Formatted: Tab stops: Not at 7,62 cm
2.3.1.1. Profil Kecepatan Angin
Pergerakan udara dekat permukaan bumi diperlambat oleh gesekan karena kekasaran permukaan. Bentang alam, lokasi dan
kepadatan tumbuhan, lokasi dan ukuran danau, sungai, gunung, bangunan menyebabkan perbedaan gradien angin dalam arah vertikal.
Planetry Boundary Layer yang dipengaruhi oleh gesekan mempunyai ketinggian antara ratusan sampai ribuan meter di atas permukaan
bumi. Kedalaman Boundary layer lebih besar untuk kondisi atmosfer tidak stabil daripada kondisi stabil.
2.3.1.2. Wind Rose
Satu hal yang sangat penting dalam meramalkan penyebaran zat pencemar adalah mengetahui arah dan besar kecepatan angin
yang biasa digambarkan dalam bentuk vektor. Arah angin selalu ditentukan darimana angin tersebut bertiup. Vektor arah angin dan
besarnya kecepatan angin dalam wind rose, menggambarkan frekwensi distribusi arah arah angin pada berbagai variasi kecepatan
yang terjadi. Data ini diukur harian selama periode waktu satu bulan. Ada 16 pembagian kategori arah angin, hal ini bukan keharusan tapi
bisa juga dibagi dalam delapan arah mata angin, tergantung kebutuhan dan kondisi daerah yang diteliti. Demikian juga
pembagian range kecepatan angin disesuaikan kebutuhan range data yang ada.
2.4. Daerah Penerima
Emisi gas karbon monoksida di suatu daerah berasal dari kendaraan bermotor yang melalui daerah tersebut sebagai sumber utama. Gas karbon
monoksida yang diemisikan ke udara akan menyebar dengan mengikuti arah angin, turbulensi oleh angin menyebabkan karbon monoksida berdifusi. Keadaan topografi
suatu daerah yang tidak datar atau membentuk suatu kemiringan akan menyebabkan dinamika penyebaran karbon monoksida semakin besar, situasi ini
Formatted: Bullets and Numbering
Formatted: Bullets and Numbering
Formatted: Bullets and Numbering Formatted: Spanish I nternational
Sort
Formatted: Tab stops: Not at 7,62 cm
akan semakin bertambah kompleks dengan bentuk permukaan daerah tersebut yang tidak rata. Kekasaran permukaan menyebabkan timbulnya turbulensi dalam skala
kecil yang akan terjadi bila ada angin yang melewatinya. Suatu lapisan atmosfer yang tidak stabil di pagi hari dan sangat tidak stabil pada siang hari akan
memperbesar koefisien difusi yang nantinya mendistribusikan karbon monoksida.
2.5. Model Matematika Transportasi Polutan
Untuk memperkirakan besar konsentrasi polutan di suatu tempat pada saat tertentu dapat dilakukan dengan suatu pemodelan penyebaran polutan. Proses
penyebaran polutan karbon monoksida di udara dapat didekati dengan model adveksi-difusi. Proses adveksi adalah proses berpidahnya polutan karena adanya
pergerakan media, dalam hal ini pergerakan udara karena adanya perbedaan tekanan, sedangkan proses difusi adalah penyebaran polutan karena adanya
perbedaan konsentrasi antara satu titik dengan titik lain disekitarnya. Model tersebut bisa berupa model analitik, statistik, atau numerik. Setiap model
mempunyai kelebihan dan kekurangannya masing-masing, sehingga diperlukan pengetahuan mengenai masalah yang akan dimodelkan untuk memilih jenis model
yang paling sesuai. Penentuan jenis model yang dipakai tergantung pada beberapa hal, antara lain : tujuan pemodelan, skala ruang, skala waktu, dan biaya yang
tersedia. Dalam pemodelan numerik ada dua metode yang bisa digunakan yaitu metode elemen hingga dan metode beda hingga. Metode beda hingga dipilih untuk
membuat model adveksi-difusi polutan. Metode numerik beda hingga merupakan salah satu metode yang banyak dipakai dalam memecahkan masalah keteknikan
karena mudah digunakan dan cepat.
