RINGKASAN MATERI Copy

MATEMATIKA FISIKA KIMIA BIOLOGI BAHASA INDONESIA BAHASA INGGRIS

MATEMATIKA

BAB 1 EKSPONEN DAN LOGARITMA

A. EKSPONEN

2. Persamaan Eksponen

Definisi

Jika a adalah suatu bilangan real dan n suatu bilangan = a () ⇒ fx () = gx ()

a. a fx () gx

b. a fx () b = fx bulat positif (bilangan asli), maka: () ⇒ fx ()0 =

c. fx () = fx () maka:

gx ()

hx ()

a =××××× aaaa ... a n g (x) = h(x) n f (x) = 1

Dengan: a = bilangan pokok (basis) dan n = pangkat atau eksponen

n f (x) = –1, g(x) dan h(x) sama-sama genap/ ganjil

1. Sifat-sifat Bilangan dengan Pangkat Bulat Positif n f (x) = 0, g(x) dan h(x) sama-sama positif Jika m , n, dan p adalah bilang bulat positif, abR , ∈ ,

3. Pertidaksamaan Eksponen maka:

fx ()

Jika gx a > () a maka berlaku:

a. a m n mn × + a = a n f (x) > g(x) , untuk a > 1

b. a m : a n a mn = − , a ≠ 0 n f (x) < g(x) , untuk 0 < a < 1

c. n ()

a m = a mn

B. BENTUK AKAR

d. ( ab m np ) ab mp = np

Sifat-sifat Bentuk Akar

mp

 n  a a. n a = a

e.  n  = np , b ≠ 0  b 

b b. a ⋅ b = ab ⋅

0 a f. a a = 1 , a ≠ 0 c. =

g. a − = n , a ≠ 0 m

d. m n a = a n

e. =

C. LOGARITMA

Logaritma adalah invers dari perpangkatan, yaitu

, dengan 0 <<∨> p 1 p 1 mencari pangkat dari suatu bilangan pokok, sehingga

hasilnya sesuai dengan yang telah diketahui.

Di mana:

h. a log b b log c c ⋅ a ⋅ log d = log d

1. a dinamakan bilangan pokok dengan 0 << a 1 atau

a > 1,

2. b dinamakan numerus, yaitu bilangan yang dicari

2. Persamaan Logaritma

logaritmanya, dengan b > 0,

3. c dinamakan hasil logaritma. log ( ) fx = log ( ) gx ⇒ fx () = gx ()

3. Pertidaksamaan Logaritma Dalam logaritma berlaku sifat-sifat sebagai berikut.

1. Sifat-Sifat Logaritma

a c Jika log ( ) fx ≤ log ( ) gx a. , maka berlaku: log b

=⇔ c a = b I. Syarat Basis:

b. a log b + a log c = a log bc 1. Untuk 0 < a < 1

c. a b fx () ≥ gx log () b a − a log c = log >1

c 2. Untuk a fx () ≤ gx ()

II. Syarat Numerus:

BAB 2 PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT

A. PERSAMAAN KUADRAT

x 1 ⋅= x 2 x 1 − x 2 =

a a a Bentuk umum persamaan kuadrat adalah

ax 2

+ bx += c 0 2 x 2 1 − x 2 = ( x 1 + x 2 )( x 1 − x 2 )

dengan a , b, c bilangan real dan a ≠0 .

1. Jenis-jenis Akar

Persamaan kuadrat 2 ax + bx += c 0 mempunyai:

1. akar real jika D ≥0 ,

2. akar real berlainan jika D >0 ,

3. Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat

3. akar real kembar jika D =0 ,

4. akar imajiner/ khayal jika 2 D <0 , ax + bx += c 0 de- dengan D = b 2 − 4 ac .

Diketahui persamaan kuadrat

ngan x 1 dan x 2 akar-akarnya, maka sifat akar-akar persamaan kuadrat yang diketahui:

2. Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar

1. Kedua akarnya positif, jika: Diketahui x 1 dan x 2 adalah akar-akar dari persamaan

2 0;D0 ≥ kuadrat ax + bx += c 0 , maka:

x 1 + x 2 > 0; x 1 ⋅> x

2. Kedua akarnya negatif, jika:

dua titik.

ii. D = 0

parabola menyinggung sumbu x.

x 1 + x 2 < 0; x 1 ⋅> x 2 0;D0

iii. D < 0 ⇒ parabola tidak memotong sumbu x.

3. Kedua akarnya berlainan tanda, jika:

2. Nilai Ekstrem Dari Fungsi Kuadrat

x 1 ⋅< x 2 0;D>0

Fungsi kuadrat fx () = ax 2 + bx + c mempunyai:

4. Kedua akarnya berlawanan, jika:

0 1. Sumbu simetri: x − x b 1 + x 2 = =

5. Kedua akarnya berkebalikan, jika:

D b 2. Nilai ekstrem: 2 − 4 ac

x 1 ⋅= x 2 1 − 4 a − 4 a Nilai ekstrem maksimum jika a < 0.

4. Menentukan Persamaan Kuadrat Nilai ekstrem minimum jika a > 0.

Persamaan kuadrat baru yang akarnya α dan adalah

3. Menyusun Persamaan Fungsi Kuadrat x 2 − ( αβ + ) x +⋅= αβ 0 a. Diketahui titik puncak (,) xy p p dan titik lain

y = ax ( x 2 − p ) + y p

B. FUNGSI KUADRAT

b. Diketahui titik potong dengan sumbu x, ( ,0) x 1 dan

Fungsi f 2 yang didefinisikan sebagai fx () ax bx c ( ,0) x 2 = serta titik lain + +

di mana abc ,, ∈ R dan a ≠0 didefinisikan sebagai

y = ax ( − x 1 )( x − x 2 )

fungsi kuadrat.

c. Diketahui tiga titik pada parabola

1. Hubungan a, b, c, dan D y 2 = ax + bx + c

Fungsi kuadrat fx () ax 2 = + bx + c didapat hubungan:

a. “a ” menentukan keterbukaan kurva.

4. Definit

i. a >0 ⇒ parabola terbuka ke atas.

ii. a <0 ⇒ parabola terbuka ke bawah.

a. Definit Positif

Suatu fungsi kuadrat yang selalu bernilai positif untuk semua x disebut definit positif.

b. Definit Negatif

Suatu fungsi kuadrat yang selalu bernilai negatif

b. Jika ab ⋅>0 maka puncak berada di sebelah kiri untuk semua x disebut definit negatif. sumbu y.

Syarat:

Jika ab ⋅<0 maka puncak berada di sebelah

D < 0 dan a < 0

kanan sumbu y.

c. “c ” menentukan titik potong dengan sumbu y.

i. c >0 ⇒ parabola memotong sumbu y positif.

ii. c =0 ⇒ parabola memotong sumbu y di (0, 0). <0 iii. c ⇒ parabola memotong sumbu y negatif.

D 2 d. “ = b − 4 ac ” menentukan titik potong dengan sumbu x.

i. D > 0 ⇒ parabola memotong sumbu x di

BAB 3 PERTIDAKSAMAAN

C. PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN BENTUK AKAR Sifat yang berlaku pada pertidaksamaan, untuk a, b, c, Langkah penyelesaian:

A. SIFAT UMUM

dan d ∈ R adalah sebagai berikut.

