prasyarat yang harus diingat adalah bilangan asli yang dikalikan dengan pecahan karena pada hakekatnya pecahan yang dikalikan dengan bilangan asli merupakan bentuk komutatif dari bilangan asli yang dikalikan dengan pecahan ; pecahan senilai; dan pecahan campuran. Pada akhir kegiatan perlu rangkuman dengan menggunakan skema yang telah disiapkan seperti contoh. bilangan asli dikalikan dengan pecahan biasa hasilnya adalah bilangan asli dikalikan pembilangnya, sedangkan penyebutnya tetap atau dalam bentuk umum c b a c b a     Keisya mempunyai 30 mangga hasil panen dan 5 2 akan diberikan kepada tetangga. Berapa buah mangga yang diberikan kepada tetangga?  Dita mempunyai pita yang panjangnya 3 meter, dan 3 2 bagian dari pita tersebut akan dibuat bunga. Berapa meter pita yang dibuat bunga?  Dinda mempunyai tali yang panjangnya 5 meter, dan 5 3 bagian dari tali dipakai untuk mengikat kardus. Berapa meter panjang tali yang digunakan untuk mengikat kardus?  Luas kebun Diar adalah 500 m 2 , dan 5 2 bagiannya akan ditanami cabe. Berapa luas kebun Diar yang ditanami cabe? 39 Contoh 1  Keisya mempunyai 30 mangga hasil panen dan 5 2 akan diberikan kepada tetangga. Berapa buah mangga yang diberikan kepada tetangga? Alternatif penyelesaian Kalimat matematika yang bersesuaian adalah 5 2 dari 30 atau 5 2  30 = ….. Ternyata terlihat bahwa 5 1 bagian ada 6 buah. Jadi kalau 5 2 bagian ada 2  6 = 12. Jadi 5 2  30 = 60 5 = 12 atau 5 2  30 = 2  6 = 12. Contoh 2 Dita mempunyai pita yang panjangnya 3 meter, dan 3 2 bagian dari pita tersebut akan dibuat bunga. Berapa meter pita yang dibuat bunga? Alternatif penyelesaian Kalimat matematika yang bersesuaian adalah 3 2 dari 3 atau 3 2  3 = …. 3 2 dari 3 m Dari gambar terlihat bahwa 3 2 dari 3 m adalah 2 m atau 3 2  3 = 2 Bila dicocokkan 3 2  3 = 3 3 2  = 3 6 = 2. Jadi 3 2  3 = 3 3 2  Contoh 3 Dinda mempunyai tali yang panjangnya 5 meter, dan 5 3 bagian dari tali dipakai untuk mengikat kardus. Berapa panjang tali yang digunakan untuk mengikat kardus? 3 meter 1 meter 1 meter 1 meter 6 40 Tali diukur panjangnya 5 meter dan setiap panjang 1 meter diberi tanda. Tali dibagi menjadi 5 bagian yaitu berdasar penyebut dari pecahan yang digunakan dan menentukan 5 3 bagiannya serta menetapkan hasil yaitu 3 m. Untuk kalimat matematikanya dapat dituliskan 5 3  5 = 3 = 5 5 3  = 5 15 . Contoh 4 Luas kebun Diar adalah 500 m 2 , dan 5 2 bagiannya akan ditanami cabe. Berapa luas kebun yang ditanami cabe? Alternatif penyelesaian dengan gambar Kalimat matematika yang bersesuaian adalah 5 2 dari 500 atau 5 2  500 = .... Luas kebun Diar yang ditanami cabe Dari gambar terlihat bahwa luas kebun yang akan ditanami cabe adalah 200 m 2 atau 5 2  500 = 200 . Bila dibuat yang lain 5 2  500 = 5 500 2  = 5 1.000 = 200. Jadi 5 2  500 = 5 500 2  Rangkuman dari contoh tersebut adalah sebagai berikut. 1 3 2  3 = 2 = 3 3 2  = 3 6 atau 3 2  3 = 3 3 2  2 5 3  5 = 3 = 5 5 3  = 5 15 atau 5 3  5 = 5 5 3  3 5 2  500 = 200 = 5 500 2  = 5 1.000 atau 5 2  500 = 5 500 2  5 m 2 m 1 m 5 m 4 m 3 m bagian 5 1 bagian 5 2 bagian 5 3 50 m 10 m 10 m 100 m 2 100 m 2 100 m 2 100 m 2 100 m 2 10 m 10 m 10 m 10 m 41 Dalam kalimat sederhana dapat dinyatakan bahwa: Sifat komutatif dari pecahan biasa yang dikalikan dengan bilangan asli dan bilangan asli yang dikalikan dengan pecahan biasa adalah sebagai berikut. 