Distribusi Temperatur Secara Aksial dan Hubungan ε-NTU pada

31 di mana C min C maks sama dengan C c C h atau C h C c , bergantung pada besaran kapasitas laju perpindahan panas dingin dan panas. Jumlah unit perpindahan panas Numbers Transfer of Units adalah sebuah parameter tidak berdimensi yang digunakan secara luas dalam analisa penukar panas dan didefinisikan sebagai berikut : NTU = �� ���� 2.21

2.8 Distribusi Temperatur Secara Aksial dan Hubungan ε-NTU pada

Penukar Kalor Tiga Saluran dengan Aliran yang Terbagi Pemodelan secara teoritis untuk penukar panas tiga saluran ini telah dilakukan oleh C.L Ko dan Wedekind, yang sama telah diperoleh persamaan-persamaan untuk penentuan karateristik dari penukar panas ini. Skematik sederhana penukar panas ini dapat dilihat dalam Gambar 2.28. Kerangka fluida dipisah dalam saluran dua sisi saluran nomor 2 dan 3 dan tabung fluida yang tidak dipisah pada saluran pusat saluran nomor 1, yang mana disebut juga sebagai saluran refrensi. Jika aliran yang terpisah pada dua sisi saluran mempunyai arah aliran yang sama dengan aliran yang tidak terpisah pada saluran acua seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 2.28. Konfigurasi ini disebut aliran paralelsearah. Jika aliran yang terbagi ini mempunyai arah aliran yang berlawanan dengan arah aliran pada saluran refrensi disebut sebagai aliran berlawanan. Geometri saluran dapat berupa anular, bulat, segiempat atau berbentuk lainnya, sepanjang batas yang umum ada antara dua saluran yang berdekatan. Gambar 2.28. Skematik alat penukar kalor tiga saluran Sumber : Thejas G.M, 2014 Universitas Sumatera Utara 32

2.8.1 Persamaan-persamaan Diffrensial Membentuk Distribusi Temperatur

Aksial Laju-laju aliran massa dan panas spesifik panas dari fluida dalam saluran satu, dua dan tiga seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 2.28 berturut-turut diberi notasi m 1 , m 2 , m 3 dan c p1 , c p2 dan c p3 . Temperatur dari fluida yang mengalir dalam masing-masing saluran juga ditandai secara berturut-turut sebagai berikut : T 1 , T 2 dan T 3 . Begitu juga temperatur masukan dan keluaran dari aliran-aliran fluida ini ditandai sebagai berikut : T 1i , T 2i , T 3i dan T 1o , T 2o , T 3o . Panjang total dari penukar panas dilambangkan dengan L dan koordinat aksial dari setiap titik dalam penukar panas dicatat sebgai x, dengan x = 0 terletak pada letak masukan pada saluran pusat saluran 1. Koefisien perpindahan panas seluruhnya untuk laju perpindahan panas transversal dari saluran 1 ke saluran 2, Q 12 ditunjukkan dengan U 12 ditunjukkan sebagai U 12 dan untuk perpindahan panas transversal dari saluran 1 ke saluran 3, Q 13 ditunjukkan dengan U 13 . Koefisien-koefisien ini didasarkan pada luas