2.5.1. Persamaan transportasi Persamaan adveksi-difusi atau persamaan transportasi polutan
Bruce Egan,1972 harus dicari solusinya untuk mengetahui penyebaran konsentrasi polutan pada suatu daerah tertentu dengan profil kecepatan dan
arah angin tertentu pula:
Formatted: Tab stops: Not at 7,62 cm
. .
C U
C D C
Q R
t ∂
= − ∇ + ∇ ∇ + + ∂
, 2.1
C : konsentrasi polutan U : kecepatan angin
D : koefisien dispersi Q : laju sumber polutan
R : laju reaksi kimia
Laju reaksi kimia R pada persamaan 2.1 dapat diabaikan karena polutan yang dibahas tidak bereaksi dengan lingkungan inert dan koefisien difusi D
tidak berubah tetap terhadap ruang dan waktu, jadi persamaan di atas menjadi:
2
. .
. C
U C
D C Q
U C
D C
Q t
∂ = − ∇ + ∇ ∇ + = − ∇ + ∇
+ ∂
2.2
dimana pada domain kartesian 2-dimensi, operator ∇ dan ∇
2
di definisikan sebagai http:matword.wolfram.com VektorDerivative.html :
x y
∂ ∂
∇ = +
∂ ∂
dan
2 2
2 2
2
x y
∂ ∂
∇ = +
∂ ∂
lihat definisi grad dan diff.grad
Dengan demikian persamaan 2.2 menjadi:
2 2
2 2
x y
C C
C C
C v
v D
D Q
t x
y x
y ∂
∂ ∂
∂ ∂
= − −
+ +
+ ∂
∂ ∂
∂ ∂
2.3
Persamaan 2.3 adalah persamaan diferensial parsial Partial Differential Equation-PDE derajat 2. Pada kasus-kasus yang khusus, PDE di atas dapat
diselesaikan secara analitik, namun memiliki tingkat kerumitan yang tinggi. Alternatif solusinya adalah dengan mencoba memecahkan permasalahan di
atas menggunakan metode numerik. 2.5.2. Metode Beda Hingga Finite Difference
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode beda- hingga finite difference. Konsep utama metode ini didapat melalui
ekspansi Taylor Smith, G.D, 1999, dimana suku diferensial orde 1 ∇ dan
orde 2 ∇
2
dapat dicari pendekatannya melalui diskretisasi membagi domain dalam grid-grid daerah domain kedalam suatu daerah 2-dimensi
dengan lebar grid tertentu dan diberikan syarat batas boundary condition.
Field Code Changed Formatted: Spanish I nternational
Sort
Field Code Changed Formatted: Spanish I nternational
Sort
Formatted: Spanish I nternational Sort
Formatted: Spanish I nternational Sort
Field Code Changed Formatted: Spanish I nternational
Sort
Field Code Changed Formatted: Spanish I nternational
Sort
Field Code Changed Formatted: Spanish I nternational
Sort
Formatted: Spanish I nternational Sort
Formatted: Spanish I nternational Sort
Formatted: Tab stops: Not at 7,62 cm
Pendekatan untuk suku diferensial orde 1:
1, ,
i j
i j
C C
dC dx
h
+
− ≅
dan
, 1
, i j
i j
C C
dC dy
k
+
− ≅
beda-maju
1 ,
, m
m i j
i j
C C
dC dt
t
+
− ≅
Δ
2.4
sedangkan suku diferensial orde 2 didekati dengan:
2 1,
, ,
1 2
2
2
i j
i j i j
C C
C d C
