Tahapan Pembentukan Model Fungsi Transfer

1 Jika persamaan 2.10 telah didefenisikan dan seluruh parameter telah diduga, maka selanjutnya ditentukan model peramalannya. Persamaan 2.10 dikalikan dengan δ B dan φB , akan menjadi : δ B φ B y t = φB ω B x t −b + δ B θ Ba t 2.11 Sebagai contoh, untuk model yang sederhana 1,1,b 1,1 adalah : y t = ω − ω1B 1 − δ 1 B x t −b + 1 − θ 1 B a 1 − φ 1 B 1 − δ 1 B 1 − φ 1 B y t = 1 − φ 1 B ω − ω1B x t −b + 1 − δ 1 B 1 − θ 1 B a 1 y t = δ 1 + φ 1 y t −1 − δ 1 φ 1 y t −2 + ω x t −b − ω φ 1 + ω 1 x t −b −1 + φ 1 + ω 1 x t −b −2 + a 1 − δ 1 + θ 1 a t −1 + δ 1 θ 1 a t − 2 2.12 Dengan mengetahui nilai parameter dan nilai y, x dan a dapat dihitung nilai y pada periode yang akan datang.

2.12 Tahapan Pembentukan Model Fungsi Transfer

2.12.1 Mempersiapkan Deret Input dan Output

Tahap ini mengidentifikasi apakah data mentah input dan output sudah stasioner dalam rataan ataupun ragam. Jika belum stasioner perlu dilakukan pembedaan atau transformasi untuk menghilangkan ketidak stasioneran. Disamping itu deret input atau output perlu dihilangkan pengaruh musiman. Hal ini bukan merupakan syarat mutlak, akan tetapi akan mempengaruhi nilai-nilai r,s.b yang dihasilkan. Universitas Sumatera Utara Universitas Sumatera Utara x t

2.12.1.1 Pemutihan Deret Input x

t Tahap pemutihan deret input dimaksudkan untuk menghilangkan pola yang diketahui agar yang tersisa hanya merupakan “white noise”. Sebagai contoh, jika deret input dapat dimodelkan dengan ARIMA p x ,0, q x maka deret input dapat didefenisikan sebagai : φ x B x t = θ x B α t 2.13 Dengan φ x B adalah operator autoregresif, θ x B adalah operator rataan bergerak dan α t adalah kesalahan acak. Persamaan 2.13 dapat diubah menjadi α = φ x B y t θ B t 2.14

2.12.1.2 Pemutihan Deret Output y

t Fungsi transfer yang dimaksud diatas adalah memetakan x t ke dalam y t . Sehingga apabila diterapkan suatu transformasi pemutihan terhadap x t maka terhadap y t harus diterapkan transformasi yang sama agar dapat mempertahankan integritas hubungan fungsional. Deret y t yang diputihkan akan menjadi β t dengan persamaan berikut β t = φ x B y θ x B 2.15 Universitas Sumatera Utara

2.12.1.3 Perhitungan Korelasi Silang dan Korelasi Diri

Dalam pemodelan fungsi transfer, korelasi diri mempunyai peranan yang kedua setelah korelasi silang. Korelasi silang digunakan untuk mengetahui hubungan dua deret waktu x dan y atau dalam bentuk deret waktu yang diputihkan α dan β yang salah satu deret ditambahkan lag terhadap deret lainnya. Korelasi silang antara x dan y diduga dengan rumus r sy k = C sy k S x S y 2.16 Dengan : r sy k = korelasi silang Antara deret x dan y pada lag ke k C sy k = covarian antara x dan y pada lag ke k S x = standard deviasi deret x S y = standard deviasi deret y k = 0,1,2,3,… Untuk menguji tingkat kepercayaan 95 dari nilai korelasi silang diatas. Barlett melakukan pendekatan perhitungan kesalahan baku dengan rumus SEr xy 1 k = n − k 2 2.17 Atau se rk = 1 Dengan : n − k n = Jumlah pengamatan k = Kelambatan lag Universitas Sumatera Utara t t t Untuk perhitungan korelasi diri dapat dilihat dari persamaan 2.3 dan uji Box- Pierce Portmanteau untuk sekumpulan nilai r k didasarkan ada nilai statistik Q yang menyebar mengikuti sebaran khi-kuadrat dengan derajat bebasm-p-q m Q = n ∑ r 2 2.18 k =1 Dengan : m = Lag maksimum n = N-d N = Jumlah pengamatan asli r k = Autokorelasi untuk lag ke-k P = Nilai dari parameter Autoregresif q = Nilai Dari Parameter Moving Average MA