1. Kuadratkan kedua ruas.

1. a > b maka a + c > b + c

2. Syarat di dalam akar harus ≥ 0.

2. a > b, c > d maka a + c > b + d

3. a > b, b > c maka a > c

D. PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN BENTUK NILAI

4. a > b, c > 0 maka a c > b c

MUTLAK

5. a > b, c < 0 maka a c < b c > b, a > 0, b > 0 maka 2 > 6. a 2 a b Nilai mutlak untuk x Î R didefinisikan: > b, a < 0, b < 0 maka

2 7. a 2 a < b ì

x jika

8. > 0 maka a, b > 0 atau a, b < 0 x =- ïï x jika x < 0

íï ïî ïï 0 jika x = 0

B. PENYELESAIAN PERTIDAKSAMAAN Beberapa sifat penyelesaian pertidaksamaan mutlak:

1. x £Û-££ a a x a

n Tanda koefisien pangkat tertinggi sama dengan tanda pada ruas yang paling kanan.

2. x ³ Û £- a x a atau x ³ a n Pangkat genap memiliki tanda yang sama.

3. fx () £ gx () Û (() fx + gx ( ))( ( ) fx - gx ( )) 0 £ n Pangkat ganjil memiliki tanda yang berlawanan.

BAB 4 LOGIKA MATEMATIKA

B. NILAI DAN TABEL KEBENARAN n Pernyataan (proposisi) adalah suatu kalimat yang

A. DEFINISI

bernilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus

B B B B benar dan salah.

B S S n Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat

B B variabel dan menjadi pernyataan jika variabel S

B tersebut diganti konstanta dalam himpunan B

semestanya. Beberapa operator yang digunakan dalam logika. C. NEGASI/INGKARAN

Negasi/Ingkaran Operator No Nama

No

Pernyataan

 p Ú  q 1 Negasi

 p Ù  q 2 Konjungsi

Tidak, bukan

2 pq Ú

dan, tetapi

3 Disjungsi

atau

p Ù  pÚ q  p  Ù  q q 5 Biimplikasi

4 Implikasi Þ

jika...maka

jika dan hanya jika

D. EKUIVALENSI

F. PENARIKAN KESIMPULAN

Pernyataan yang mempunyai nilai kebenaran sama.

Modus Ponens

Modus Tollens Sillogisme

Contoh: p ⇒≡ q  q ⇒  p ≡  p ∨ q

(B)

(B) p Þ q (B)

E. KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI

(B)

(B) q Þ r (B)

\  p (B) \Þ p r (B) n Konvers dari implikasi p Þ q adalah q Þ p

(B)

n Invers dari implikasi p Þ q adalah ~ p Þ~ q n Kontraposisi dari implikasi p Þ q adalah ~ q Þ~ p

BAB 5 SISTEM PERSAMAAN DAN PERSAMAAN GARIS

A. SISTEM PERSAMAAN n Garis g dan h berpotongan tegak lurus jika Sistem persamaan dapat diselesaikan dengan:

mm 1 × 2 =- 1

berpotongan dan membentuk sudut n Metode eliminasi

n Garis g dan h

sebesar a dengan

n Metode substitusi

n Metode campuran m 1 - m

tan

1 + mm

B. PERSAMAAN GARIS

1. Melalui titik ( x 1 , y 1 ) dengan gradien m , berlaku:

y − y 1 = mx ( − x 1 )

2. Garis yang melalui ( x 1 , y 1 ) dan ( x 2 , y 2 ) , berlaku: y − y 1 x − x 1

3. Memotong sumbu x di titik (b, 0) dan sumbu y di titik (0, a) berlaku: y

ax + by = a.b

C. HUBUNGAN ANTARA DUA GARIS

Diketahui garis gy : = mx 1 + c 1 dan garis

hy : = mx 2 + c 2 maka

n Garis g dan h sejajar jika m 1 = m 2

BAB 6 STATISTIKA DAN PELUANG

A. STATISTIKA

Data kelompok:

1. Rata-rata/mean ( x )

Me = Q 2 =+ t b 

Data tunggal:

n = banyak data, t x = tepi bawah kelas yang memuat Me/Q

1 + 2 ++ ... x n ∑ i 1 i

x = data ke-i,

f = jumlah seluruh frekuensi sebelum kelas Me

i = 1, 2, 3, …, n.

f k = frekuensi kelas yang memuat Me

Data kelompok:

4. Kuartil

Nilai yang membagi sekumpulan data yang telah

fx ii

fx 11 + fx 22 ++ ... fx

i 1 f i = banyak data x i ,

terurut menjadi 4 bagian.

nn

Data kelompok:

f 1 +++ f 2 ... f n

n =+++ f 1 f 2 ... f n .

f  Sistem persamaan dapat diselesaikan dengan:

1 = b 1  c n Metode eliminasi

Kuartil bawah (Q 1 ):

  n Metode substitusi

2. Modus (Mo)

n Metode campuran

Modus adalah data dengan frekuensi paling banyak

Q 3 = t b 3  4 () ∑ 3  c

atau data yang paling sering muncul.

Kuartil atas (Q 3 ):

n Data tunggal:

1. Melalui titik

, berlaku:

Contoh: Diketahui data: 3, 3, 6, 8, 7, 9, 9, 7, 5, 7, 7, 7.

Dengan:

Modus dari data tersebut adalah 7.

t b1 /t b3 = tepi bawah kelas yang memuat Q 1 /Q 3

n Data kelompok:

() ∑ f 1 / () ∑ f 3 = jumlah frekuensi sebelum Q 1 /Q 3

2. Garis yang melalui

, berlaku:

f 1 /f 3 = frekuensi kelas yang memuat Q 1 /Q 3

Mo t

=+ b d  c 5. Jangkauan (J)

n Jangkauan atau range dirumuskan dengan:

t b = tepi bawah kelas modus

J = x max − x min

3. Memotong sumbu di titik ( , 0) dan sumbu

d 1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas

titik (0, ) berlaku:

sebelumnya

n Jangkauan antarkuartil (H):

d 2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas

sesudahnya

Jangkauan semi antarkuartil (Q ):

c = panjang kelas

Q d = 1( Q 3 − Q 1 )

3. Median (Me/Q 2 )

Median adalah nilai tengah dari data yang telah 2 diurutkan. Median bisa disebut juga kuartil 2 atau

6. Simpangan rata-rata (SR)

kuartil tengah.

Data tunggal:

Data kelompok:

Data tunggal:

Me n = x

| i − x | maka

Jika n ganjil maka:

fx

2 SR i 1 = i = SR = = 1

2 Jika n + Me 2

genap maka:

A 1 × A 2 × A 3 × ... × Data tunggal: I Data kelompok: n

7. Ragam/variansi (R)

Notasi Faktorial

fx i | − x ∑ |

i 1 n! = 1 × 2 3 2 n × × ... (n – 1) × R S

1! = 0! = 1 n

f ∑ dengan n bilangan asli i

1. Permutasi

8. Simpangan baku/deviasi standar (S) n Permutasi dari sekumpulan unsur-unsur adalah

Data tunggal:

Data kelompok:

cara penyusunan unsur-unsur yang berbeda

dengan memperhatikan urutannya (AB ≠ BA ) | x i − x |

n ∑ Rumus dan notasi yang digunakan dalam ∑

fx − x |

permutasi adalah:

Banyaknya permutasi n unsur yang diambil

dari n unsur adalah P ∑ (n, r) = n!

Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur:

9. Perubahan data n !

Pnr (, ) =

( nr − )! Bila masing-masing data diubah dengan nilai yang

sama, berlaku n Permutasi k unsur dengan terdapat m unsur yang sama, n unsur yang sama dan

unsur yang sama

Perubahan Ukuran

Ukuran

adalah:

data pemusatan

n Banyaknya permutasi siklis (lingkaran) dari n unsur

Catatan:

- adalah Yang termasuk ukuran pemusatan adalah:

x , Mo,

Me ,Q 1 . (n – 1)! -

Yang termasuk ukuran penyebaran adalah: J, H, Q d , S, R.