permukaan refrensi, A 12 , yang mana dapat ditunjukkan dengan perkalian dari keliling dari saluran acuan P 12 dan P 13 dengan panjang penukar panas L. Sebagai sebuah acuan untuk arah aliran, aliran pada saluran 1 akan selalu bernilai positif dalam arah x. Asumsi yang digunakan dalam metode LMTD klasik untuk memperoleh persamaan dasar dalam menerangkan kelakuan perpindahan paans untuk penukar panas ini. Persamaan difrensial yang membentuk distribusi temperatur aksial untuk aliran pada sebuah saluran yang khusus dapat diformulasikan dengan menerapkan bentuk keadaan tunak dari prinsip kekekalan energi pada volume atur sembarangan dengan panjang Δx, terletak antara x dan x +Δx. Konduksi aksial dalam fluida dan dalam dinding saluran diabaikan. Mengabaikan semua perubahan dalam energi kinetik maupun energi potensial dan mengasumsikan bahwa perpindahan panas hanya mengambil tempat antara dua fluida dalam ketiga saluran, dapat diperoleh sebuah pernyataan yang menunjukkan laju perubahan entalpi dari fluida yang mengalir melaui volume atur akan sama dengan laju perpindahan panas. Lalu untuk aliran fluida dalam slauran 1, prinsip kekekalan enrgi menghasilkan : Universitas Sumatera Utara 33 m 1 .c p1 [T 1 x+ Δx – T 1 ] = − ∫ �12 �−∆� � P 12 T 1 -T 2 dx - ∫ �13 �−∆� � P 13 T 1 -T 3 dx 2.22 Aliran pada saluran 1 menukar panas dengan fluida dalam kedua saluran 2 dan 3. Persamaan 2.22 adalah sebuah penyataan yang umum dan dapat diterapkan pada semua kasus denga perpindahan panas yang terjadi dari fluida 1 ke fluida 2 dan 3 atau sebaliknya dikarenakan konsitensi tandanya. Pernyataan yang sama untuk aliran yang terpisah dalam saluran 2 dan 3 dapat diperoleh sebagai berikut dengan mengetahui pertukaran panas dari masing- masing fluida dengan fluida 1 : m 2 .c p2 [T 2 x+ Δx – T 2 ] = ± ∫ �12 �−∆� � P 12 T 1 -T 2 dx 2.23 m 3 .c p3 [T 3 x+ Δx – T 3 ] = ± ∫ �13 �−∆� � P 13 T 1 -T 3 dx 2.24 Seperti dengan yang telah disebutkan sebelumnya, jika arah aliran dari aliran-aliran yang terpisah dalam saluran 2 dan 3 sama dengan aliran dalam saluran 1 arah x positif, penukar panas mempunyai konfigurasi aliran paralel, dan tanda pada sisi kanan Persamaan 2.23 dan 2.24 adalah positif. Jika arah aliran dari fluida 2 dan 3 belawanan arah dengan aliran fluida 1 arah x negatif, pengaturan jenis ini menunjukkan sebagai konfigurasi aliran yang berlawanan, dan tanda negatif harus dipilih untuk sisi kanan Persamaan 2.23 dan 2.24. Masing-masing dari persamaan di atas dapat dikonversikan ke dalam sebuah persamaan dengan membagi mereka dengan pnjang volume atur, Δx, dan lalu mengambil limit Δx mendekati nol. Pasangan persamaan diffrensial ysng dihasilkan untuk masing-masing aliran saluran dinyatakan sebagai berikut : i Saluran 1 dT ₁ dx = − U ₁₂ P₁₂ C ₁ T ₁ − T₂ − U ₁₃ P₁₃ C ₁ T ₁ − T₃ 2.25 ii Saluran 2 dT ₂ dx = ± U ₁₂ P₁₂ C ₁ T ₁ − T₂ 2.26 iii Saluran 3 dT ₃ dx = ± U ₁₃ P₁₃ C ₃ T ₁ − T₃ 2.27 Universitas Sumatera Utara 34 Dimana laju kapasitas aliran, C = m.c p secara berturut-turut unutk masing-masing aliran saluran berikut ini : C 1 = m c p1 , C 2 = m c p2 , C 3 = m c p3 2.28 Kombinasi Persamaan 2.25 hingga Persamaan 2.27, dapat memperoleh : �� �� + �₁� + �₂� = 0 2.29 �� �� + �₄� + �₃� = 0 2.30 Parameter-parameter dalam persamaan diatas didefinisikan sebagai berikut : u = T 1 – T 2 , v = T 1 - T 3, z = xL, �₂ = U ₁₃ P₁₃ L C ₁ , dan �₃ = U ₁₂ P₁₂ L C ₁ 2.31 Rasio laju kapasitas aliran dapat juga didefinisikan sebagai berikut : s 1 = C 1 C 2 dan s 2 = C 1 C 3 2.32 Lalu, koefisien a 1 dan a 4 dapat dinyatakan dala a 2 dan a 3 untuk masing-masing konfigurasi aliran yang berbeda sebagai : 1 Aliran paralel a 1 = a 3 1+s 1 dan a 4 = a 2 1 + s 2 2.33 2 Aliran berlawanan arah counterflows a 1 = a 3 1- s 1 dan a 4 = a 2 1 - s 2 2.34 Untuk sebuah penukar panas tiga saluran satu lewatan aliran yang terpisah sangat mungkin untuk menyatakan laju total perpindahan panas dan efektifitas dari penukar panas sama dengan yang dinyatakan pada penukar panas dua saluran standard. Memperlakukan aliran-aliran dalam saluran 2 dan 3 sebagai aliran dengan kerangka aliran terpisah split shell-flows, dapat dinyatakan laju total perpindahan panas penukar panas, Q, dalam sebuah temperatur ekuivalen shell- flow, T s , sebagai berikut : Q = U e P e L ∫ T₁ − T 1 s dz 2.35 Universitas Sumatera Utara 35 Koefisien perpindahan paans ekuivalen U e didasarkan pada sebuah keliling ekuivalen, P e . Temperatur ekuivalen shell-flow dapat dihubungkan dengan temperatur dari fluida dalam saluran-saluran sisi aliran yang terpisah sebagai berikut : T s ,= λT 2 + 1- λT 3 2.36 Di mana parameter, λ, didefinisikan sebagai berikut : λ= C ₂ Cs 2.37 Laju total kapasitas aliran dari shell-flow yang terpisah didefinisikan sebagai : C s = C 2 + C 3 2.38 Penggunaan sisi kanan Persamaan 2.22, dan parameter-parameter yang didefinisikan dalam Persamaan 2.31, dapat menyatakan laju total perpindahan panas sebagai : Q = U 12 P 12 L ∫ udz 1 + U 13 P 13 L ∫ vdz 1 2.39 Efektifitas penukar panas, s, dapat didefinisikan sama dengan untuk penukar panas dua saluran seperti beriuit ini : ε = Q Cmin T ₁i – Tsi 2.40 Rasio minimum kapasitas aliran C min yang mana bernilai lebih kecil diantara C 1 atau C s . Kalau fluida aliran 2 dan 3 adalah dua cabang dari shell-flow yang terpisah, maka diasumsikan temperatur masukan keduanya sama, dan sehingga, sama dengan temperatur masukan dari temperatur ekuivalen shell flow, T si . Kita dapat juga mendefinisikan NTU