Deret geometri tak berhingga ini akan konvergen untuk −1 1.
Rumus deret geometri tak berhingga di atas dapat digunakan untuk menunjukkan apabila terdapat fungsi transfer yang dinyatakan dalam
bentuk polinomial berderajat tak hingga banyak, dapat diubah menjadi perbandingan dari dan
1 − . Tentu saja bentuk perbandingan ini lebih
sederhana dibandingkan dengan bentuk polinomial berderajat tak hingga.
L. Distribusi Chi Kuadrat
Distribusi Chi Kuadrat digunakan dalam pembahasan uji diagnosa model fungsi transfer pada Bab III.
Definisi 2.13
Variabel random dikatakan berdistribusi Chi Kuadrat jika
mempunyai fungsi densitas seperti berikut: =
1 Γ
� 2
2
� 2
� 2
−1 −
2
2-52 untuk
0 dan � adalah derajat bebas dan Γ adalah fungsi Gamma.
Distribusi ini dinotasikan dengan ~
�
2
�. Distribusi ini merupakan bentuk khusus dari distribusi gamma
dengan mengambil =
� 2
dan = 2. Jika variabel random berdistribusi
chi kuadrat maka rata-ratanya adalah = � dan variansnya adalah
Var = 2�. Distribusi ini digunakan untuk menguji variabel random
yang berbentuk kuadrat.
M. Metode Levenberg-Marquardt
Metode Levenberg-Marquardt merupakan metode yang akan digunakan dalam pembahasan mengenai pendugaan parameter model
fungsi transfer pada Bab III. Metode Levenberg-Marquardt merupakan salah satu metode iteratif yang digunakan untuk menyelesaikan masalah
kuadrat terkecil nonlinear. Tujuan yang ingin dicapai dalam masalah kuadrat terkecil nonlinear adalah menentukan solusi bagi
� yang
dinotasikan dengan �
∗
yang meminimumkan persamaan berikut: � = �
2 =1
= � �
2-53 Langkah awal yang harus dilakukan dalam metode Levenberg-
Marquardt adalah menentukan titik awal. Misalkan ditentukan titik awal � = � . Setelah menentukan titik awal, langkah selanjutnya adalah
menghitung
� dan . Untuk menghitung � digunakan rumus sebagai
berikut: � = � �
2-54 sedangkan untuk menghitung digunakan rumus sebagai berikut:
= � �
2-55
dengan vektor =
1
,
… , , dan � adalah matriks Jacobian, yakni:
� = �
� � ,
1 , 1
Setelah
� dan dihitung, langkah selanjutnya adalah menyelesaikan
persamaan berikut: � + = −
2-56
merupakan parameter damping dengan 0 untuk menjamin bahwa
adalah arah turun descent direction dan adalah matriks identitas. Persamaan 2-56 di atas diselesaikan dengan tujuan untuk menentukan .
Apabila sudah ditentukan, maka dapat dihitung
�
baru
, yaitu: �
baru
= � +
2-57 Langkah selanjutnya adalah dengan menghitung
� . Dalam prakteknya
� adalah salah satu contoh jumlah kuadrat galat. Artinya, tujuan metode Levenberg-Marquardt adalah menemukan solusi
�
sedemikian sehingga jumlah kuadrat galat menjadi minimal. Untuk mencapai tujuan tersebut, maka ditentukan nilai
� suatu bilangan positif yang digunakan sebagai kriteria penghentian iterasi. Jika jumlah kuadrat
galat lebih kecil dari
�, maka iterasi dihentikan nilai � yang terakhir
merupakan solusi, yaitu �
∗
yang meminimumkan jumlah kuadrat galat.
Jika jumlah kuadrat galat lebih besar dari �, maka iterasi akan berulang
dengan � = �
baru
. Kriteria penghentian lain yang dapat digunakan adalah jika perubahan dalam
� kecil, yakni: �
baru
− � � � + � 2-58
Berikut ini akan diberikan contoh penggunaan metode Levenberg- Marquardt untuk menyelesaikan masalah kuadrat terkecil nonlinear.
Apabila diberikan fungsi sebagai berikut: ; �
, �
1
= � 1
− exp −�
1
2-59 dan diberikan data seperti pada tabel berikut:
Tabel 2.2 Contoh Data
0,25 0,28
0,75 0,57
1,25 0,68
1,75 0,74
2,25 0,79
maka nilai �
dan �
1
dapat ditentukan menggunakan metode Levenberg- Marquardt.