2. Kombinasi n Kombinasi dari sekumpulan unsur-unsur dengan

B. PELUANG cara penyusunan unsur-unsur yang berbeda tanpa memperhatikan urutan-nya (AB = BA).

Aturan Perkalian n Kombinasi k unsur dari n unsur dilambangkan

dengan n C k atau Cnk (, ) .

Misalkan terdapat n tempat tersedia dengan: n Banyaknya kombinasi k unsur yang diambil dari n n A 1 adalah banyak cara untuk mengisi tempat pertama. unsur adalah

n A 2 adalah banyak cara untuk mengisi tempat n ! kedua setelah tempat pertama terisi.

Cnk (, ) =

( nkk − )! ! n A 3 adalah banyak cara untuk mengisi tempat ketiga

setelah tempat pertama dan kedua terisi.

 3. Peluang Kejadian

n A n adalah banyak cara untuk mengisi tempat ke-n Peluang kejadian A ditulis P (A), ditentukan dengan setelah tempat pertama, kedua, ..., ke (n – 1) terisi. rumus: Banyak cara untuk mengisi n tempat yang tersedia

n (S) = banyaknya anggota semesta secara keseluruhan adalah:

nA ()

PA () =

n (A) = banyaknya anggota A

nS ()

P (A) = peluang kejadian A

4. Peluang Komplemen Suatu Kejadian

b. Kejadian Saling Lepas

Misalkan A c adalah komplemen kejadian A, maka

Dua kejadian A dan B dikatakan kejadian saling

lepas bila A dan B tidak punya irisan, yang

PA ()1 c

=− PA ()

berakibat PA ( ∩ B ) = 0, sehingga PA ( ∪= B ) PA () + PB ()

5. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian Frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan

c. Kejadian Saling Bebas

adalah

A dan B disebut dua kejadian saling bebas bila kejadian yang satu tidak dipengaruhi kejadian

FH (A) = n × P (A)

lainnya.

6. Peluang Kejadian Majemuk ∩= B ) PA ( ) P(B) ⋅

PA (

a. Gabungan Dua Kejadian

Untuk setiap kejadian A dan B berlaku

PA ( ∪= B ) PA () + PB () − PA ( ∩ B )

BAB 7 TRIGONOMETRI

Dalam sebuah segitiga ABC berlaku hubungan:

sin(90 o

) cos

-= o a a sin(180 -= a ) sin a

b o sin(90 + a ) cos = a sin(180 +=- a ) sin a

sin x =

c cos(90 o

-= o a ) sin a cos(180 -=- a ) cos a

b cos x =

cos(90 +=- a ) sin a cos(180 +=- a ) cos a

b o a tan(180 -=- a ) tan a x

tan(90 o -= a ) cot

tan x =

B a C a tan(90 o +=- ) cot

a o a tan(180 + a ) tan = a sin(270 o -=- a ) cos a sin(360 o

A. SUDUT-SUDUT ISTIMEWA -=- a ) sin a

sin(270 o o o o o o +=- a ) cos a sin(360 o + a ) sin = a

1 -=- a ) sin a cos(360 o -= a ) cos ½ a 2 ½ 3

cos(270 o

Sin

0 cos(270 + a ) sin = a cos(360 o + a ) cos = ½ a 3 ½ 2

Cos

tan(270 o

) cot

-= a a tan(360 o ) tan

-=- a a tan(270 o +=- a ) cot a tan(360 o + a ) tan = a

Tan

B. SUDUT-SUDUT BERELASI

90 o y

C. IDENTITAS TRIGONOMETRI

Kuadran II

Dalam trigonometri juga berlaku sifat-sifat: Sin, Cosec

Kuadran I

1. 2 positif

Semua positif

0 4. tan x += 1 sec cos x x sin 2 Kuadran III 1 Kuadran IV 2. x + cos 2 x = 1 5. = sec x

cos x Tan, Cot

3. 1 = co sec x 6. 1 + cot 2 x = cos 2 ec x Positif

Cos, Sec

Positif

sin x

360 o

D. ATURAN SINUS DAN COSINUS

2sin cos x y = sin( x ++ y ) sin( x - y )

C Pada setiap segitiga sembarang 2cos sin x y = sin( x +- y ) sin( x - y ) ABC berlaku aturan sinus, yaitu:

2cos cos x y = cos( x ++ y ) cos( x - y )

b a a b c - 2sin sin x y = cos( x +- y ) cos( x - y )

A c B sin A sin B sin C

H. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Pada tiap segitiga sembarang ABC berlaku aturan

TRIGONOMETRI

cosinus, yaitu:

a. Sinus

2 2 a 2 = b +- c 2 bc cos A sin x = sin α

b o = a +- c 2 ac cos B x

1 =+ α k .360 atau x 1 = (180 − α ) + k .360

2 2 c 2 = a + b - 2 ab cos C b. Cosinus

cos x = cos α x =±+ α k .360 o

E. MENGHITUNG LUAS SEGITIGA Jika pada suatu segitiga ABC diketahui besar sudut dan

c. Tan

dua sisi yang mengapit sudut, maka berlaku hubungan: tan x = tan α

1 x =+ k .180 o α

F. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH SUDUT

sin( AB += ) sin cos A B + cos sin A B sin2 x = 2sin cos x x sin( AB A B A cos2

2 −= 2 ) sin cos − cos sin B x = cos x − sin x

cos( AB += ) cos cos A B − sin sin A B = 2cos 2 x − 1 cos( AB −= ) cos cos A B + sin sin A B =− 1 2sin 2 x

tan A tan tan ( B AB += + )

2tan x

− 1 tan A ⋅ tan B tan2 x = − 1 tan 2 x

tan A − tan B tan ( AB −= ) + 1 tan A ⋅ tan B

G. RUMUS PERKALIAN SINUS-COSINUS

1 sin 1

A + sin B = 2sin ( AB + )cos ( AB − )

1 sin 1

A − sin B = 2cos ( AB + )sin ( AB − )

1 cos 1

A + cos B = 2cos ( AB + )cos ( AB − )

1 cos 1

A − cos B =− 2sin ( AB + )sin ( AB − )

BAB 8 DIMENSI TIGA

A. JARAK

B. SUDUT

Jarak Antara Dua Titik

Sudut Dua Garis Bersilangan

Adalah panjang garis lurus yang menghubungkan Misalkan garis g dan h bersilangan maka cara kedua titik itu.

melukis sudut antara garis g dan h adalah:

lukis garis g’ yang sejajar g dan memotong h,

sudutnya = sudut antara garis g’ dan h. Panjang ruas garis AB menunjukkan jarak antara

titik A dan titik B.

Sudut Antara Garis g dan Bidang V

Jarak Titik ke Garis

Langkah:

Adalah panjang garis tegak lurus dari titik ke garis.

proyeksikan garis g ke bidang V, sebut

A hasilnya g’,

sudutnya = sudut antara garis g dan g’.

Sudut Antara Dua Bidang

B Langkah:

tentukan perpotongan antara bidang V dan yang ditunjukkan oleh ruas garis AB yang tegak

AB menunjukkan jarak antara titik A dan garis g

W sebut l,

lukis garis di bidang V tegak lurus l, sebut g,

lurus g.

Jarak antara Titik dengan Bidang

lukis garis di bidang W tegak lurus l, sebut h, Adalah panjang garis tegak lurus dari titik ke

sudutnya = sudut antara garis g dan h. bidang atau panjang garis lurus dari titik ke titik

proyeksinya pada bidang.

