Misal : -5 + 8 = 8 + -5 4.Ada elemen netral yaitu 0, sedemikian sehingga untuk setiap a B berlaku a + 0
=
a = 0 + a Misal : -5 + 0 = -5 = 0 + -5 5.Ada invers :
Untuk setiap a B ada invers tambah yaitu –a sedemikian
sehingga
a + -a = 0 Misal : 7 + -7 = 0 = -7 + 7
Operasi perkalian pada himpunan bilangan bulat memiliki sifat-sifat seperti
operasi penjumlahan bilangan asli. Sanyoto, 1978:42. Dari uraian di atas dapat di ambil kesimpulan bahwa bilangan terdiri dari,
bilangan kardinal, asli, cacah, bulat, rasional, irrasional, real dan kompleks, dan operasi hitung yang fundamental dalam aljabar adalah penjumlahan, pengurangan,
perkalian dan pembagian. Operasi penjumlahan bilangan bulat memiliki sifat : tertutup, asosiatif, komutatif, ada elemen netral dan ada invers.
F. Garis Bilangan dan Model Wayang
Garis Bilangan adalah suatu garis yang menggambarkan bilangan- bilangan nyata real, dengan ketentuan-ketentuan sebagai berikut
16
1 Garis bilangan itu biasanya digambarkan mendatar
2 Ditetapkan dulu suatu titik asal 0.
3 Dengan mengambil satuan panjang tertentu, maka ke arah kanan
disebut arah positip jadi, semakin ke kanan bilangan yang digambarkan semakin besar, sedang ke arah kiri disebut arah negatip semakin ke kiri
bilangan yang diwakilinya semakin kecil. 4
Setiap titik dari garis bilangan itu mewakili tepat satu bilangan real, dan sebaliknya setiap bilangan real diwakili oleh tepat satu titik pada garis
bilangan itu. Alat peraga yang digunakan dalam pembelajaran mengenai garis bilangan
ini berhubungan dengan Konsep kekekalan panjang. Spesifikasi alat peraga garis
bilangan adalah alat peraga ini terdiri dari pita berskala dan model yang pendekatannya berhubungan dengan konsep kekekalan panjang, dan terbuat dari
kayu tiap titik angka dibuat lubang kecil. Model yang digunakan adalah wayang atau benda lain, yang terpenting
harus mempunyai sisi muka dan sisi belakang. Proses operasinya berpegang pada prinsip bahwa, panjang keseluruhan sama dengan jumlah panjang masing-masing
bagian-bagiannya. Ilustrasi pernyataan ini dapat dilihat pada gambar berikut :
Deskripsi a + b : a
b
a + b 17
Deskripsi a + -b :
Deskripsi a – b : a
-b
a + -b
a -b
a -b
Deskripsi a - -b : a
-b
a – -b
Prinsip kerja atau aturan penggunaan alat peraga pita garis bilangan dan model
wayang adalah sebagai berikut 1. Posisi awal benda yang menjadi model harus berada pada skala nol.
2. Jika bilangan pertama bertanda positif, maka bagian muka model menghadap
ke bilangan positif dan kemudian langkahkan ke skala yang sesuai dengan besarnya bilangan yang pertama.
18
Jika bilangan pertama bertanda negatif, maka bagian muka model
menghadap ke bilangan negatif dan kemudian langkahkan ke skala yang sesuai dengan besarnya bilangan pertama.
?
3. Jika model dilangkahkan maju, dalam prinsip operasi hitung, istilah maju
diartikan sebagai “tambah +”.
+
Jika model dilangkahkan mundur, dalam prinsip operasi hitung, istilah
mundur diartikan sebagai “kurang -”
-
19
4. Gerakan maju dan mundurnya model tergantung dari bilangan penambah atau
pengurangnya.
Gerakan maju :
Jika bilangan penambahnya merupakan bilangan positif, maka model bergerak maju ke arah bilangan positif, dan sebaliknya jika bilangan
penambahnya merupakan bilangan negatif, maka model bergerak maju ke arah bilangan negatif.
Ini dapat dilihat gambar dibawah ini yaitu : gambar I.