ekuivalen dari penukar panas ini sama dengan yang dilakukan pada penukar panas ini sama dengan yang dilakukan pada penukar panas dua saluran menjadi : NTU = Ue .Pe .L Cmin 2.41 Universitas Sumatera Utara 36 Untuk menurunkan hubungan antara ekuivalen dan NTU, kita dapat definisikan rasio kapasitas aliran terbagi μ = C min C max , sehingga parameter ini dapat dievalusikan sebagai : μ = C ₁ C ₂ jika C 1 ≤C s dan μ = Cs C1 jika C 1 ≥ Cs 2.42

2.8.2 Solusi Umum

Persamaan 2.25 dan 2.26 dapat dikombinasikan ke dalam persamaan difrensial orde kedua berikut dengan menghilangkan variabel tak bebas v : d ₂u dz ₂ + a ₁ + a₄ du dx + a ₁a₄ − a₂a₃u = 0 2.43 Solusi umum dari persamaan diatas unutk kasus a 1. a 4 ≠ a 2. a 3 U = e -az A sinh βz + B cosh βz Dimana α = a 1 + a 2 2 dan β = �[a₁ − a₂²4] + a₁α₂. Untuk sebuah penukar panas tiga saluran, kedua s 1 dan s 2 tidak dapat nol Konstanta yang tidak tentu, A dan B dapat dihitung dengan menggunakan kondisi akhir pada masukan dan keluaran. Solusi umum dari variabel tak bebas v dapat juga diperoleh seperti berikut dengan mensubtitusikan persamaan 2.44 ke dalam persamaan 2.29 : V = a -az a 2 [A ϒ –Bβ sinh βz + βϒ – Aβcosh βz] 2.45 Untuk a 1. a 4 ≠ a 2. a 3 dan ϒ = a 4 – a 1 2 Kondisi batas dalam kasus umum dapat dinyatakan sebagai : Pada z = 0 ; u = u A dan v = v A Pada z = I ; u = u L dan v = v L Parameter-parameter u A , v A , u L dan v L bergantung pada konfigurasi aliran dari penukar panas. Secara umum, parameter-parameter ini adalah fungsi dari temperatur masukan dan keluaran dan sebagai akibatnya, mereka dapat juga menjadikan suatu variabel yang tidak tentu. Dalam beberapa kasus, perbedaan temperatur u A dan v A masukan atau ditentukan dari manipulasi persamaan 2.44 Universitas Sumatera Utara 37 dan 2.45 untuk memenuhi kondisi batas masukan. Sehingga solusi umum dari perbedaan-perbedaan temperatur untuk kasus a 1 .a 4 ≠ a 2. a 3 dapat dinyatakan dalam bentuk u A dan v A , seperti berikut : u = e - αz [ u A cosh βz + 1 β ϒ.u A – α 2 . v A sinh βz] 2.48 v = e - αz [ v A cosh βz + 1 β ϒ.v A – α 2 . u A sinh βz] 2.49 Untuk kasus a 1 .a 4 = a 2. a 3 , solusi umumnya menjadi : u = 1 2 α [ α 4 u A – α 2 v A + α 1 u A + α 2 v A e -2 αz ] 2.50 u = 1 2 α [ α 1 v A – α 3 u A + α 3 u A + α 4 v A e -2 αz ] 2.51 Perbedaan temperatur pada x = L untuk kasus a 1 .a 4 ≠ a 2. a 3 , dapat ditentukan sebagai u L = e - αL [ u A cosh βL + 1 β ϒ u A – α 2 v A sinh βL] 2.52 v L = e - α [v A cosh βL - 1 β ϒ v A – α 3 u A sinh βL] 2.53 Temperatur keluaran aliran-aliran fluida dalam semua saluran dapat ditentukan dengan menghitung perbedaan temperatur pada x = 0 dengan penggunaan temperatur masukan dari aliran –aliran fluida dalam ketiga saluran, T 1i , T 2i , dan T 3i . hasil- hasil untuk konfigurasi aliran searah dan aliran berlawanan arah dapat disingkat seperti di bawah ini : 1 Konfigurasi aliran searah selalu a 1 .a 4 ≠ a 2. a 3 : Perbedaan temperatur pada x = 0 dapat ditentukan sebagai berikut : u A = T 1i – T 2i 2.54 v A = T 1i – T 3i 2.55 Temperatur keluaran dari fluida-fluda yang mengalir dapat ditunjukkan dengan : T 1o = C ₁ T₁ᵢ + C₂UL + T₂ᵢ + C₃ vL + T₃ᵢ C ₁ + C₂ + C₃ 2.56 T 2o = T 1o - u L 2.57 T 3o = T 1o - v L 2.58 Perbedaan temeperatur pada x = L dapat dihitung dengan persamaan-persamaan 2.52 dan 2.53. Universitas Sumatera Utara 38 2 Konfigurasi aliran yang berlawanan arah : Perbedaan temperatur pada x = 0 dapat ditentukan dengan pemanfaatan persamaan-persamaan 2.52 – 2.53 menjadi : u A = 1 b ₁ b ₄.b₆ - b₃. b₇ 2.59 v A = 1 b ₂ b 2 .b 7 – b 4 . b 5 2.60 dimana untuk kasus α 1. α 4 ≠ α 2. α 3 b 1 = b 2. b 6 – b 3 .b 5 b 2 = coshβ + 1 β α 3 + ϒsinhβ b 4 = 1 β ϒ – α 2 sinhβ – coshβ b 4 = e α T 3i – T 2i b 5 = 1 s ₁ - e - α Cosh β + ϒ β Sinh β b 6 = α₂ β e - α Sinh β + 1 s ₂ b 7 = 1 s ₁ − 1T 1i – T 2i + 1 s ₂ T 1i – T 2i untuk kasus α 1. α 4 = α 2. α 3, maka parameter b 2 – b 7 dievaluasi menjadi sebagai berikut : b 1 = b 2. b 6 – b 3 .b 5 b 2 = a 3 + a 4 – s 1 .a 3 e -2 α b 3 = s 2 . a 2 . e -2 α – a 1 –a 2 b 4 = 2 α T 3i – T 2i b 5 = a 4 - 2. α s1 + a 1 e -2 α b 6 = -a 2 - 2. α s2 + a 2 . e -2 α b 7 = 2 α [T 1i – T 2i 1- 1 s ₁ - 1 s2 T 1i – T 3i ] Temperatur keluaran dari fluida yang mengalir dalam ketiga saluran yang berbeda dapat ditentukan sebagai : T 1o = T 1i + 1 s ₁ T 2i + u A – T 1i + 1 s ₂ T 3i + v A – T 1i 2.61 T 2o = T 1i - u A 2.62 T 3o = T 1i - v A 2.63 Universitas Sumatera Utara 39 Laju perpindahan panas total dari penukar panas ini, Q, dapat diperoleh dari temperatur keluaran ini : Q = C 1 T 1i – T 1o = C 2 T 2o – T 2i + C 3 T 3o – T 3i 2.64 Untuk sebuah penukar panas dengan aliran yang terpisah dalam konfigurasi aliran yang berlawanan, solusi tidak dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan di atas jika rasio kapasitas panas persisi sema dengan satu μ = 1 dan C 1 = C 2 .

2.8.3 Hubungan ε-NTU pada Penukar Kalor Tiga Saluran

Laju perpindahan panas total melalui luas diffrensial pada Gambar 2.28 dapat dinyatakan sebagai berikut : δQ = U e P e T 1 – T s dx 2.65 = U 12 P 12 T 1 – T 2 dx + U 13 P 13 T 1 – T 3 dx Perpindahan panas diasumsikan dari fluida dalam saluran 1 ke aliran yang terbagi dalam saluran 3 dengan secara berturut-turut sebuah temperatur ekuivalen, sebuah koefisien perpindahan panas ekuivalen dan sebuah keliling menjadi T s , U e , P e . Bagaimanapun analisa dapat juga diterapkan untuk kasus dengan arah perpindahan panas yang berlawanan arah dengan persamaan diatas, karena perubahan-perubahan