Jarak antara P dan bidang ditun- jukkan oleh garis m yang tegak lurus bidang.

BAB 9 LINGKARAN

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang n Persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan jari- berjarak sama terhadap suatu titik tertentu.

jari = r.

2 A. PERSAMAAN LINGKARAN 2 2 ( x − a )( + y − b ) = r

(a, b)

Persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari

jari = r. y

x 2 2 2 + (0, 0) y = r

Persamaan lingkaran dengan pusat (0, b) dan (0, 0)

menyinggung sumbu x:

B. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA

2 ( 2 x 2 − a )( + y − b ) = b LINGKARAN

(0, b) r

1. Diketahui titik singgungnya ( xy 1 , 1 )

Persamaan garis singgung pada lingkaran x 2 + y 2 =r 2 di titik (x 1 ,y 1 ). Rumus:

xx 1 + 2 yy 1 = r

Persamaan lingkaran dengan pusat (a, 0) dan

Persamaan garis singgung pada lingkaran menyinggung sumbu y:

2 2 ( x − a )( + y − b ) = r 2 2 di titik (x 1 ,y 1 ). Rumus:

( x − a )( + y − b ) = a x

1 − a + y − by 1 − b = r (a, 0)

Persamaan garis singgung di titik P(x 1 ,y 1 ) pada lingkaran: x 2 +y 2 + 2ax + 2by + c = 0.

Rumus:

Persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan xx 1 + yy 1 + ax ( 1 ++ x ) by ( 1 ++= y ) c 0 menyinggung garis px + qy + r = 0.

2. Diketahui gradien m

px + qy + r = 0

Persamaan garis singgung dengan gradien m

2 2 (a, b) 2 d ( x − a )( + y − b ) = d pada lingkaran yang berpusat di titik O(0, 0) dan jari–jari r.

Rumus:

1 = 2 mx ± r + m ap bq r

Dengan d + = + . Jari-jari lingkaran

Persamaan garis singgung dengan gradien m p 2 + q 2 pada lingkaran (x – a) 2 + (y – b) 2 2 adalah d.

=r . Rumus:

y 2 −= b mx ( − a ) ± r 1 + m

1. Persamaan Umum Lingkaran

2 x 2 + y + Ax + By += C 0 C. HUBUNGAN GARIS DENGAN LINGKARAN Diberikan garis g : y = mx + n dan lingkaran:

 A B 2 B 2 2 2  2 A L ≡ x + y = r Pusat . Hubungan antara garis g dan lingkaran  − , −  dan jari-jari r =

4 4 L dapat diselidiki dengan cara:

2. Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran

Substitusi garis g ke L.

Selanjutnya, ada 3 kemungkinan yang terjadi, Diketahui sebuah lingkaran dengan persamaan

yaitu: L :x 2 +y 2 + 2ax + 2by + c = 0 dan sebuah titik A(x 1 ,

1. D y > 0, maka garis memotong lingkaran pada

1 ). Kedudukan titik A(x 1 ,y 1 ) terhadap lingkaran L

dua titik,

adalah:

2. D = 0, maka garis memotong lingkaran pada

K=x 2 +y 1 2 1 + 2ax 1 + 2by 1 +c

satu titik (garis menyinggung lingkaran),

3. D < 0, maka garis tidak menyinggung lingkaran.

K > 0 maka titik A(x 1 , y 1 ) berada di luar

lingkaran.

K < 0 maka titik A(x 1 , y 1 ) berada di dalam

lingkaran.

1 2 n 3 K = 0 maka titik A(x

1 ,y 1 ) berada pada lingkaran.

BAB 10 SUKU BANYAK

Bentuk umum:

Suatu suku banyak f(x) jika dibagi (ax – b) maka dengan a b

0, n bilangan cacah. a n ,a n-1 ,a n-2 , ... , a 1 ,

sisanya = f( a ).

a 0 disebut koefisien-koefisien suku banyak dari masing- n Jika (x – a) habis dibagi/faktor dari suku banyak f(x) masing peubah (variabel) x yang merupakan konstanta

maka f(a) = 0.

real dan a n ≠

0. Sedangkan a 0 disebut suku tetap

(konstanta).

D. TEOREMA FAKTOR

A. NILAI SUKU BANYAK

Jika f (a) = S = 0, sehingga a merupakan pembuat nol suku banyak f(x), maka (x – a) adalah faktor

Nilai dari f(k) dapat dicari dengan:

dari suku banyak f(k).

1. Cara Substitusi Jika pada suku banyak f(x) berlaku f(a) = 0 dan f(b) Jika f (x) = x 4 – 2x 3

+x + 5 maka nilai suku banyak = 0, maka f(x) habis dibagi (x – a) (x – b). tersebut untuk x = 1 adalah

Jika (x – a) adalah faktor dari f(x), maka x = a adalah

f (1) = (1) – 2.( 1) +1+5 =5

akar dari f (x).

2. Metode Horner

Jika ax 3 + bx 2 + cx + d adalah suku banyak maka

E. OPERASI AKAR-AKAR PADA SUKU BANYAK

f (h) diperoleh cara sebagai berikut.

a b c d n Fungsi derajat tiga: ax 3 + bx 2 + cx + d =0

Berarti kalikan dengan h

xxx 1 3. . . 2 3 =−

B. PEMBAGIAN SUKU BANYAK

4 3 Jika suatu suku banyak f(x) berderajat n dibagi oleh 2 n Fungsi derajat empat: ax + bx + cx + dx + e =0 suku banyak g(x) berderajat kurang dari n, maka

1. x 1 + x 2 + x 3 + x 3 =−

didapat suatu hasil bagi h (x) dan sisa pembagian s(x),

a secara matematis pembagian ini dapat ditulis:

2. xx 1 2 + xx 1 3 + xx 1 4 + xx 2 3 + xx 2 4 + xx 3 4 =

f (x) = h(x) g(x) + s(x)

3. Keterangan: xxx 1 2 3 + xxx 1 3 4 + xxx 1 2 4 + xxx 2 3 4 =−

a f (x) = yang dibagi  berderajat n

g (x) = pembagi  berderajat k

xxxx 1 4. . . . 2 3 4 =

a s (x) = sisa

h (x) = hasil bagi  berderajat (n – k)

 berderajat (k – 1) Catatan: k < n

C. TEOREMA SISA

Suatu suku banyak f(x) jika dibagi (x – a) maka sisanya = f(a).

Suatu suku banyak f(x) jika dibagi (x + a) maka sisanya = f(–a).

BAB 11 FUNGSI KOMPOSISI DAN INVERS

Relasi dari himpunan A ke himpunan B terjadi jika

ada anggota A dan B yang berpasangan. Himpunan

A disebut domain/daerah asal, himpunan B disebut

f daerah kawan/kodomain, dan himpunan bagian B (x) yang berpasangan dengan A disebut daerah hasil atau

f -1

range. Fungsi adalah suatu relasi yang mengawankan A B setiap anggota domain dengan tepat satu kawan Sehingga jika f (x) = y maka f -1 (y) = x. Fungsi invers

dengan anggota kodomain ditulis f : A → B .

berlaku:

A. FUNGSI KOMPOSISI

fa () =⇔ b f -1 () b = a

f g Rumus,

g (f(x))

fx () =

Þ f () x

gof

C. INVERS KOMPOSISI FUNGSI

( gf  )( ) x = ffx ( () )

Sifat-sifat fungsi komposisi:

f (x) g (f(x)) n

I adalah fungsi identitasi di mana I(x) = x, maka (gof) -1

1 berlaku 1 If  = fI  dan f −  − f = f  f = I Sifat:

− B. FUNGSI INVERS 1 ( gf  )() x

1 = 1 f − ( −  g ) () x

Suatu fungsi mempunyai fungsi invers jika fungsi itu berkorespondensi satu-satu. Invers fungsi f(x)

dinotasikan f − 1 () x .

