Uji Kompetensi – 06
1. Jika sin B – 2 cos B = 0. Tentukan cos 2B
2. Jika tan 2
β = t, tunjukkan bahwa tan β =
t t
2
1 1
+ +
−
3. Jika diketahui cos 2
λ = 1
1 +
− p
p , tentukan nilai tan
λ
C. Rumus Penjumlahan dan perkalian Trigonometri 1.
Mengubah Bentuk Perkalian Menjadi Bentuk Penjumlahan
Dengan menggunakan rumus trigonometri untuk jumlah dua sudut, kita dapat
menurunkan rumus Trigonometri perkalian sinus dan cosinus
sin A + B = sin A cos B + cos A sin B sin A – B = sin A cos B – cos A sin B +
sin A + B + sin A – B = 2 sin A cos B
Dengan cara yang sama dapat dibuktikan rumus yang lain sebagai berikut:
Coba buktikan dengan mendiskusikan bersama temanmu Contoh 10:
Sederhanakanlah: sin 65 sin 25
Jawab: sin 65
sin 25 =
2 1
− –2 sin 65 sin 25
= 2
1 − cos 65
+25 – cos 65
–25 =
2 1
− cos 90 – cos 40
= 2
1 − 0 – cos 40
2 cos A sin B = Sin A + B – sin A – B 2 cos A cos B = cos A + B + cos A – B
–2 sin A sin B = cos A + B – cos A – B
2 sin A cos B = sin A + B + sin A – B
Siapa Bisa?
Tentukan nilai 4 sin 140 sin 100
sin 60 sin 20
Info
Rumus Trigonometri jumlah dan kali sering digunakan dalam integral kelas XII sehingga
diperoleh bentuk baru yang lebih mudah diselesaikan
∫
2 sin 5x cos x dx =
∫
sin 6x + sin 4x dx
= 2
1 cos 40
. Jadi sin 65
sin 25 =
2 1
cos 40 .
Uji Kompetensi – 07
1. Nyatakan bentuk-bentuk berikut dalam bentuk jumlah atau selisih dan jika mungkin
sederhanakanlah: a.
4 sin 50 sin 30
c. 8 sin 55 sin 25
b. 3 cos 40
sin 70 d. cos x + 45
cos x – 45 2.
Nyatakan bentuk-bentuk berikut dalam bentuk jumlah atau selisih dan jika mungkin sederhanakanlah:
a. cos
π 4
1 + A cos
π 4
1 – A
c. 2 sin π
2 3
+ θ sin
π 2
3 –
θ
b. 3 cos 2y +
π 6
7 sin 2y –
π 6
7 d. 5 cos x + 60
cos x – 60
Uji Kompetensi – 08
1. Nyatakan bentuk-bentuk berikut dalam bentuk jumlah atau selisih dan jika mungkin
sederhanakanlah: a.
3 sin 105 sin 15
d. cos x + 4y cos x – 4y
b. 4 cos 40
sin 50 e. sin 97,5
sin 127,5 c.
5 sin p + 105 cos p – 105
f. sin π
12 1
sin π
12 5
2. Sederhanakan:
a. 2 sin 50
cos 40 – 2 sin 95
sin 85 b.
2 cos 80 sin 10
+ 2 sin 40 sin20
c. sin 70
sin 50 sin 30
sin 10 d.
sin 20 sin 40
sin 60 sin 80
3. Buktikan:
a. 2 cos 135 + x
cos 45 + x = –cos 2x
b. 2 sin
π 4
3 + A sin
4 1
A +
π = cos 2A
c. cos 10
cos 50 cos 70
= 8
3
d. cos 20
cos 40 cos 60
cos 80 =
16 1
Uji Kompetensi – 09
1. Diketahui A + B =
3 π
dan cos A cos B = 4
3 . Tentukan nilai cos A – B
2. Buktikan:
a. sin A + B sin A – B = sin
2
A – sin
2
B b.
