Rumus Penjumlahan dan perkalian Trigonometri 1.

Uji Kompetensi – 06 1. Jika sin B – 2 cos B = 0. Tentukan cos 2B 2. Jika tan 2 β = t, tunjukkan bahwa tan β = t t 2 1 1 + + − 3. Jika diketahui cos 2 λ = 1 1 + − p p , tentukan nilai tan λ

C. Rumus Penjumlahan dan perkalian Trigonometri 1.

Mengubah Bentuk Perkalian Menjadi Bentuk Penjumlahan Dengan menggunakan rumus trigonometri untuk jumlah dua sudut, kita dapat menurunkan rumus Trigonometri perkalian sinus dan cosinus sin A + B = sin A cos B + cos A sin B sin A – B = sin A cos B – cos A sin B + sin A + B + sin A – B = 2 sin A cos B Dengan cara yang sama dapat dibuktikan rumus yang lain sebagai berikut: Coba buktikan dengan mendiskusikan bersama temanmu Contoh 10: Sederhanakanlah: sin 65 sin 25 Jawab: sin 65 sin 25 = 2 1 − –2 sin 65 sin 25 = 2 1 − cos 65 +25 – cos 65 –25 = 2 1 − cos 90 – cos 40 = 2 1 − 0 – cos 40 2 cos A sin B = Sin A + B – sin A – B 2 cos A cos B = cos A + B + cos A – B –2 sin A sin B = cos A + B – cos A – B 2 sin A cos B = sin A + B + sin A – B Siapa Bisa? Tentukan nilai 4 sin 140 sin 100 sin 60 sin 20 Info Rumus Trigonometri jumlah dan kali sering digunakan dalam integral kelas XII sehingga diperoleh bentuk baru yang lebih mudah diselesaikan ∫ 2 sin 5x cos x dx = ∫ sin 6x + sin 4x dx = 2 1 cos 40 . Jadi sin 65 sin 25 = 2 1 cos 40 . Uji Kompetensi – 07 1. Nyatakan bentuk-bentuk berikut dalam bentuk jumlah atau selisih dan jika mungkin sederhanakanlah: a. 4 sin 50 sin 30 c. 8 sin 55 sin 25 b. 3 cos 40 sin 70 d. cos x + 45 cos x – 45 2. Nyatakan bentuk-bentuk berikut dalam bentuk jumlah atau selisih dan jika mungkin sederhanakanlah: a. cos π 4 1 + A cos π 4 1 – A c. 2 sin π 2 3 + θ sin π 2 3 – θ b. 3 cos 2y + π 6 7 sin 2y – π 6 7 d. 5 cos x + 60 cos x – 60 Uji Kompetensi – 08 1. Nyatakan bentuk-bentuk berikut dalam bentuk jumlah atau selisih dan jika mungkin sederhanakanlah: a. 3 sin 105 sin 15 d. cos x + 4y cos x – 4y b. 4 cos 40 sin 50 e. sin 97,5 sin 127,5 c. 5 sin p + 105 cos p – 105 f. sin π 12 1 sin π 12 5 2. Sederhanakan: a. 2 sin 50 cos 40 – 2 sin 95 sin 85 b. 2 cos 80 sin 10 + 2 sin 40 sin20 c. sin 70 sin 50 sin 30 sin 10 d. sin 20 sin 40 sin 60 sin 80 3. Buktikan: a. 2 cos 135 + x cos 45 + x = –cos 2x b. 2 sin π 4 3 + A sin 4 1 A + π = cos 2A c. cos 10 cos 50 cos 70 = 8 3 d. cos 20 cos 40 cos 60 cos 80 = 16 1 Uji Kompetensi – 09 1. Diketahui A + B = 3 π dan cos A cos B = 4 3 . Tentukan nilai cos A – B 2. Buktikan: a. sin A + B sin A – B = sin 2 A – sin 2 B b. cos 2 α sin α 3 = 16 1 2 sin α + sin 3α – sin 5α

2. Mengubah Bentuk Penjumlahan Menjadi Bentuk Perkalian