tanda secara simultan tidak memberikan pengaruh pada hasil akhir dari persamaan dasar tersebut. Dengan mensubsitusikan persamaan 2.36 ke dalam persamaan 2.65 dan dengan integrasi, dapat diperoleh persamaan untuk x = 0 dan x = L, sebagai berikut : U e P e = C ₁α₃ϴ + α₂Ø L[ λϴ + 1 – λ Ø] 2.66 dimana ϴ = ∫ u. dz 1 dan Ø = ∫ v. dz 1 Penggunaan Persamaan 2.52 dan 2.53 untuk mengevaluasikan integrasi diatas, salah satu dapat menyatakan parameter-parameter yang tidak tentu ϴ dan Ø, untuk kasus α₁.α₄ ≠ α₂. α₃ sebagai : Universitas Sumatera Utara 40 ϴ = u A [ α 7 1 - γ β – α 8 1 + γ β ] + Va α₂ β α₇ + α₈ 2.67a φ= V A [ α 7 1 + γ β + α 8 γ β − 1 ] + ua α₃ β α₇ + α₈ 2.67b Untuk kasus α₁.α₄ = α₂. α₃, parameternya sebagai berikut : ϴ = 1 2 α [ a 4 u a - a 2 v a + 1 2 α a 1 u a +a 2 v a 1 – e - 2α ] 2.68a φ= 1 2 α [ a 1 v a - a 3 u a + 1 2 α a 3 u a +a 5 v a 1 – e - 2α ] 2.68b dimana α ₇ = 1 2 α + β [1 – e - α+β ] dan α 8 = 1 2 α + β [1 – e - β-α ] NTU dari sebuah penukar panas dengan kerangka pemisah aliran di bawah sebuah kondisi umum dapat dinyatakan dalam solusi dengan mensubsitusikan persamaan 2.66 ke persamaan 2.41, maka diperoleh persamaan sebagai berikut : NTU = � C ₁ Cmin � � α₃ ϴ +α₂ Ø λϴ + 1 – λØ � 2.69 Berdasarkan definisi kesamaan jumlah unit perpindahan panas NTU yang ditunjukkan persamaan 2.41, ini dapat juga dinyatakan sebagai : NTU = � Ntu ₁ ϴ +Ntu ₂ Ø λϴ + 1 – λØ � 2.70 dimana; NTU 1 = U ₁₂ P₁₂ L Cmin dan NTU 2 = U ₁₃ P₁₃ L Cmin Jumlah unit perpindahan panas NTU ini berhubungan dengan bagian laju perpindahan panas dapat dinyatakan sebagai : NTU = � Ntu ₁ ϴ +Ntu ₂ Ø λϴ + 1 – λØ � 2.70 dimana; NTU 1 = U ₁₂ P₁₂ L Cmin dan NTU 2 = U ₁₃ P₁₃ L Cmin Jumlah unit perpindahan panas NTU ini berhubungan dengan bagian laju perpindahan panas dapat dinyatakan sebagai : Jika μ = C ₁ Cs ≤ 1 ; NTU 1 = α 3 dan NTU 2 = α 2 2.71 Jika μ = Cs C ₁ ≤ 1 ; NTU 1 = α₃ μ dan NTU 2 = α₂ μ 2.72 Universitas Sumatera Utara 41 Hubungan antara efektifitas dan kesamaan jumlah unit perindahan panas NTU ekuivalen untuk penukar panas tiga saluran lewatan tunggal dengan aliran yang terpisah dapat diperoleh dalam bentuk yang sama dengan yang diperoleh untuk penukar panas dua saluran yang klasik. Efektifitas dari sebuah penukar panas tiga saluran dengan aliran yang terbagi dan jumlah unit perpindahan panas secara berturut-turut didefinisikan sebagai yang ditunjukkan dalam Persamaan-persamaan 2.40 dan 2.41. Untuk memperoleh hubungan merekan untuk kedua konfigurasi aliran searah dan berlawanan arah, sebuah panjang difrensial dari penukar panas, dx dapat dipertimbangkan. Asumsi bahwa tidak ada energi yang hilang dari penukar panas, kondisi neraca energi keseluruhan adalah : Q = C 1 T 1i – T 1o = C s T so – T