cos
2
α sin α
3
= 16
1 2 sin
α + sin 3α – sin 5α
2. Mengubah Bentuk Penjumlahan Menjadi Bentuk Perkalian
Perhatikan jika 2 sin A cos B = sin A + B + sin A – B , kita mensubtitusi A+B = P dan A – B = Q, serta
A+B = P A + B = P
A–B = Q A – B = Q
+ – 2A = P + Q
2B = P – Q A =
2 Q
P +
B = 2
Q P
−
Sehingga diperoleh 2 sin
2 Q
P +
cos 2
Q P
− = sin P + sin Q
Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan :
Coba buktikan dengan mendiskusikan bersama temanmu sin P + sin Q = 2 sin
2 Q
P +
cos 2
Q P
−
sin P – sin Q = 2 cos 2
Q P
+ sin
2 Q
P −
cos P + cos Q = 2 cos 2
Q P
+ cos
2 Q
P −
cos P – cos Q = –2 sin 2
Q P
+ sin
2 Q
P −
Contoh 11: Diketahui sin 110
+ sin 70 . Nyatakan bentuk tersebut dalam bentuk perkalian jika
mungkin sederhanakan Jawab:
sin P + sin Q = 2 sin 2
Q P
+ cos
2 Q
P −
sin 110 + sin 70
= 2 sin 2
70 110
+ cos
2 70
110 −
= 2 sin 90 cos 20
= 2. 1. cos 20 = 2 cos 20
Uji Kompetensi – 10
1. Nyatakan bentuk-bentuk berikut dalam bentuk perkalian dan jika mungkin
sederhanakanlah a.
sin 70 – sin 10
c. cos
100 + cos 20
b. cos 170
– cos 10 d. sin 75
+ sin 15 2.
Nyatakan bentuk-bentuk berikut dalam bentuk perkalian dan jika mungkin sederhanakanlah
a. sin
π + B + sin π – B c. cos
π 2
3 + x + cos
π 2
3 – x
b. sin
π 4
1 + 3A – sin
π 4
1 – 3A
d. cos π
4 3
+ P – cos π
4 3
– P
Uji Kompetensi – 11
1. Nyatakan bentuk-bentuk berikut dalam bentuk perkalian dan sederhanakanlah a.
sin 72 – sin 108
d. sin 110 – sin 40
b. cos 54
+ cos 75 e. sin A +
π 6
1 + sin A –
π 6
1
c. cos 54
– cos 36 f. cos 3x –
π + cos 3x + π 2. Hitunglah nilai dari tanpa tabel kalkulator:
i. cos 130
+ cos 110 + cos 10
d. 15
sin 75
sin 15
cos 75
cos −
+
b. sin 85 – sin 35
– sin 25 e.
10 cos
50 cos
10 sin
50 sin
+ +
Siapa Bisa ?
Hitung nilai dari cosec 10
+ cosec 50 – cosec 70
c. sin 250
+ sin 130 + sin 10
f. 50
cos 30
cos 10
cos 50
sin 30
sin 10
sin +
+ +
+
3. Tunjukkan bahwa sin
δ + 45 + sin
δ – 45 =
2
sin δ
4. Buktikan:
a. a
a a
a a
3 tan
cos 5
cos sin
5 sin
= +
+ c.
2 1
tan 2
1 tan
sin sin
sin sin
B A
B A
B A
B A
− +
= −
+
b. tan
2 cos
2 cos
2 sin
2 sin
b a
b a
b a
− =
+ −
d. x
x x
x x
x x
4 tan
6 cos
4 cos
2 cos
6 sin
4 sin
2 sin
= +
+ +
+
Uji Kompetensi – 12
1. Buktikan:
i tan P + tan Q = cos
cos sin
2 Q
P Q
P Q
P −
+ +
+
ii tan P – tan Q = cos
cos sin
2 Q
P Q
P Q
P −
+ +
−
2. Hitunglah nilai dari tanpa tabel kalkulator:
i tan 105 + tan 15
ii tan 75
– tan 15 iii
15 tan
225 tan
15 tan
225 tan
− +
Uji Kompetensi – 13
1. Seorang pilot pesawat tempur TNI AU melakukan
pengintaian dengan menggunakan pesawat F 16 Hawk. Pesawat berada pada ketinggian h dari
permukaan medan yang datar. Ia melihat parit pertahanan B dengan sudut
α terhadap garis mendatar dan tank U dengan sudut
β terhadap garis mendatar. Tentukan jarak tank U dengan parit
pertahanan B
2. Pada osilator tampak pada gambar samping sebuah
gelombang dengan persamaan : y = 5 sin 2x + 5 sin
3 π
– 2x Tunjukkan bahwa persamaan tersebut dapat
disederhanakan menjadi y = 5 cos 2x 6
π − .