Perhatikan jika 2 sin A cos B = sin A + B + sin A – B , kita mensubtitusi A+B = P dan A – B = Q, serta A+B = P A + B = P A–B = Q A – B = Q + – 2A = P + Q 2B = P – Q A = 2 Q P + B = 2 Q P − Sehingga diperoleh 2 sin 2 Q P + cos 2 Q P − = sin P + sin Q Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan : Coba buktikan dengan mendiskusikan bersama temanmu sin P + sin Q = 2 sin 2 Q P + cos 2 Q P − sin P – sin Q = 2 cos 2 Q P + sin 2 Q P − cos P + cos Q = 2 cos 2 Q P + cos 2 Q P − cos P – cos Q = –2 sin 2 Q P + sin 2 Q P − Contoh 11: Diketahui sin 110 + sin 70 . Nyatakan bentuk tersebut dalam bentuk perkalian jika mungkin sederhanakan Jawab: sin P + sin Q = 2 sin 2 Q P + cos 2 Q P − sin 110 + sin 70 = 2 sin 2 70 110 + cos 2 70 110 − = 2 sin 90 cos 20 = 2. 1. cos 20 = 2 cos 20 Uji Kompetensi – 10 1. Nyatakan bentuk-bentuk berikut dalam bentuk perkalian dan jika mungkin sederhanakanlah a. sin 70 – sin 10 c. cos 100 + cos 20 b. cos 170 – cos 10 d. sin 75 + sin 15 2. Nyatakan bentuk-bentuk berikut dalam bentuk perkalian dan jika mungkin sederhanakanlah a. sin π + B + sin π – B c. cos π 2 3 + x + cos π 2 3 – x b. sin π 4 1 + 3A – sin π 4 1 – 3A d. cos π 4 3 + P – cos π 4 3 – P Uji Kompetensi – 11 1. Nyatakan bentuk-bentuk berikut dalam bentuk perkalian dan sederhanakanlah a. sin 72 – sin 108 d. sin 110 – sin 40 b. cos 54 + cos 75 e. sin A + π 6 1 + sin A – π 6 1 c. cos 54 – cos 36 f. cos 3x – π + cos 3x + π 2. Hitunglah nilai dari tanpa tabel kalkulator: i. cos 130 + cos 110 + cos 10 d. 15 sin 75 sin 15 cos 75 cos − + b. sin 85 – sin 35 – sin 25 e. 10 cos 50 cos 10 sin 50 sin + + Siapa Bisa ? Hitung nilai dari cosec 10 + cosec 50 – cosec 70 c. sin 250 + sin 130 + sin 10 f. 50 cos 30 cos 10 cos 50 sin 30 sin 10 sin + + + + 3. Tunjukkan bahwa sin δ + 45 + sin δ – 45 = 2 sin δ 4. Buktikan: a. a a a a a 3 tan cos 5 cos sin 5 sin = + + c. 2 1 tan 2 1 tan sin sin sin sin B A B A B A B A − + = − + b. tan 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin b a b a b a − = + − d. x x x x x x x 4 tan 6 cos 4 cos 2 cos 6 sin 4 sin 2 sin = + + + + Uji Kompetensi – 12 1. Buktikan: i tan P + tan Q = cos cos sin 2 Q P Q P Q P − + + + ii tan P – tan Q = cos cos sin 2 Q P Q P Q P − + + − 2. Hitunglah nilai dari tanpa tabel kalkulator: i tan 105 + tan 15 ii tan 75 – tan 15 iii 15 tan 225 tan 15 tan 225 tan − + Uji Kompetensi – 13 1. Seorang pilot pesawat tempur TNI AU melakukan pengintaian dengan menggunakan pesawat F 16 Hawk. Pesawat berada pada ketinggian h dari permukaan medan yang datar. Ia melihat parit pertahanan B dengan sudut