si 2.73 Di mana temperatur masukan dan keluaran dari aliran pusat dalam saluran 1 scera berturut-turut ditulis sebagai T 1i dan T 1o . Dengan cara yang sama, untuk aliran terbagi ekuivalen itu secara berturut-turut ditulis sebagai T si dan T so . Dengan mensubsitusikan persamaan 2.73 ke dalam persamaaan 2.40, efektifitas penukar panas dapat dinyatakan sebagai berikut : ε = τ c₁ ∆ Cmin 2.74 dimana ∆ = T 1i – T si dan � = T 1i – T 1o . Berdasarkan Persamaan-persamaan 2.65, 2.73, 2.74 dan 2.40, hubungan-hubungan anatara efektifitas dan jumlah unit perpindahan panas untuk kedua konfigurasi dapat diperoleh seperti yang ditunjukkan dibawah. Penukar Panas searah : Kondisi neraaca energi dapat dinyatakan sebagai berikut δQ = -C. dT 1 = Cs. dTs 2.75 Kombinasi persamaan-persamaan 2.65 dan 2.73 dapat diperoleh : dT ₁−Ts T ₁ − Ts = - � 1 C ₁ + 1 Cs � U e P e dx 2.76 Universitas Sumatera Utara 42 Integrasi persamaan di atas untuk x = 0 ke x = L dan subsitusikan persamaan 2.40 ke dalam pernyataan yang dihasilkan, kita memperoleh : σ ∆ = Exp �− � 1 C ₁ + 1 Cs � NTU Cmin� 2.77 Di mana � = T 1o – T so . Hasil dapat memperoleh pernyataan efektifitas ini dengan memanfaatkan persamaan 2.73, sebagai berikut � = ∆ − �1 − �₁ �� � � 2.78 Persamaan di atas di subsitusikan ke dalam persamaan 2.74, diperoleh : ε = C ₁ Cmin � 1 − � σ ∆ � 1 − � C ₁ Cs � � 2.79 Oleh karenanya, dengan mensubsitusikan persamaan 2.77 ke dalam persamaan 2.79, efektifitas dapat dinyatakan sebagi berikut : ε = Cmin C ₁ + Cs �1 − exp �– Ntu C ₁ + Cs Cmax �� 2.80 Persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk yang lain, yaitu : ε = 1 1 + � [1-e -1 + μ NTU ] 2.81 Penukar panas berlawanan arah Kondisi neraca energi untuk konfigurasi aliran berlawanan dapat dinyatakan sebagai : δQ = -C 1 dT 1 = - C s dT s 2.82 Persamaan 2.65 dan persamaan 2.82 dikombinasikan akan diperoleh : dT ₁−Ts T ₁ − Ts = � 1 Cs − 1 C ₁ � U e P e dx 2.83 Persamaan 2.79 diintegarasikan terhadap x untuk x = 0 hingga x = L dan persamaan 2.40 disubsitusikan ke dalam hasil yang diperoleh : ω η = Exp � � 1 Cs − 1 C ₁ � NTU Cmin� 2.84 di mana, ω : T 1o - T si η : T 1i - T so Berdasarkan pada definisi perbedaan temperatur, diperoleh hubungan seperti berikut : ω = ∆ - � 2.85 Universitas Sumatera Utara 43 Sebagai tambahan, hubungan berikut dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan 2.73 : η = Δ – � �₁ �� 2.86 Pemecahan Δ sebaik yang dilakukan pada � persamaan 2.85 dan 2.86 dan mensubsitusikan persamaan-persamaan itu ke dalam persamaan 2.74, diperoleh : ε = C ₁.Cs Cmin � 1 − ω η Cs − C₁ ω η � 2.87 Subsitusikan persamaan 2.84 ke dalam persamaan di atas akan merubah persamaan tersebut menjadi : ε = 1 − e μ−1NTU 1 −μ e μ −1NTU untuk μ 1 2.88