BAB 12 LIMIT

A. TEOREMA LIMIT

lim x a lim

k. f (x) = k. x → a f (x), k konstanta

Jika f (x) = k, maka lim

f (x) = k, dengan k konstanta,

lim {f (x). g(x)} = lim f (x). lim g (x)

k dan a ∈ real

Jika f (x) = x, maka lim f (x) = a

gx ( ) lim ( )

gx

→ a { } = lim ( ) x fx → a x → a x → a { x → a }

lim {f (x) ± g (x)} = lim f (x) ± lim g (x)

lim ( ) x fx

B. LIMIT ALJABAR

C. LIMIT TRIGONOMETRI

1. Bentuk

x → 0 nx = n Relasi dari himpunan ke himpunan

sin x sin mx 0 m lim

1 lim

sin ( mx − a ) m yang berpasangan. Himpunan

a. Dengan pemfaktoran.

x → a = domain/daerah asal, himpunan

b. Dengan aturan L’Hospital diperoleh:

daerah kawan/kodomain, dan himpunan bagian

lim x → a = lim x → a =

0 = yang berpasangan dengan 1 daerah hasil → x

adalah suatu relasi yang mengawankan

x → 0 = 2. 1 Bentuk tak tentu tan x

lim

setiap anggota domain dengan tepat satu kawan

dengan anggota kodomain ditulis

Beberapa rumus bantu:

Untuk n = m ⇒= L

p 2 4. 1 – cos 2x = 2 sin x

Untuk n >m ⇒=∞ L

5. 2 1 + cos 2x = 2cos x

Untuk n <m ⇒= L 0

3. Bentuk tak tentu ∞−∞

Rumus cepat:

x ®¥ (

ax 2 lim b + bx +- c px 2 -

+ qx += r

( Jika a = p )

=  ( Jika a > p )

adalah fungsi identitasi di mana ( ) = maka

=-  ( Jika a < p )

Suatu fungsi mempunyai fungsi invers jika fungsi

BAB 13 TURUNAN

itu berkorespondensi satu-satu. Invers fungsi ( )

A. DEFINISI

3. Turunan penjumlahan/pengurangan fungsi.

Jika y = u (x) ± v (x) maka y’ = u’(x) ± v ’(x)

h 4. Turunan perkalian fungsi. Jika y = u (x).v(x) maka y’ = u’(x).v(x) + u(x) v’(x)

B. RUMUS DASAR

5. Turunan pembagian fungsi.

1. Turunan suatu konstanta c.

ux ()

uxvx '( ). ( ) uxvx ( ). '( )

( ) = , maka

( ) = , dengan konstanta,

Jika y =

maka y ' =

Jika y = c maka y’ = 0

2. Turunan perkalian fungsi dan konstanta.

6. Turunan fungsi komposisi (dalil rantai).

Jika y = c f (x) maka y’ = c f’ (x)

dy dy dg Jika y = f (g(x)) adalah = . dx

dg dx

7. Turunan fungsi pangkat. Gradien = nilai turunan pertama f(x) ketika x = x 1 .

Jika f n1 (x) = ax maka f’(x) = a.n x − m =f ’(x 1 ) Persamaan garis singgungnya:

Turunan Trigonometri y − y 1 = mx ( − x 1 ) n f (x) = sin ax, maka f’(x) = a cos ax

n f (x) = cos ax, maka f’(x) = –a sin ax n Interval fungsi naik dan interval fungsi turun n 2 f (x) = tan ax, maka f’ (x) = a sec ax

Kurva naik jika: f’(x) > 0 Kurva turun jika: f’(x) < 0

C. PENERAPAN TURUNAN

n Keadaan stasioner

Bila keadaan stasioner terjadi di titik (,) xy 1 1 maka

f ’(x 1 ) = 0. y 1 = fx () disebut nilai stasioner. kurva f (x)

n Gradien (m) garis singgung di titik ( xy 1 , 1 ) pada

Jadi nilai maksimal/minimum adalah . 1 ( , ( )) xfx 1 1

( xy 1 , 1 )

Catatan:

m=f ’(x)

Titik stasioner sama artinya dengan titik puncak/

f (x)

titik balik.

BAB 14 INTEGRAL

Integral adalah anti turunan.

C. INTEGRAL PARSIAL

′ () f x dx fx ∫ () = + C UdV = UV − ∫ VdU ∫

A. RUMUS DASAR

D. LUAS DAERAH

1. ∫ a dx = ax + C b

x + C , syarat n ≠− 1 L = ( y atas − y bawah ) ∫ dx

2. x dx

3. b ∫ dx = ln x + C

L = ( y 2 − ∫ y dx 1 )

4. sin x dx =− cos x + C

5. ∫ cos x dx = sin x + C

6. ∫ s in xc os xdx

s in = + x + C

kiri ) ∫

cos + x C ∫

x dy

kanan

7. cos x sin x dx

8. ( fx () ± gx ∫ () ) dx = () ∫ f x dx ± () ∫ g x dx

L = x − x dy ∫ ( 2 1 )

B. INTEGRAL SUBSTITUSI c

n + ( 1 fx ()

fx '( ) fx () dx

E. VOLUME BENDA PUTAR

Jika x 1 dan x 2 dua fungsi kontinu pada r ≤≤ x s , maka volume benda putar yang dibatasi oleh x

Jika y dan y dua fungsi kontinu pada p x q , maka

1 dan x 2

terhadap sumbu y.

volume benda putar yang dibatasi oleh y 1 dan y 2 bila diputar terhadap sumbu x.

V = 2 π   () y 2 − () y 2 1  dx

V 2 = 2 π ∫  ( y jauh ) − ( y )

  dx

dekat

V 2 = 2 π   () x () ∫ 2 − x 1  dy

= 2 − ( x dekat )  dy

V π 2   ( x ∫ jauh )

BAB 15 PROGRAM LINEAR

Integral adalah anti turunan. Program linear adalah salah satu bagian dari

B. NILAI OPTIMUM FUNGSI OBJEKTIF

matematika terapan yang dapat memecahkan berbagai persoalan sehari-hari, di mana model matematika Hasil optimum terletak pada/di sekitar titik pojok terdiri atas pertidaksamaan-pertidaksamaan linier atau pada garis batas daerah penyelesaian sistem yang mempunyai banyak penyelesaian, satu atau pertidaksamaan, dengan demikian nilai optimum lebih memberikan hasil yang paling baik (penyelesaian (maksimum/minimum) fungsi objektif dapat ditentu- optimum).

kan dengan:

n Masalah tersebut disajikan dalam bentuk model  Penggunaan Garis Selidik

matematika kendala/syarat/masalah berupa sis-

Jika fungsi objektif fxy (,) = Ax + By + C , maka

tem pertidaksamaan linear.

garis selidiknya adalah Ax + By += C k .

n Hasil yang optimum ditentukan dengan terlebih

n Nilai maksimum terjadi di titik pojok/garis

dahulu membuat model matematika. Sasaran pro-

batas paling kanan yang dilintasi garis selidik.

gram berupa sebuah fungsi linier yang disebut

n Nilai minimum terjadi di titik pojok/garis

fungsi sasaran/tujuan/objektif.

batas paling kiri yang dilintasi garis selidik.  Pengujian Titik Pojok

A. MENENTUKAN HIMPUNAN PENYELESAIAN

Jika fungsi objektif fxy (,) = Ax + By + C disubstitusi

Daerah (himpunan) penyelesaian pertidaksamaan

dengan seluruh koordinat titik pojok, maka hasil

Ax + By +≥ C 0 atau Ax + By +≤ C 0 dapat ditentukan

yang terbesar/terkecil merupakan nilai optimum

dari fungsi objektif tersebut.

sebagai berikut.

n Jadikan A (koefisien x) bernilai positif. n Jika tanda pertidaksamaan ≥ , maka daerah pe-

nyelesaian di sebelah kanan garis Ax + By += C 0 . n Jika tanda pertidaksamaan ≤ , maka daerah penyelesaian di sebelah kiri garis Ax + By += C 0 .