α terhadap garis mendatar dan tank U dengan sudut β terhadap garis mendatar. Tentukan jarak tank U dengan parit pertahanan B 2. Pada osilator tampak pada gambar samping sebuah gelombang dengan persamaan : y = 5 sin 2x + 5 sin 3 π – 2x Tunjukkan bahwa persamaan tersebut dapat disederhanakan menjadi y = 5 cos 2x 6 π − . PETA KONSEP TRIGNOMETRI Trigonometri Rumus Trigonometri untuk jumlah dan selisih dua sudut cos A + B = cos A cos B – sin A sin B cos A – B = cos A cos B + sin A sin B sin A + B = sin A cos B + cos A sin B sin A – B = sin A cos B – cos A sin B tan A + B = B A B A tan tan 1 tan tan − + tan A – B = B A B A tan tan 1 tan tan + − Rumus trigonometri sudut rangkap dan sudut pertengahan sin 2A = 2 sin A cos A cos 2 A = cos 2 A –sin 2 B = 1 – 2 sin 2 A = 2 cos 2 A – 1 tan 2 A = A A 2 tan 1 tan 2 − sin 2 1 α = 2 cos 1 α − ± cos 2 1 α = 2 cos 1 α + ± tan α α α sin cos 1 2 1 − = = α α cos 1 sin + Rumus Penjumlahan dan perkalian Trigonometri Mengubah Bentuk Perkalian Menjadi Bentuk Penjumlahan 2 sin A cos B = sin A + B + sin A – B 2 cos A sin B = sin A + B – sin A – B 2 cos A cos B = cos A + B + cos A – B –2 sin A sin B = cos A + B – cos A – B Mengubah Bentuk Penjumlahan Menjadi Bentuk Perkalian sin P + sin Q = 2 sin 2 Q P + cos 2 Q P − sin P – sin Q = 2 cos 2 Q P + sin 2 Q P − cos P + cos Q = 2 cos 2 Q P + cos 2 Q P − cos P – cos Q = –2 sin 2 Q P + sin 2 Q P − Uji Kompetensi A. Pilihlah salah satu jawaban yang benar 1. Diketahui cos x = 5 3 dan cos y = 13 12 , dengan x dan y sudut lancip. Nilai tan x + y= …. a. 63 16 c. 15 11 e. 16 63 b. 56 33 d. 45 56 2. Jika 1 + tan A1+tan B = 2, maka nilai tan A+B = …. a. 4 1 c. 1 e. 4 b. 2 1 d. 2 3. Diketahui sin A = 13 5 dan tan B = 3 4 , 90 A180 dan 0 B90 . Nilai cos A+B = …. a. – 65 63 c. – 65 16 e. 65 56 b. – 65 56 d. 65 16 4. Pada gambar di samping, nilai sin ∠ PQR = ….. a. 65 65 2 Q b. 65 65 3 c. 65 65 4 d. 65 65 7 P 3 1 R e. 65 65 8 5. Diketahui cos α = 5 4 , cos β = 25 24 , α dan β lancip. Nilai .... tan tan 1 tan tan = − + β α β α a. 25 3 c. 3 4 e. 3 25 b. 24 7 d. 4 25 2 6. .... 40 tan 20 tan 1 40 tan 20 tan = − + a. 3 3 1 c. 1 e. ~ b. 2 1 3 d. 3 7. cos 75 = …. a. 6 2 2 1 − c. 6 2 4 1 + e. 6 2 2 1 + b. 6 2 4 1 − d. 2 6 4 1 − 8. Jika x dan y masing-masing menyatakan besarnya sudut maka sin 3x – 2y …. a. sin 3x cos 2y –cos 3x sin 2y d. sin 3x sin 2y – cos 3x cos 2y b. sin 3x cos 2y + cos 3x sin 2y e. sin 3x – sin 2y c. sin 3x sin 2y + cos 3x cos 2y 9. Jika cos P = 0,60 dan cos Q = 0,96, P dan Q lancip, maka cos P + Q = …. a. 0,352 c. 0,600 e. 0,800 b. 0,576 d. 0,750 10. Jika sin φ = q p , 0 φ 90 , maka cos 2 φ = …. a. 2 2 2 2 q p q − c. 2 2 2 p p q − e. 2 2 2 2 q q p + b. 2 2 2 2 p q p − d. 2 2 2 2 p p q − 11. Jika tan δ = t, δ berada di kuadran I, maka nilai sin 2δ = …. a. 2 1 2 t t + c. t t 2 1 2 + e. t t + − 1 1 2 b. t t − + 1 1 2 d. 2 1 t t + 12. Jika tan x = 2 1 , 180 x 270 , maka tan 2x = …. a. – 3 4 c. 4 3 e. 3 5 b. – 4 3 d. 3 4 13. .... 