2.8.4 Analisa Penukar Panas Aliran yang Berlawanan Arah dengan C

1 = C s Untuk sebuah penukar panas dengan laju kapasitas panas aliran terbagi, C 1 dan C s yang sama Persamaan 2.26 dan 2.27 dapat dinyatakan sebagai berikut : λ �� �� = - � 3 T 1 – T 2 2.89 1- λ ��₃ �� = - �₂ T 1 – T 3 2.90 Persamaan di atas dikombinasikan dengan Persamaan 2.25, dapat diperoleh : �� �� [T 1 – λT 2 –1- λT 3 ] = 0 2.91 Demikian perbedaan temperatur menjadi : T 1 - λT 2 –1- λT 3 = D 1 2.92 di mana D 1 adalah kombinasi tak tentu. Dengan pemanfaatan persamaan ini untuk mengeliminasi T 1 dari persamaan 2.90 dan 2.91, dapat diperoleh : λ dT ₂ dz = α₃ [1-λT 2 –T 3 – D 1 ] 2.93 1- λ dT ₃ dz = α₂ [λT 3 –T 2 -D 1 ] 2.94 Eliminasi T 1 dari persamaan 2.94 dan 2.95 diperoleh : d²T ₂ dz ² - v dT ₂ dz = a ₂.a₃ λ1−λ D 1 2.95 Di mana, V = λ.a₂ 1 −λ + 1 −λa₃ λ Universitas Sumatera Utara 44 Solusi umum dari persamaan difrensial ini dapat dinyatakan sebagai : T 2 = D ₂ v e vz − a ₂.a₃.D₁ v. λ 1−λ z + D 3 2.96 Dimana D 2 dan D 3 adalah konstanta tak tentu. Dengan memanfaatkan persamaan- persamaan 2.93 dan 2.94, dapat menyatakan temperatur dalam saluran 1 dan 3 sebagai : T 2 = � i v − λ a ₃ � D₂e vz − a ₂.a₃.D₁ v. λ 1−λ z + D ₃ + a ₂.D₁ v1 −λ 2.97 T 3 = � 1 v − λ₂ 1 −λa₃ � D₂e vz − a ₂.a₃.D₁ v. λ 1−λ z + [ a ₂ v1 −λ² − 1 1 −λ ]D ₁ + D₃ 2.98 Konstanta tak tentu, D 1 , D 2 dan D 3 , dapat ditentukan dengan mengetahui temperatur-temperatur pada masukan. Sehingga, ketiga kondisi batas dapat dinyatakan sebagai : i Pada z = 0; T 1 = T 1i 2.99 ii Pada z = 1; T 2 = T 2i = T si 2.100 iii Pada z =1; T 3 = T 3i = T si 2.101 Dengan memanfaatkan ketiga kondisi ini, dapat ditentukan koefisien dalam persamaan 2.97, 2.98 dan 2.99 menjadi ; D 1 = T ₁ᵢ − T₁ᵢ + 1−λT₂ᵢ − T₃ᵢ�e −v + a ₃ v . λ 1−e−v � �1− 1 ev �� a ₂ v 1 −λ + a ₃ v . λ − a .a ₃ v ₂ .λ 1−λ �+ a ₂.a₃ v . λ 1−λ + 1 e v 2.102 D 2 = a ₃ λ.e v �1 − λT₂ᵢ − T₃ᵢ + a ₂.D₁ v1 −λ − D₁� 2.103 D 3 = T 1i – a ₂.D₁ v1 −λ + D ₂ � λ a ₃ − 1 v � 2.104 Masing-masing temperatur keluaran dari ketiga saluran dapat dihitung dengan menggunakan persamaan-persamaan 2.96, 2.97 dan 2.98 menjadi : T 1o = a ₂.D₁ v 1 −λ 1 − a ₃ λ + D ₂e v � 1 v − λ a ₃ � + D₃ 2.105 T 2o = D ₂ v + D ₃ 2.106 T 30 = � a ₂ v 1 −λ − 1� D ₁ 1 −λ + � 1 v − λ 1 −λa₃ � D₂ + D₃ 2.107 Lalu laju perpindahan panas total dapat dihitung dengan : Q = C 1 T 1i – T 1o 2.108 Universitas Sumatera Utara 45 Efektifitas penukar panas dapat juga dihitung dari persamaan-persamaan 2.40 dan 2.99 menjadi : ε = T ₁ᵢ − T₁₀ T ₁ᵢ − T₂₀ 2.109 Jumlah unit perpindahan panas untuk kasus ini dapat ditentukan denga menggunakan persamaan 2.35 dan 2.41 sebagai : NTU = T ₁ᵢ − T₁₀ D ₁ 2.110

2.9 Desain Optimum Alat Penukar Kalor Tiga Saluran Dengan Aliran Terbagi