PETA KONSEP TRIGNOMETRI
Trigonometri
Rumus Trigonometri untuk jumlah dan selisih dua sudut
cos A + B = cos A cos B – sin A sin B cos A – B = cos A cos B + sin A sin B
sin A + B = sin A cos B + cos A sin B sin A – B = sin A cos B – cos A sin B
tan A + B =
B A
B A
tan tan
1 tan
tan −
+
tan A – B =
B A
B A
tan tan
1 tan
tan +
−
Rumus trigonometri sudut rangkap dan sudut
pertengahan
sin 2A = 2 sin A cos A cos 2 A = cos
2
A –sin
2
B = 1 – 2 sin
2
A = 2 cos
2
A – 1
tan 2 A =
A A
2
tan 1
tan 2
−
sin
2 1
α =
2 cos
1
α
− ±
cos
2 1
α =
2 cos
1
α
+ ±
tan
α α
α
sin cos
1 2
1 −
=
=
α α
cos 1
sin +
Rumus Penjumlahan dan perkalian Trigonometri
Mengubah Bentuk Perkalian Menjadi Bentuk Penjumlahan
2 sin A cos B = sin A + B + sin A – B 2 cos A sin B = sin A + B – sin A – B
2 cos A cos B = cos A + B + cos A – B –2 sin A sin B = cos A + B – cos A – B
Mengubah Bentuk Penjumlahan Menjadi Bentuk Perkalian
sin P + sin Q = 2 sin
2 Q
P +
cos
2 Q
P −
sin P – sin Q = 2 cos
2 Q
P +
sin
2 Q
P −
cos P + cos Q = 2 cos
2 Q
P +
cos
2 Q
P −
cos P – cos Q = –2 sin
2 Q
P +
sin
2 Q
P −
Uji Kompetensi A. Pilihlah salah satu jawaban yang benar
1. Diketahui cos x =
5 3
dan cos y = 13
12 , dengan x dan y sudut lancip. Nilai
tan x + y= …. a.
63 16
c. 15
11 e.
16 63
b. 56
33 d.
45 56
2. Jika 1 + tan A1+tan B = 2, maka nilai tan A+B = ….
a. 4
1 c. 1
e. 4 b.
2 1
d. 2
3. Diketahui sin A =
13 5
dan tan B = 3
4 , 90
A180 dan 0
B90 . Nilai
cos A+B = …. a. –
65 63
c. –
65 16
e. 65
56 b. –
65 56
d. 65
16 4.
Pada gambar di samping, nilai sin ∠ PQR = …..
a. 65
65 2
Q b.
65 65
3 c.
65 65
4 d.
65 65
7 P 3 1 R
e. 65
65 8
5. Diketahui cos
α = 5
4 , cos
β = 25
24 ,
α dan β lancip. Nilai
.... tan
tan 1
tan tan
= −
+ β
α β
α
a. 25
3 c.
3 4
e. 3
25 b.
24 7
d. 4
25 2
6. ....
40 tan
20 tan
1 40
tan 20
tan =
− +
a. 3
3 1
c. 1 e. ~
b. 2
1 3 d.
3 7.
cos 75 = ….
a. 6
2 2
1 −
c. 6
2 4
1 +
e. 6
2 2
1 +
b. 6
2 4
1 −
d. 2
6 4
1 −
8. Jika x dan y masing-masing menyatakan besarnya sudut maka sin 3x – 2y ….
a. sin 3x cos 2y –cos 3x sin 2y
d. sin 3x sin 2y – cos 3x cos 2y b.
sin 3x cos 2y + cos 3x sin 2y e. sin 3x – sin 2y
c. sin 3x sin 2y + cos 3x cos 2y
9. Jika cos P = 0,60 dan cos Q = 0,96, P dan Q lancip, maka cos P + Q = ….
a. 0,352 c. 0,600
e. 0,800 b. 0,576
d. 0,750 10.
Jika sin φ =
q p
, 0 φ 90
, maka cos 2 φ = ….
a.
2 2
2
2 q
p q
− c.
2 2
2
p p
q −
e.
2 2
2
2 q
q p
+
b.
2 2
2
2 p
q p
− d.
2 2
2
2 p
p q
− 11.
Jika tan δ = t, δ berada di kuadran I, maka nilai sin 2δ = ….
a.