70 tan 140 tan 1 70 tan 140 tan = − + a. – 3 c. 3 3 1 e. 3 b. – 3 3 1 d. 1 14. Nilai 2 sin 75 cos 15 = …. a. 2 – 3 c. 1 + 2 e. 2 + 3 b. 1 + 2 1 3 d. 2 + 2 1 3 15. Nilai dari 4 cos 52 2 1 cos 7 2 1 = …. a. 1 – 2 c. 1 + 2 1 2 e. 2 + 2 b. 2 – 2 d. 1 + 2 16. Bentuk jumlah dan selisih dari 2 cos 75 sin 25 adalah …. a. sin 75 – sin 25 c. sin 100 + sin 50 e. cos 100 + sin 50 b. sin 100 – sin 50 d. cos 100 – sin 50 17. cos 80 sin 40 + sin 80 cos 40 = …. a. – 2 1 3 c. 2 1 e. 2 1 3 b. cos 120 d. cos 40 18. Jika cos A+B = 5 2 dan cos A cos B = 4 3 , maka nilai tan A tan B = …. a. 20 7 c. 15 8 e. 5 3 b. 15 7 d. 9 5 19. Diketahui sin x = 5 3 dengan x sudut lancip. Nilai cos 2 1 x = …. a. 5 10 1 c. 9 10 1 e. 10 10 3 b. 7 10 1 d. 10 9 1 20. Diketahui cos 2A = 5 1 dengan A sudut lancip. Nilai tan A = …. a. 6 1 6 c. 2 1 6 e. 3 6 b. 3 1 6 d. 2 6 21. 2 cos 50 cos 40 – 2 sin 95 sin 85 = …. a. –1 c. 1 e. 1 + 2 cos 10 b. –1 + 2 cos 10 d. 2 cos 10 22. .... tan tan sin = − − b a b a a. –cos a cos b c. cos a cos b e. cos a – b b. –sin a sin b d. sin a sin b 23. Bentuk paling sederhana dari x x x x sin 3 sin 5 cos 3 cos − − adalah …. a. –cotan x c. –2 sin 2x e. 2 sin 2x b. –sin 2x d. sin 2x 24. Dalam Δ ABC berlaku sin 2 1 A+B = …. a. –cos 2 1 C c. cos 2 1 C e. sin C b. –sin 2 1 C d. sin 2 1 C 25. Bentuk sederhana dari 2 sin α π + 4 1 sin α π + 4 3 = …. a. cos π c. sin α e. sin 2 α b. cos 2 α d. cos α 26. cos 3p – q – cos 3p + q = …. a. –2 sin 3p sin q c. 2 sin p cos 3q e. 2 sin 3p sin q b. –2 sin 3p cos q d. 2 cos 3p cos q 27. sin 105 – sin 15 = …. a. – 2 1 2 c. 2 1 e. 1 b. – 2 1 d. 2 1 2 28. Nilai dari sin 285 cos 15 = …. a. –2 – 3 c. –1 – 4 1 3 e. 2 1 – 4 1 3 b. –1 – 2 1 3 d. – 2 1 – 4 1 3 29. Nilai dari cos 195 + cos 105 = …. a. – 2 1 6 c. – 4 1 3 e. 2 1 6 b. – 4 1 6 d. 4 1 6 30. Seorang pramuka akan menentukan tinggi nyala api di sebuah puncak tugu dengan cara mengukur sudut lihat dari suatu tempat sejauh p dari kaki tugu. Misalkan sudut lihat itu α dan β seperi dalam gambar, maka tinggi nyala api x = …. a. p β α β α cos cos sin + b. p β α β α sin sin cos − c. p β α β α cos cos sin − d. p β α β α sin sin cos + e. p tan α β tan −

B. Jawablah soal–soal berikut dengan jelas dan benar