dx h
+ −
− +
≅
dan
2 ,
1 ,
, 1
2 2
2
i j i j
i j
C C
C d C
dy k
+ −
− +
≅
2.5
Gambar 2. Titik Grid Dengan menerapkan pendekatan beda-hingga untuk suku diferensial orde ke
1 dan 2 di atas maka persamaan 2.3 berubah menjadi:
1 ,
, 1,
, ,
1 ,
m m
m m
m m
i j i j
x i
j i j
y i j
i j
t t
C C
v C
C v
C C
h k
+ +
+
Δ Δ
⎡ ⎤
⎡ ⎤
− = −
− −
− ⎣
⎦ ⎣
⎦
1, ,
1, , 1
, , 1
2 2
2 2
m m
m m
m m
i j
i j i
j i j
i j i j
t t
D C
C C
D C
C C
h k
+ −
+ −
Δ Δ
⎡ ⎤
⎡ ⎤
+ −
+ +
− +
⎣ ⎦
⎣ ⎦
, i j
Q t
+ Δ
2.6.a
Apabila digunakan lebar grid yang sama h
k =
maka persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi:
Field Code Changed Formatted: Spanish I nternational
Sort
Field Code Changed Formatted: Spanish I nternational
Sort
Field Code Changed Formatted: Spanish I nternational
Sort
Formatted: Tab stops: Not at 7,62 cm
{ }
1 ,
, 1,
, ,
1 ,
m m
m m
m m
i j i j
x i
j i j
y i j
i j
t C
C v
C C
v C
C h
+ +
+
Δ ⎡
⎤ ⎡
⎤ −
= −
− −
− ⎣
⎦ ⎣
⎦
1, ,
1 ,
1, ,
1 ,
2
4
m m
m m
m i
j i j
i j i
j i j
i j
t D
C C
C C
C Q
t h
+ +
− −
Δ ⎡ ⎤
+ +
− +
+ +
Δ ⎣
⎦ 2.6.b
Dimana m menandakan langkah waktu m, dan m+1 dan i,j menandakan satu lokasi node. Perhitungan akan dilakukan untuk semua i dan j dalam
domain. Persamaan di atas juga merupakan persamaan linier yang dipergunakan untuk menghitung konsentrasi pada titik i,j berdasarkan empat
titik lain di sekitarnya Gambar 2. Dengan demikian, apabila terdapat n baris dan m kolom pada grid, maka akan terdapat n x m buah persamaan
linier sehingga akan membentuk suatu sistem persamaan linier berbentuk:
[ ]
b C
A
m
=
+1
, 2.7
atau dapat dijabarkan seperti di bawah ini dengan mengatur ulang susunan persamaan 2.6.a di atas, dimana didapatkan persamaan:
1 ,
, 1,
, ,
1 ,
m m
m m
m m
i j i j
x i
j i j
y i j
i j
t t
C C
v C
C v
C C
h k
+ +
+
Δ Δ
⎡ ⎤
⎡ ⎤
= −
− −
− ⎣
⎦ ⎣
⎦
1, ,
1, , 1
, , 1
, 2
2
2 2
m m
m m
m m
i j
i j i
j i j
i j i j
i j
t t
D C
C C
D C
C C
Q t h
k
+ −
+ −
Δ Δ
⎡ ⎤
⎡ ⎤
+ −
+ +
− +
+ Δ ⎣
⎦ ⎣
⎦
, 2.8
Bila:
x x
t v
h λ
Δ =
;
y y
t v
k λ
Δ =
;
2 x
t D
h α
Δ =
;
2 y
t D
k α
Δ =
maka akan didapatkan bentuk baru dari persamaan 2.6a dan 2.6b sebagai berikut:
1 ,
, 1,
, ,
1 ,
m m
m m
m m
i j i j
x i
j i j
y i j
i j
C C
C C
C C
λ λ
+ +
+
⎡ ⎤
⎡ ⎤
= −
− −
− ⎣
⎦ ⎣
⎦
1, ,
1, , 1
, , 1
,
2 2
m m
m m
m m
x i
j i j
i j
y i j
i j i j
i j
C C
C C
C C
Q t α
α
+ −
+ −
⎡ ⎤
⎡ ⎤
+ −
+ +
− +
+ Δ ⎣
⎦ ⎣
⎦
2.9
Selanjutnya persamaan 2.9 dapat disusun ulang menjadi:
1 ,
, 1,
, 1
[1 2
2 ]
m m
m m
i j x
y x
y i j
x x
i j
y y
i j
C C
C C
λ λ
α α
α λ
α λ
+ +
+
= + +
− −
+ −
+ −
Field Code Changed Formatted: English U.S.
Field Code Changed Formatted: English U.S.