2.12.1.4 Pendugaan Langsung Bobot Respons Impuls

Dari Persamaan 2.9 dengan mengasumsikan b = 0 maka model transfer dapat ditulis y t = ν B x t + n t Bila x t Ditransformasikan dengan dan dimasukkan kepersamaan diatas secara keseluruhan maka akan diperoleh φ x B y θ x B = ν B φ x B x θ x B + φ x B n θ x B 2.19 Atau β t = ν Bα t + e t 2.20 Universitas Sumatera Utara k 2 2 Dengan e t adalah deret gangguan ditransformasikan dan diperkirakan tidak berkorelasi dengan α t . Jika kedua sisi persamaan 2.20 dikalikan α t −k dan diambil nilai ekspetasinya, maka diperoleh : E [ α t − k B 1 ] = ν E [ α t −k α t ] + ν 1 E [ α t −k α t −1 ] + ... + E [ α t − k e t ] C αβ k = ν k C αα t −k + 0 2.21 α t dan e t diasumsikan bebas Dengan menyusun kembali persamaan 2.21 maka diperoleh : C αβ k r αβ k S β ν = = 2.22 S α S α

2.12.1.5 Penetapan Parameter r,s,b

Parameter r menunjukkan derajat fungsi δ B . s menunjukkan derajat fungsi ω B , dan b menunjukkan keterlambatan yang dicatat pada subskrip X t-b pada persamaan 2.10. Perhatikan persamaan 2.8,2.9 dan penetapan ν B x t = ω B δ B x t −b 2.23 Apabila pernyataan ν B , ω B , δ B diperluas dan koefisien-koefisiennya dibandingkan maka didapatkan hubungan sebagai berikut : Vj = 0 jb Vj = δ 1 ν j −1 + ... + δ r ν j −r + ω j=b Vj = δ 1 ν j −1 + ... + δ r ν j − r - ω j −b j=b + 1…b + s Vj = δ 1 ν j −1 + ... + δ r ν j −r jb + s 2.24 Universitas Sumatera Utara Secara Intuitif, nilai b menyatakan bahwa y t tidak dipengaruhi oleh nilai x t sampai periode t+b atau y t = θ x t + θx t −1 + θx t −2 + ... + ω x t −b s menyatakan untuk beberapa lama deret output deret y secara terus menerus dipebgaruhi oleh nilai-nilai baru deret input x atau y dipengaruhi oleh x t −b, x t −b−1 , … , x t −b− s dan r menyatakan bahwa y t berkaitan dengan nilai-nilai sebelumnya sebagai berikut : y dipengaruhi oleh y t −1, y t −2 , y t −3 ,…, y t −r Dalam menentukan parameter r,s,b dapat digunakan pedoman berikut : a. Sampai lag waktu ke b, korelasi silang tidak berbeda dari nol secara signifikan b. Untuk s lag waktu selanjutnya, korelasi tidak akan memperlihatkan pola yang jelas c. Untuk r lag waktu selanjutnya, korelasi silang akan memperlihatkan suatu pola yang jelas