3  3 2 = 3 2  3 5  5 3 = 5 3  3 dan seterusnya 3 Perkalian pecahan dengan pecahan Permasalahan pecahan yang dikalikan dengan pecahan ada dalam kehidupan nyata sehari-hari dengan contoh-contoh sebagai berikut. Materi prasyarat yang harus diingat meliputi bilangan asli yang dikalikan dengan pecahan; pecahan yang dikalikan dengan bilangan asli; pecahan senilai; dan pecahan campuran. Adapun alternatif penyelesaian sebagai berikut. Contoh 1 Ibu mempunyai 4 3 bagian kue taart. Jika ibu menghidangkan 3 2 dari kue tersebut, maka yang dihidangkan = … bagian dari kue taart. Hasil perkalian bilangan asli dengan pecahan biasa adalah pecahan yang diperoleh dari bilangan asli dikalikan dengan pembilang pecahan biasa dengan penyebut pecahan tetap. Atau dalam bentuk umum…. b c a c b a     Ibu mempunyai 4 3 bagian dari satu kue. Jika ibu menghidangkan 3 2 dari yang ada untuk tamu, maka berapa bagian dari kue tersebut yang dihidangkan untuk tamu?  Satu resep kue kering membutuhkan 5 3 bagian coklat batangan. Jika kakak membuat 2 1 resep maka coklat yang dibutuhkan … bagian 42 Permasalahan tersebut dapat dinyatakan dalam kalimat matematika 3 2 dari 4 3 yang secara matematis ditulis 3 2  4 3 = … Kue taart yang 4 3 bagian dibagi menjadi 3 sama besar dan diambil 3 2 dari 4 3 . Pada gambar terlihat bahwa hasil dari 3 2  4 3 = 2 1 yang diarsir dobel atau 3 2  4 3 = 4 3 3 2   = 12 6 = 2 1 Peragaan dengan menggunakan model luas daerah. Hasilnya yang diarsir dobel. Setiap petak mewakili 12 1 . Dari gambar dapat dilihat bahwa ada 6 petak 12 1 an atau dalam kalimat matematika 3 2  4 3 = 12 6 atau 3 2  4 3 = 12 6 = 4 3 3 2   Contoh 2. Satu resep roti membutuhkan 5 3 bagian dari coklat batangan. Jika kakak membuat 2 1 resep maka coklat yang dibutuhkan … bagian. Untuk mengkongkretkan masalah di atas dapat digunakan media kertas yang mudah dilipat sebagai media individual. Tahap 1 Kertas yang mewakili coklat batangan dilipat menjadi 5 bagian sama sesuai penyebut pecahan 5 3 . Arsir 3 bagian dari lipatan untuk membentuk pecahan 5 3 . Tahap 2 yang diarsir mewakili bilangan 4 3 yang diarsir dobel mewakili 3 2 dari 4 3 yaitu 2 1 3 2 3 1 4 1 4 2 4 3 1 1 yang diarsir 5 3 43 Lipat yang 5 3 bagian menjadi 2 bagian sama. Tiap bagian mewakili 2 1 dari 5 3 , maka akan terbentuk lipatan kecil. 2 1 dari 5 3 Tahap 3 Ikuti lipatan kecil tersebut sampai seluruh kertas membentuk lipatan kecil yang sama. Maka akan terbentuk 10 lipatan kecil, dan 2 1 dari 5 3 tersebut ternyata sama dengan 3 lipatan kecil dari 10 lipatan atau 10 3 yang diarsir dobel. 2 1 dari 5 3 Jadi 2 1 dari 5 3 adalah 10 3 . Kalimat matematikanya 2 1  5 3 = 10 3 = 5 2 3 1   Atau dengan model luas daerah didapat gambar sebagai berikut. Digambar 1 utuh, kemudian diambil 5 3 bagian dari 1 utuh. Dari 5 3 tersebut diambil 2 1 bagiannya. Setiap petak mewakili 10 1 . Dari gambar dapat dilihat bahwa ada 3 petak 10 1 atau dalam kalimat matematika adalah 2 1  5 3 = 10 3 atau 2 1  5 3 = 10 3 = 5 2 3 1   . Dalam kalimat dapat disimpulkan bahwa: 2 1 5 1 5 2 5 3 1 1 pecahan dikalikan pecahan hasilnya adalah pecahan yang pembilangnya dikalikan pembilang dan penyebutnya dikalikan penyebut” atau secara matematis ditulis d b c a d c b a     . 44 Contoh dapat diperbanyak untuk mendapatkan bentuk perkalian yang lain sehingga menambah pemahaman peserta didik tentang materi yang disajikan.