+b
+ -b
gb.I
Gerakan mundur :
Jika bilangan pengurangnya merupakan bilangan positif, maka model bergerak mundur dengan sisi muka menghadap ke bilangan positif, dan
sebaliknya jika bilangan pengurangnya merupakan bilangan negatif, maka model bergerak mundur dengan sisi muka menghadap ke bilangan negatif
dapat dilihat pada gambar II. 20
-b
--b
gb.II Catatan :
- Gerakan maju digambarkan sebagai : awal
akhir
- Gerakan mundur digambarkan sebagai : awal
akhir
Booklet Pembelajaran SD, Elang Krisnadi, FKIP, UT, 2007, 1.4 21
Kunci
: + Positif
: arah wayang yai tu bergerak maju - Negatif
: arah wayang yai tu bergerak mundur + Jumlah : arah posisi way ang yaitu tetap
- Kurang : arah posisi way ang yaitu be rbalik arah Posisi hadap wayang tidak berpe ngaruh ter hadap hasil operasi pen
jumlahan maupun pengurangan pada bilangan bulat
Contoh
operasi penj umlahan bilangan bulat
: 1 +
3 5 -1 0 -9 -8 -7 - 6 -5 -4 -3 -2 -1 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 + 3 = n, n = 8 Keteranga n :
1. Posisi wayan g pertama-t ama pada s kala angka nol dan ara h
wayang m enghadap kekanan. 2.
Suku pertama pada opera si pejumla han bilangan bulat pada gambar di atas adalah angka lima maka arah gerak wayang yaitu maju lim a langkah
kedepan. 3.
Ga mbar di ata s adalah op erasi penjumlahan maka hadap wayang yait u tetap.
22
4. Angka yang ditambahkan pada oparasi penjumlahan bilangan bulat di atas
adalah positif tiga maka arah wayang bergerak maju tiga langkah kedepan. 5.
Jadi hasil operasi penjumlahan bilangan bulat di atas adalah delapan.
2
+
-4 7
-10 -9 -8 -7 -6 - 5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
7 + -4 = n, n = 3 Keterangan langkah-langkah operasi penjumlahan menggunakan wayang pada
gambar diatas adalah sebagai berikut :
1. Posisi wayang pertama-tama pada skala angka nol dan hadap wayang pada
posisi pertama atau normal adalah menghadap kekanan. 2.
Suku pertama pada operasi penjumlahan di atas adalah positif tujuh maka wayang bergerak maju tujuh langkah kedepan.
3. Dan operasi pada gambar di atas adalah penjumlahan maka hadap wayang
tetap yaitu pada posisi hadap kekanan. 4.
Angka yang ditambahkan yaitu negatif empat maka arah gerak wayang yaitu mundur empat langkah kebelakang.
5. Jadi hasil penjumlahan penjumlahan pada operasi penjumlahan bilangan
bulat di atas adalah tiga. 23
Contoh
operasi pengurangan bilangan bulat : 1
-
4 -5
-1 0 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-5 – 4 = n, n = -9
Keteranga n :
1. Posisi wayan g pertama-tama pada s kala angka nol dan
arah wa yang meng hadap keka nan. 2.
Suku pertama pada opera si pengura ngan bilangan bulat pada gambar di atas adalah negatif lima m aka arah gerak
wayang yaitu mundur 5 langkah kebelakang 3.
Ga mbar di ata s adalah op erasi peng urangan maka hadap wa yang yaitu berbalik arah
4. A ngka yang mengurangi pada oparasi penguran ngan
bilangan bulat di atas adalah positif 4 maka arah wayang bergerak maju em pat langkah kedepan.
5. Ja di hasil operasi pengurangan bilan gan bulat d i atas
adalah negatif sembilan. 24
2
-
-9 -7
-1 0 -9 -8 -7 - 6 -5 -4 -3 - -1 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-7 – -9 = n, n = 2
Keteranga n :
1. Posisi wayan g pertama-tama pada s kala angka nol dan
arah wa yang meng hadap keka nan. 2.
Suku pertama pada opera si pengura ngan bilangan bulat pada gambar di atas adalah negatif tujuh maka arah gerak
waya ng yaitu mundur tujuh langk ah kebelakang. 3.
Ga mbar di ata s adalah op erasi peng urangan maka hadap wa yang yaitu berbalik arah
4. A ngka yang mengurangi pada oparasi penguran ngan
bilangan bulat di atas adalah negatif sembilan maka arah wayang bergerak mundur sembil an langkah kebelakang.
5. Ja di hasil operasi pengurangan bilan gan bulat d i atas
adalah dua. 25
G. Kerangka Berpikir