BAB 16 BARISAN DAN DERET

A. BARISAN ARITMATIKA

n Suku pertama = U 1 = a

Barisan dengan selisih di antara dua suku yang

U berurutan besarnya sama.

2 3 = n = == ... n Suku ke-n U 1 U 2 U n − Contoh: 2, 4, 6, 8, ...  selisih 2. 1

n Rasio ⇒ r

U ar n − 1 n =⋅ Jika UUU 1 , , ,..., 2 3 U n merupakan suku-suku pada

barisan aritmatika maka: n Jumlah n suku pertama () S n

n Suku pertama = U 1 = a

n Beda ⇒ b = U 2 − U 1 = U 3 − U 2 = ... = U n − U n − 1 S n = ( ) atau S n = ( )

ar − n − 1

n Suku ke-n

U n =+− a ( n 1) b

C. DERET GEOMETRI TAK HINGGA n Jumlah n suku pertama () S n n Rumus jumlah deret geometri tak hingga:

an

S = (2 a +− ( n b 1) ) atau S = ( aU + )

n Jumlah tak hingga dari suku-suku ganjil:

B. BARISAN GEOMETRI

S ganjil =

1 − r 2 Barisan dengan rasio antara 2 suku yang berurutan n Jumlah tak hingga dari suku-suku genap: adalah sama.

Contoh: 1, 2, 4, 8, ...  rasio 2 ar

S genap =

1 − r 2 Jika UUU 1 , , ,..., 2 3 U n merupakan suku-suku pada barisan geometri, maka:

n Rasio deret geometri tak hingga: S genap

S ganjil Deret geometri mempunyai jumlah/limit/konvergen

jika −<<⇔< 1 r 1 r 1 .

BAB 17 MATRIKS

Matriks adalah kumpulan elemen–elemen yang Ordo dari matriks dinyatakan oleh banyaknya baris dan disusun dalam baris dan kolom.

kolom. Pada matriks A, karena banyak baris = m dan

Contoh:

banyak kolom = n, maka matriks A memiliki ordo m ×

 a 11  a 1 n 

n , dan ditulis A mn .

A  =    

Kesamaan Matriks

mn 

Dengan:

Dua buah matriks dikatakan sama jika: a 11 : anggota matriks A pada baris ke-1 dan kolom ke-1

1. ordonya sama

a mn : anggota matriks A pada baris ke-m dan kolom ke-n

2. anggota yang seletak harus sama

Contoh:

Determinan matriks B:

Jika A = B , maka a 1 =b 1 ,a 2 =b 2 ,a 3 =b 3 ,

a 4 =b 4 ,a 5 =b 5 ,a 6 =b 6

Barisan dengan selisih di antara dua suku yang +++

berurutan besarnya sama. = (aei + bfg + cdh) – (gec + hfa + idb) Contoh: 2, 4, 6, 8, ... 

Transpose Matriks

Jika pada satu matriks baris diubah menjadi kolom dan kolom diubah menjadi baris, maka akan didapat satu

C. INVERS

merupakan suku-suku pada

matriks baru yang disebut transpose matriks.

barisan aritmatika maka:

n Suatu matriks mempunyai invers jika

determinannya tidak nol. n Suku pertama =

Transpose matriks A = A t

=A T

ad − bc  − c a   n Suku ke-

B. DETERMINAN

Determinan hanya dimiliki matriks-matriks persegi.

n Matriks A disebut matriks singular jika det A = 0

n Matriks 2 × 2: A 

n () A = A

n AA − ⋅ 1 = A − 1 ⋅ A = I

n Jumlah suku pertama

Determinan matriks A: det A = A = ad − bc Dengan: 10 I 22 × =  

I 33 x = 010 , I = matriks

a b c identitas.

 n Matriks 3 × 3: B =  d e f  

Barisan dengan rasio antara 2 suku yang berurutan adalah sama. Contoh: 1, 2, 4, 8, ... 

BAB 18 VEKTOR

merupakan suku-suku pada barisan geometri, maka:

Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan

2. Panjang vektor a dinotasikan sebagai

arah. Notasi vektor: abc , , , dan seterusnya.

a dibaca “vektor a”.

Bxyz (,,)

3. Jika a aaa ,, dan b bbb

= ( 1 ,, 2 3 ) maka

Axyz (,,)

1 1 1 a += b ( a

1 + ba 1 , 2 + ba 2 , 3 + b 3 )

AB =−= B A ( x 2 − xy 1 , 2 − yz

1 , 2 − z 1 4. Jika k

adalah skalar, dan ,, maka

a ) = ( aaa 1 2 3 )

ka = ( ka ka ka 1 , 2 , 3 )

Vektor posisi adalah vektor dengan titik pangkalnya adalah pusat koordinat.

Vektor Satuan

Vektor posisi dari titik A adalah OA = a .

adalah kumpulan elemen–elemen yang n Vektor satuan adalah vektor yang besarnya satu disusun dalam baris dan kolom.

Sehingga dari definisi vektor posisi AB =− ba .

satuan.

Contoh:

Dua vektor dikatakan sama jika mempunyai besar dan arah yang sama.

n Vektor satuan searah sumbu x adalah i = ( 1, 0, 0 )

dan vektor satuan searah sumbu y adalah

A. OPERASI-OPERASI PADA VEKTOR

j = ( 0, 1, 0 ) dan vektor satuan searah sumbu z

 a 1 adalah k = ( 0, 0, 1 ) .

Dengan:

: anggota matriks pada baris ke-1 dan kolom ke-1

1. a = ai 1 + aj

2 + ak 3 = ( aaa 1 ,, 2 3 ) = a 2

a : anggota matriks pada baris ke- dan kolom ke-

n Vektor satuan dari a adalah .

 a 3

Rumus Pembagian Ruas Garis

C. PROYEKSI

Jika p adalah vektor posisi

ab dari titik P yang membagi garis AB dengan perbandingan

AP PB : = mn : , maka

bc  a bc

  mbna . + .

Bila c adalah vektor proyeksi a pada maka: = b

mn +

  n Besar c (panjang vektor proyeksi a pada b ):

B. PERKALIAN TITIK/SKALAR (DOT PRODUCT)

c = a cos θ =  b

ab .

n Diketahui a = ( aaa 1 ,, 2 3 ) dan b = ( bbb 1 ,, 2 3 ) maka

  n Vektor c proyeksi vektor a pada b :

ab . =⋅+⋅+⋅ ab 1 1 ab 2 2 ab 3 3

ab . 

c =  2   . () b

n Diketahui a , b dan ∠ ab , = α maka

ab . = ab . .cos θ ⇔ cos θ = 

ab .

ab .