b. Perkalian pecahan campuran

Permasalahan perkalian bilangan asli dengan pecahan campuran ada dalam kehidupan nyata dengan contoh-contoh sebagai berikut. Kalimat matematika dari permasalahan tersebut di atas adalah: 5  1 2 1 = ….. Dengan menggunakan penjumlahan berulang akan didapat hasil berikut. 5  1 2 1 = 1 2 1 + 1 2 1 + 1 2 1 + 1 2 1 + 1 2 1 = 1+1+1+1+1+ 2 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 = 5 1 + 5  2 1 = 5 + 2 5 = 5 + 2 2 1 = 7 2 1 atau 5  1 2 1 = 1 2 1 + 1 2 1 + 1 2 1 + 1 2 1 + 1 2 1 = 1+1+1+1+1+ 2 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 = 5 1 + 5  2 1 = 5  2 2 + 5  2 1 = 5  2 2 + 2 1 =5  2 3 = 2 15 = 7 2 1 Untuk memahamkan anak guru dapat pula membimbing siswa dengan format berikut. Banyak toples Mentega dalam ons Kalimat perkalian Hasil 1 1 2 1 1  1 2 1 = 1  2 3 = 2 3 1  = 2 3 1 2 1 2 1 2 1 + 1 2 1 2  1 2 1 = 2  2 3 = 2 3 2  = 2 6 3 3 1 2 1 + 1 2 1 + 1 2 1 3  1 2 1 = 3  2 3 = 2 3 3  = 2 9 4 2 1 4 1 2 1 + 1 2 1 + 1 2 1 + 1 2 1 4  1 2 1 = 4  2 3 = 2 3 4  = 2 12 6 5 1 2 1 + 1 2 1 + 1 2 1 + 1 2 1 + 1 2 1 5  1 2 1 = 5  2 3 = 2 3 5  = 2 15 7 2 1 Setiap toples kue kering memerlukan 1 2 1 ons mentega. Berapa ons mentega diperlukan bila kakak mau membuat 5 toples kue? 45 Selanjutnya dapat langsung sebagai berikut 5  1 2 1 = 5  2 3 = 2 15 = 7 2 1 Untuk perkalian pecahan campuran dengan pecahan campuran dapat diberikan contoh permasalahan sehari-hari sebagai berikut. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, dapat mengisi format berikut. Berat daging dalam kg Kalimat penjumlahan Kalimat perkalian Santan yang diperlukan dalam liter 1 2 2 1 1  2 2 1 = 1  2 5 = 2 5 2 2 1 2 2 2 1 + 2 2 1 2  2 2 1 = 2  2 5 = 2 10 5 3 2 2 1 + 2 2 1 + 2 2 1 3  2 2 1 = 3  2 5 = 2 15 7 2 1 2 1 2 1  2 2 1 = 2 1  2 5 = 4 5 1 4 1 Jadi santan yang diperlukan untuk membuat rendang seberat 3 2 1 kg daging = 7 2 1 + 1 4 1 = 7 + 1 + 2 1 + 4 1 = 8 + 4 1 2  = 8 + 4 3 = 8 4 3 Selanjutnya dapat langsung sebagai berikut 3 2 1  2 2 1 = 2 7  2 5 = 4 35 = 8 4 3

c. Perkalian pecahan desimal

Permasalahan dalam topik perkalian pecahan desimal dapat dihubungkan dengan permasalahan perkalian pecahan campuran pada pembahasan nomor 3. Untuk membuat rendang dari 1 kg daging dibutuhkan 2 2 1 liter santan. Bila ibu mau membuat rendang dari 3 2 1 kg daging, berapa liter santan yang diperlukan? Untuk membuat rendang dari 1 kg daging dibutuhkan 2,5 liter santan. Bila ibu mau membuat rendang dari 3,5 kg daging, berapa liter santan yang diperlukan?