2.12.1.6 Penaksiran Awal Deret Gangguan n

t Perhitungan nilai taksiran awal deret gangguan n t menggunakan rumus berikut : n t = y t − ν x t − ν 1 x t −1 − ν 2 x t −2 − ... − ν g x t − g 2.25 dengan g didapat dari hasil lag pada korelasi silang Universitas Sumatera Utara 1 2 2 2 t

2.12.1.7 Penetapan p

n ,q n untuk Model ARIMA p n ,q n dari Deret Gangguan n t Tahap ini nilai-nilai n t dianalisis dengan cara ARIMA biasa untuk menetukan apakah terdapat model ARIMA p n , 0 , q n . Untuk menentukan model ARIMA ini digunakan identifikasi fungsi autokorelasi dan korelasi parsial. Dengan cara ini fungsi φ n Bn 1 = θ n Ba t 2.26

2.12.2 Penaksiran Parameter – Parameter Model

2.12.2.1 Pendugaan Awal Parameter Model

Pada tahap ini ditentukan model fungsi transfer secara tentative untuk menaksir nilai awal parameter-parameter ω , ω 1 ,…, ω s , δ 1 , δ 2 ,…, δ r , φ 1 , φ 2 ,…, φ pn dan θ 1 , θ 2 , …, θ qn . Untuk mendapatkan nilai parameter-parameter tersebut digunakan algoritma marquadt dengan iterasi. Misalkan untuk nilai r,s,b = 2,2,2 dan deret gangguan mempunyai model ARIMA 2,0,1 model tentative yang digunakan adalah y = ω − ω 1 B − ω 2 B t 1 − δ B − δ B 2 x t −2 + 1 − θ 1 B a 1 − φ 1 B − φ 2 B 2.27 Dari model diatas, tahap selanjutnya adalah menaksir nilai awal parameter – parameter ω , ω 1 , ω 2 , δ 1 , δ 2 , φ 1 dan φ 2 dengan memperhatikan hubungan pada persamaan 2.24 dan persamaan Yule Walker. Universitas Sumatera Utara

2.12.2.2 Penaksiran Akhir Parameter Model

Dengan menggunakaan algoritma marquadt pada setiap iterasi nilai parameter- parameter selalu diperbarui dan dihitung dengan taksiran a t . untuk memilih nilai parameter terbaik, dilihat nilai jumlah kuadrat sisa JKS sampai mendekati nilai minimum.

2.12.3 Pemeriksaan Diagnostik Model

Pemeriksaan ini dilakukan dengan mempelajari nilai sisa akhir a t dengan deret input yang disesuaikan α t . Jika nilai sisa tidak mempunyai pola tertentu, maka model yang didapatkan sudah bersifat acak. Uji Box-Pierce untuk deret stasioner ARIMA p, d, q, rumusnya : m X 2 df = n ∑ r 2 k k −1 2.28 Dengan : n = Jumlah pengamatan m = Lag terbesar yang diperhatikan rk = Autokorelasi pada lag ke- k df = derajat bebas m-p-q sedangkan untuk nilai sisa α t perhitungannya menjadi m X 2 m − pn −qn = n − 1 − r − s − b ∑ r 2 k −1 Universitas Sumatera Utara dengan r, s , b, p n dan q n merupakan parameter fungsi transfer

2.12.4 Peramalan dengan Model Transfer

Tujuan peramalan adalah untuk menduga nilai deret waktu untuk masa yang akan dating dengan penyimpangan yang sekecil mungkin. Jika model yang ditetapkan menunjukkan residual yang acakan, maka model itu dapat digunakan untuk maksud peramalan. Model yang digunakan untuk contoh model 1,1,b1,1 adalah : y t = δ 1 + φ 1 y t −1 − δ 1 φ 1 y t −2 + ω x t −b − ω φ 1 + ω 1 x t −b −1 + φ 1 + ω 1 x t −b −2 Universitas Sumatera Utara BAB 3 PEMBAHASAN

3.1 Studi Kasus