2
1 2
t t
+ c.
t t
2 1
2
+ e.
t t
+ −
1 1
2
b. t
t −
+ 1
1
2
d.
2
1 t t
+ 12.
Jika tan x = 2
1 , 180
x 270 , maka tan 2x = ….
a. – 3
4 c.
4 3
e. 3
5 b. –
4 3
d. 3
4
13. ....
70 tan
140 tan
1 70
tan 140
tan =
− +
a. – 3 c. 3
3 1
e. 3
b. – 3
3 1
d. 1
14. Nilai 2 sin 75
cos 15 = ….
a. 2 – 3 c. 1 +
2
e. 2 + 3 b. 1 +
2 1
3 d. 2 +
2 1
3 15.
Nilai dari 4 cos 52 2
1 cos 7
2 1
= …. a. 1 –
2
c. 1 + 2
1
2
e. 2 +
2
b. 2 –
2
d. 1 +
2
16. Bentuk jumlah dan selisih dari 2 cos 75
sin 25 adalah ….
a. sin 75 – sin 25
c. sin 100 + sin 50
e. cos
100 + sin 50
b. sin 100 – sin 50
d. cos 100 – sin 50
17. cos 80
sin 40 + sin 80
cos 40 = ….
a. – 2
1 3 c.
2 1
e. 2
1 3
b. cos 120 d. cos 40
18. Jika cos A+B =
5 2
dan cos A cos B = 4
3 , maka nilai tan A tan B = ….
a. 20
7 c.
15 8
e. 5
3 b.
15 7
d. 9
5 19.
Diketahui sin x = 5
3 dengan x sudut lancip. Nilai cos
2 1
x = …. a.
5 10
1 c.
9 10
1 e.
10 10
3 b.
7 10
1 d.
10 9
1 20.
Diketahui cos 2A = 5
1 dengan A sudut lancip. Nilai tan A = ….
a. 6
1 6 c.
2 1
6 e. 3 6
b. 3
1 6 d.
2 6 21.
2 cos 50 cos 40
– 2 sin 95 sin 85
= …. a. –1
c. 1 e. 1 + 2 cos 10
b. –1 + 2 cos 10 d.
2 cos 10
22. ....
tan tan
sin =
− −
b a
b a
a. –cos a cos b
c. cos a cos b e. cos a – b
b. –sin a sin b d. sin a sin b
23. Bentuk paling sederhana dari
x x
x x
sin 3
sin 5
cos 3
cos −
− adalah ….
a. –cotan x c. –2 sin 2x
e. 2 sin 2x b. –sin 2x
d. sin 2x 24.
Dalam Δ ABC berlaku sin
2 1
A+B = …. a. –cos
2 1
C c. cos
2 1
C e. sin
C b. –sin
2 1
C d. sin
2 1
C 25.
Bentuk sederhana dari 2 sin α
π + 4
1 sin
α π +
4 3
= …. a. cos
π c. sin
α e. sin 2
α b. cos 2
α d. cos
α 26.
cos 3p – q – cos 3p + q = …. a. –2 sin 3p sin q
c. 2 sin p cos 3q e. 2 sin 3p sin q
b. –2 sin 3p cos q d. 2 cos 3p cos q
27. sin 105
– sin 15 = ….
a. – 2
1
2
c. 2
1 e.
1 b. –
2 1
d. 2
1
2
28. Nilai dari sin 285
cos 15 = ….
a. –2 – 3 c. –1 –
4 1
3 e. 2
1 –
4 1
3 b. –1 –
2 1
3 d. –
2 1
– 4
1 3
29. Nilai dari cos 195
+ cos 105 = ….
a. – 2
1 6 c.
– 4
1 3 e.
2 1
6 b. –
4 1
6 d. 4
1 6
30. Seorang pramuka akan menentukan tinggi nyala api di sebuah puncak tugu dengan
cara mengukur sudut lihat dari suatu tempat sejauh p dari kaki tugu. Misalkan sudut lihat itu
α dan β seperi dalam gambar, maka tinggi nyala api x = ….
a. p
β α
β α
cos cos
sin +
b. p
β α
β α
sin sin
cos −
c. p
β α
β α
cos cos
sin −
d. p
β α
β α
sin sin
cos +
e. p tan
α β tan
−
B. Jawablah soal–soal berikut dengan jelas dan benar