Pada kasus di atas, tujuan dari metode Levenberg-Marquardt adalah untuk menemukan nilai dari
� dan
�
1
yang meminimumkan jumlah kuadrat galat dari fungsi pada persamaan 2-59. Nilai dari
� dan
�
1
selanjutnya dinyatakan sebagai vektor �. Seperti yang telah dijelaskan
sebelumnya, langkah awal yang harus dilakukan adalah dengan menentukan titik awal. Sebagai contoh, titik awal untuk kasus ini dipilih
sebagai berikut: � = � = �
�
1
= 1
1
Fungsi pada persamaan 2-59 akan dibawa ke dalam bentuk regresi nonlinear, yaitu sebagai berikut:
= , � +
dengan jumlah kuadrat galat
�� adalah:
� � = �
2 5
=1
= − , �
2 5
=1
, � = ; � ,
�
1
= � 1
− exp −�
1
2-60
Turunan-turunan parsial dari
� terhadap � adalah sebagai berikut:
� � ��
= exp −�
1
− 1 2-61
� � ��
1
= −�
exp −�
1
2-62 Persamaan 2-61 dan 2-62 akan digunakan untuk mencari elemen-
elemen pada matriks Jacobian sebagai berikut:
� = exp
−�
1 1
− 1 −�
0 1
exp −�
1 1
exp −�
1 2
− 1 −�
2
exp −�
1 2
exp −�
1 3
− 1 exp
−�
1 4
− 1 exp
−�
1 5
− 1 −�
3
exp −�
1 3
−�
4
exp −�
1 4
−�
5
exp −�
1 5
Dengan mensubstitusikan titik awal yang telah ditetapkan sebelumnya dan nilai
pada tabel, maka menghasilkan matriks Jacobian sebagai berikut:
� = −0,2212 −0,1947
−0,5276 −0,3543 −0,7135
−0,8262 −0,8946
−0,3581 −0,3041
−0,2371 2-63
Selanjutnya akan dihitung � � sebagai berikut:
, � = �
1 − exp −�
1
� 1
− exp −�
1
� 1
− exp −�
1
� 1
− exp −�
1
� 1
− exp −�
1
= 0,2212
0,5276 0,7153
0,8264 0,8946
� � = − , � = 0,28
− 0,2212 0,57
− 0,5276 0,68
− 0,7153 0,74
− 0,8264 0,79
− 0,8946 =
0,0588 0,0424
−0,0335 −0,0862
−0,1046 2-64
Langkah berikutnya adalah menghitung � dengan mensubstitusikan
persamaan 2-63 ke dalam persamaan 2-54, dan hasilnya adalah sebagai berikut:
� = � � = 2,3193
0,9489 0,9489
0,4404 Menggunakan persamaan 2-63 dan 2-64 maka dapat dihitung :
= � � � =
0,1533 0,0365
Setelah mendapatkan
� dan , maka langkah selanjutnya adalah
menyelesaikan persamaan
� + = − untuk mendapatkan .
Penyelesaian dari persamaan � + = − adalah:
= � +
−1
−
Nilai yang
dipilih adalah
= 0,00001 0 dan
dengan mensubstitusikan nilai
� dan yang telah diperoleh sebelumnya, maka
akan didapat: =
− 0,2715
0,5019 sehingga untuk menghitung nilai
�
baru
adalah seperti berikut:
�
baru
= � + =
0,7285 1,5019
Pada setiap iterasi akan dihitung jumlah kuadrat galatnya untuk dibandingkan dengan nilai
� sebagai kriteria penghentian iterasi. Pada iterasi ini penghitungan jumlah kuadrat galat adalah seperti berikut:
� = − , �
2 5
=1
= 0,0588
2
+ 0,0424
2
+ −0,0335
2
+ −0,0862
2
+ −0,1046
2
= 0,024751
Dengan cara yang sama dapat diperoleh iterasi berikutnya sehingga didapat iterasi yang menghasilkan jumlah kuadrat yang paling minimum.
Pada kasus ini dipilih kriteria penghentian iterasi, yaitu � = 0,001. Solusi
dari kasus ini ditampilkan dalam tabel berikut ini:
Tabel 2.3 Iterasi Contoh Penerapan Levenberg-Marquardt
Iterasi �
�
1
Galat 1
1 0,024751
1 0,7285
1,5019 0,024255
2 0,7910
1,6776 0,000663
3 0,7919
1,6775 0,000662
Dari tabel di atas dapat diambil kesimpulan bahwa solusi dari kasus ini didapatkan pada iterasi ketiga dengan
� = 0,7919 dan
�
1
= 1,6775. Dengan mensubstitusikan solusi yang diperoleh ke persamaan 2-59,
maka diperoleh persamaan sebagai berikut: = 0,79191 − exp −1,6775
2-65 Berikut diberikan grafik yang menggambarkan scatter plot dari data
pada tabel 2.2 beserta persamaan 2-65 yang telah diperoleh:
Gambar 2.13 Scatter Plot Data dan Persamaan Regresinya
Dari grafik di atas tampak bahwa persamaan 2-65 dapat menjelaskan data yang ada dengan cukup baik. Artinya, solusi yang ditemukan untuk
menduga parameter pada persamaan 2-65 adalah solusi yang baik.
2.5 2.0
1.5 1.0
0.5 0.0
0.8 0.7
0.6 0.5
0.4 0.3
0.2
Xt Y
t
Scatter Plot Data dan Persamaan Regresinya
56
BAB III
MODEL FUNGSI TRANSFER
A. Pengantar Model Fungsi Transfer