BAB 19 TRANSFORMASI GEOMETRI

Jika suatu transformasi dapat disajikan sebagai matriks

B. REFLEKSI/PENCERMINAN  a b 

M T = maka Pxy (,) M → T Pxy '( ', ')

n Pencerminan titik P(x,y) terhadap sumbu x 

dengan

 menghasilkan bayangan P’(x, –y).

 x ' a b   x

(,) Pxy sumbu x → Px '( , ) − y

 = c    y ' d   y

 Matriks transformasinya adalah 10   01 −  

A. TRANSLASI n Pencerminan titik P(x,y) terhadap sumbu y Translasi (pergeseran) yaitu pemindahan suatu objek

menghasilkan bayangan P’(–x, y). sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak tertentu.

(,) Pxy sumbu y → − P '( , ) xy Matriks transformasinya adalah  − 10   

 01  n Pencerminan titik P(x,y) terhadap sumbu y = x menghasilkan bayangan P’(y, x). (,) Pxy garis = yx → Pyx '( , )

 01  Matriks transformasinya adalah  

Jika sembarang titik P(x,y) ditranslasi dengan matriks T  10   a  x ' x = a

 , maka  = + . Jadi Pxay '( + , + b ) .

 b  y ' y b  b  y ' y b

menghasilkan bayangan P’(–y, –x) Pxy (,) garis y =− x  →−− P '( , ) y x

Matriks transformasinya adalah 

n Matriks refleksi terhadap garis y = x + k  x ' 01  x  0

n Matriks refleksi terhadap y = –x + k

n Refleksi terhadap garis x = h

D. DILATASI

Pxy (,) xh = → P '(2 h − xk ,)

Dilatasi adalah suatu transformasi yang mengubah

n Refleksi terhadap garis y = k

ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu

Pxy (,) yk = → Pxk '( ,2 − y )

bangun, tetapi tidak mengubah bentuk bangun yang

n Refleksi terhadap garis x = h lalu y = k

bersangkutan. Dilatasi ditentukan oleh titik pusat dan

Pxy (,) xhyk = , = → P '(2 h − xk ,2 − y )

faktor dilatasi (faktor skala). n Matriks transformasi dilatasi dengan faktor skala k

n Pencerminan terhadap dua garis yang saling

adalah

berpotongan  k 0 Pencerminan terhadap dua garis yang berpotongan 

 yaitu garis y 1 = mx 1 + c 1 dan y = mx + c 0 2 k 2 2  

akan menghasilkan rotasi dengan:

n Dilatasi dengan pusat (0, 0) dengan faktor skala k

a. pusat di titik potong dua garis,

 x ' k 0   x

b. besar sudut rotasi sama dengan dua kali lipat

 = y ' 0 k   y

  Jika suatu transformasi dapat disajikan sebagai matriks

sudut antara kedua garis,

c. arah rotasi sama dengan arah dari garis

Dilatasi dengan pusat (a, b) dengan faktor skala k

 x ' − a  k 0  x − a  maka

pertama ke garis kedua.

Jika α sudut yang dibentuk antara garis

 y ' − b  =

 0 k   y − b 

y 1 = mx 1 + c 1 dan y 2 = mx 2 + c 2 , maka

tan

E. KOMPOSISI TRANSFORMASI

1 + mm 1 ⋅ 2

Jika transformasi T 1 bersesuaian dengan matriks M 1

dan transformasi T 2 bersesuaian dengan matriks M 2 , (pergeseran) yaitu pemindahan suatu objek

C. ROTASI

Rotasi (perputaran) pada bidang geometri ditentukan maka transformasi T 1 lalu transformasi T 2 ditulis T 2  T 1

oleh titik pusat, besar sudut, dan arah sudut rotasi.

bersesuaian dengan matriks MM 2 ⋅ 1 .

Suatu rotasi dikatakan memiliki arah positif jika rotasi itu berlawanan arah dengan arah putaran jarum jam, berlaku sebaliknya. n Rotasi dengan pusat (0, 0) sebesar α

 x ' cos α − sin α   x  =  y ' sin α cos α     y

Jika sembarang titik ( , ) ditranslasi dengan matriks , maka

FISIKA

BAB 1 BESARAN

Besaran adalah sesuatu yang memiliki nilai dan dapat

B. BESARAN SKALAR DAN VEKTOR diukur. Menurut penyusunnya besaran dibagi menjadi dua, yaitu besaran pokok dan turunan. Sedang menurut -

Besaran skalar: besaran yang hanya memiliki nilai arahnya terbagi menjadi 2, yaitu besaran skalar dan

tetapi tidak memiliki arah, contoh: massa dan vektor.

waktu.

Besaran vektor: besaran yang memiliki nilai dan arah, contoh: kecepatan, perpindahan, momentum.

A. BESARAN POKOK DAN BESARAN TURUNAN

n Dua Vektor Berpadu

Besaran pokok : besaran yang satuannya telah

2 - 2 Resultan: R =+= F

1 F 2 ()() F 1 + F 2 + 2 FF 12 cos θ

ditentukan terlebih dahulu. -

Besaran turunan: besaran yang diturunkan dari

Selisih: F 1 −= F 2 ()() F 1 + F 2 − 2 FF 12 cos θ

besaran pokok.

Satuan dan Dimensi Besaran Pokok n Resultan dari Dua Vektor dengan Sudut Tertentu

Besaran Pokok

kuat arus listrik

()() F 1 + F 2 R =− F 1 F 2 R =+ F 1 F 2

intensitas cahaya

cd [J]

jumlah zat

mol

[N]

n Uraian Vektor

Contoh Besaran Turunan

F x = F cos α dan F y = F sin α Percepatan (a)

Besaran Turunan

2 Gaya (F) F kg m/s = newton MLT -2 1 F F Arah:

tan y α = ∑

Momentum (p)

F x Energi/usaha

kg m/s

ML T -1

kg (m/s) 2 = joule

ML 2 T -2

Daya (P)

kg m 2 /s 3 ML 2

T -3

C. PENGUKURAN

e. Angka-angka nol yang digunakan hanya untuk tempat titik desimal adalah bukan angka penting.

Alat ukur

Contoh: 0,0075 memiliki 2 angka penting. Mistar

Ketelitian

1 mm

n Aturan Penjumlahan atau Pengurangan

Rol meter

1 mm 0,1 mm

Hasil penjumlahan atau pengurangan hanya boleh Jangka sorong

Mikrometer sekrup

0,01 mm

mengandung satu angka taksiran (angka terakhir dari suatu bilangan penting).

D. ATURAN ANGKA PENTING

Contoh: 4,461

→ 1 adalah angka taksiran

→ 7 adalah angka taksiran

a. Semua angka bukan nol adalah angka penting.

→ ada dua angka taksiran

b. Angka nol yang terletak di antara dua angka bukan Sehingga dibulatkan menjadi 5,53; karena hanya nol termasuk angka penting.

boleh mengandung satu angka taksiran. Contoh: 3,002 memiliki 4 angka penting.

c. Semua angka nol yang terletak pada deretan akhir n Aturan Perkalian atau Pembagian

dari angka-angka yang ditulis di belakang koma Hasil operasi perkalian atau pembagian hanya desimal termasuk angka penting.

boleh memiliki angka penting sebanyak bilangan Contoh: 0,03600 memiliki 4 angka penting.

yang angka pentingnya paling sedikit. 2,30 memiliki 3 angka penting.

Contoh:

→ 3 angka penting

d. Dalam notasi ilmiah, semua angka sebelum orde 1,2 ´ → 2 angka penting termasuk angka penting.

→ 4 angka penting Contoh: 2,6 ´ 10 4 memiliki dua angka penting.