Formatted: Tab stops: Not at 7,62 cm
1, ,
1 ,
m m
x i
j y
i j i j
C C
Q t
α α
− −
+ +
+ Δ
2.10
Bila:
1 2
1 2
; ;
; ;
1 2
2
x x
x y
y y
x y
x y
α α λ
α α
β α λ β
α γ
λ λ α
α =
− =
= −
= = +
+ −
− maka persamaan 2.10 menjadi:
1 ,
, 1
1, 1
, 1
2 1,
2 ,
1 ,
m m
m m
m m
i j i j
i j
i j i
j i j
i j
C C
C C
C C
Q t
γ α
β α
β
+ +
+ −
−
= +
+ +
+ +
Δ
2.11
Selanjutnya dimisalkan bahwa domain dibagi dalam 40x40 daerah dengan penomoran seperti di bawah ini dengan batas luar diset pada nilai 0:
Gambar 3. Diskretisasi domain perhitungan Dengan i=1 dan j=1 pada posisi kiri bawah. Maka untuk titik 1 i=1,j=1
didapatkan persamaan: t
Q C
C C
C
m m
m m
Δ +
+ +
+ +
=
+ 1
, 1
2 ,
1 1
1 ,
2 1
1 ,
1 1
1 ,
1
β α
γ Demikian pula untuk titik 2 i=2,j=1 didapatkan:
t Q
C C
C C
C
m m
m m
m
Δ +
+ +
+ +
=
+ 1
, 2
1 ,
1 2
2 ,
2 1
1 ,
3 1
1 ,
2 1
1 ,
2
α β
α γ
Dan seterusnya akan didapatkan 40x40 buah persamaan linier yang dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks yang dihitung secara simultan
seperti di bawah ini:
Formatted: English U.S. Formatted: Swedish Sweden
Formatted: Tab stops: Not at 7,62 cm
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
=
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
+
n m
n
b b
b b
C C
C C
M M
M M
M M
M M
M M
M M
O O
O O
O O
O O
O O
O O
O K
3 2
1 1
3 2
1
2 2
1 2
2 1
2 2
2 1
1 1
2 1
1 2
1 1
2 1
1
γ α
β α
γ α
β α
γ α
β β
β β
α γ
α α
γ α
β α
γ α
β α
γ
Gambar 4. Matrik penta-diagonal Dimana matriks [A] adalah matriks koefisien dan matriks [C] adalah
konsentrasi pada titik i,j pada langkah waktu m+1. Dalam hal ini matriks A disebut juga dengan matriks sparse karena sebagian besar anggotanya
bernilai 0. Hanya komponen pada 5 buah diagonalnya yang tidak bernilai nol disebut juga dengan matriks penta-diagonal. Pada kasus-kasus tertentu
persamaan di atas dapat dicarikan solusinya secara simultan dengan menghitung matriks [A]
-1
dan mengalikannya dengan matriks b. Stabil atau tidaknya solusi seperti di atas bergantung pada konstanta Peclet Pe dan
Courant Cr. Solusi umumnya bersifat stabil bila nilai-nilai Pe2 dan Cr1 [Richard and Hong,1999] :
2 hv
Pe D
= ≤
dan
1 v t
Cr h
Δ =
≤ Terlihat dari konstanta Peclet bahwa untuk v jauh lebih besar dari D kondisi
dominan adveksi diperlukan lebar grid h yang kecil. Sementara dari konstanta Courant , untuk h kecil dan v besar diperlukan selang waktu iterasi
yang kecil. Sebagai akibatnya, pada kasus kecepatan angin besar, maka untuk mencapai solusi yang stabil seringkali diperlukan langkah waktu yang
sangat kecil atau lebar grid yang sangat kecil pula. Dalam komputasi, hal tersebut mengakibatkan waktu komputasi yang lama dan jumlah memori
komputer yang diperlukan menjadi sangat besar. Hal ini disebabkan karena penggunaan pendekatan beda-hingga yang berbeda untuk diferensial orde-1
beda maju dan orde-2 beda-tengah dengan tingkat kesalahan yang berbeda dengan orde O h
2
dan O h
3
.
Formatted: Finnish
Field Code Changed Formatted: Finnish
Field Code Changed Formatted: Finnish
Formatted: Tab stops: Not at 7,62 cm
2.6. Metoda Euler-Lagrange