Dibulatkan menjadi 2,9 (2 angka penting). 9,60 ´ 10 4 memiliki tiga angka penting.

BAB 2 KINEMATIKA GERAK LURUS

Suatu benda dikatakan bergerak jika ia berpindah Penerapan dari GLBB posisi ditinjau dari suatu titik acuan dalam selang

1. Gerak jatuh bebas

waktu tertentu. perpindahan

♦ a = g (percepatan gravitasi) kecepatan =

⇒ besaran vektor

♦ V =0

h ♦ V t =gt lintasan

waktu

laju = ⇒ besaran skalar

h . waktu 2 ♦ t = gt

Konsep: Gerak Lurus, dibagi menjadi 2; GLB (a = 0)

2. Gerak benda dilempar vertikal ke atas

dan GLBB (a≠0).

A. GERAK LURUS BERATURAN (GLB) ♦ a = –g ♦ Percepatan, a = 0

♦ Ketinggian maksimum: ♦ V 2

t =V 0 h v max o = ♦ S = V t

h maks

2. g ♦ Waktu sampai puncak:

B. GERAK LURUS BERUBAH BERATURAN (GLBB) vt

puncak = ♦ a ≠ 0

g ♦ V t =V o + at ♦ S t =V t + 1/2 a t 2

2 ♦ V 0 t =V 2 0 + 2as

  dv

C. PERPADUAN DUA GERAK LURUS

n Percepatan: a =

1. GLB dengan GLB dt

() S a x y

besar (|a|): a = () a +

v R = () v P + () v

∆ r n r Kecepatan rata-rata: − r v  = = 2 1 ∆ t

2. GLBB dengan GLB

v v v Benda diluncurkan horizontal dari ketinggian h

n Percepatan rata-rata: a  ∆

∆ t dengan kecepatan v.

v ♦ Waktu sampai di tanah:

E. GERAK MELINGKAR

Konsep:

♦ Jarak mendatar maksimum: Rumus gerak melingkar beraturan (GMB) identik

2 h dengan GLB, dan gerak melingkar berubah beraturan

X X ma ks = maks v g (GMBB) identik dengan GLBB.

3. Gerak parabola

Hubungan gerak rotasi dan gerak lurus

Y maks

1. Sifat dari sistem roda sederhana

a X maks

Dua roda

Dihubungkan Bersinggungan

n Kecepatan:

sepusat

tali

arah X :v x =v o cos a arah Y :v y =v o sin a – g.t

n Posisi:

arah X = (v o cos a).t dan ω A = ω B v A = v B v A = v B

arah Y 1 = (v sin a)t – g.t 2

0 Waktu sampai ke puncak: sin t α

2. Gerak Melingkar Beraturan (GMB , α = 0)

2 2 θω =t v . sin

V 2 V 2 Tinggi maksimum: Y

max =

Gaya sentripetal: F s = m , a s =

RR Jarak mendatar maksimum:

3. Gerak Melingkar Berubah Beraturan (GMBB, α=

X max α = =

2. v 2 0 sin cos α α v 2 0 sin(2 )

konstan)

g g w t = w o + a.t

q = w .t + ½ a.t 2 F s = m , D. PERSAMAAN GERAK LURUS a =

w t = w o +2 a.q t

a = a 2  2 total t + a s

n Posisi benda: r () t = xi () t + yj () t atau r () t = v dt . + r 0 ∫

2 2 besar (|r|): r = ()() x + y

  dr

n Kecepatan: v = atau v  () t = . a dt

∫ + v 0 dt

2 2 besar (|v|): v = () v

+ () v y

BAB 3 GAYA

Gaya adalah tarikan atau dorongan.

w A − w B w − ; .sin

F = ma .

a = percepatan sistem (massa A dan massa B) m = massa benda (kg)

T = tegangan tali ; T A =T B =T

a = percepatan benda (m/s 2 )

m B = massa B

Konsep:

m A = massa A

Resultan gaya ⇒ gaya yang searah dijumlahkan, dan

N = gaya normal

yang berlawanan arah dikurangkan.

4. Gaya pada Gerak Melingkar

1. Hukum Newton Gaya sentripetal:

v n 2 Hukum Newton I

∑ F = 0 , a = 0, benda diam atau GLB

R Percepatan sentripetal:

n Hukum Newton II

v F 2 ∑ , a ≠ 0, benda ber-GLBB = ma .

Hukum Newton III

Arah F

s : ke pusat ingkaran.

F aksi = –F reaksi

n Tali berputar vertikal

Di titik tertinggi (B):

F s =T+w Gaya gesek adalah gaya yang timbul akibat gesekan

2. Gaya Gesek

Di titik terendah (A):

F s =T–w dua benda.

Di titik C:

F s =T – w.cos q w = berat benda

T = tegangan tali F x

= gaya searah perpindahan

n Tali berputar horizontal

(menyebabkan pergeseran) f

= gaya gesek

= T = tegangan tali

gesek

= koefisien gesek statis

m k = koefisien gesek kinetis

n Pada luar bidang melingkar

Benda dari keadaan diam, maka

Di titik tertinggi (A):

(i) Jika F x ≤ µ s N ⇒ benda diam ⇒ f gesek = F x

F F =w –N

(ii) Jika F x > µ s N ⇒ benda bergerak dengan

Di titik B:

percepatan a ⇒ f gesek = µ k N F s = w.cos q –N N adalah gaya normal benda , yaitu gaya yang diberikan

N = gaya normal bidang pada benda, tegak lurus dengan bidang.

n Pada dalam bidang melingkar

Di titik tertinggi (B):

3. Kasus pada Sistem Katrol Licin

F s =N+w

F S Di titik terendah (A): F s = N –w

5. Pada Kasus Tikungan

v = laju maksimum kendaraan m s = koefisien gesekan statis antara roda dengan jalan R = jari-jari putaran jalan q = sudut kemiringan jalan terhadap horizontal

g = percepatan gravitasi

6. Kasus pada Tong Stan

Ketika suatu kendaraan membelok di tikungan, bisa Laju minimum putaran motor: didekati sebagai gerak melingkar agar tidak terjadi selip

maka: gR .

v min = v

µ s n Tikungan Datar:

Rg . v 2

µ s Tikungan Miring: tan + θ

Rg . 1 − µ s tan θ

BAB 4 USAHA DAN ENERGI

A. USAHA

sehingga:

Usaha adalah kerja atau aktivitas yang menyebabkan n Laju benda berubah: suatu perubahan, dalam mekanika, kuantitas dari

2 − mv 1 suatu kerja atau usaha diberikan sebagai berikut.

1 2 1 W = Ek akhir Ek awal = mv − 2

n Posisi tinggi benda berubah:

F cos θ

W = Ep akhir − Ep awal = mg () ∆ h

Jika sebuah benda ditarik dengan gaya sebesar F dan Hukum Kekekalan Energi Mekanik benda berpindah sejauh S , maka usaha yang dilakukan gaya terhadap benda adalah:

Pada sistem yang konservatif (hanya gaya gravitasi saja yang diperhitungkan) berlaku kekekalan energi

W = FS . . cos θ mekanik, yaitu energi mekanik di setiap kedudukan untuk q=0 o , maka

adalah sama besar. Contoh-contohnya: W = FS .

B. ENERGI Energi adalah kemampuan untuk melakukan usaha

EM A = EM B = EM C atau kerja.

gambar-gambar di atas, untuk puncak dan dasar n Energi Potensial Gravitasi:

n Energi Kinetik: Ek

2 = Dari hukum kekekalan energi mekanik pada kasus 1

v 2 n Energi Mekanik: EM = Ek + Ep

v A = 2. gh B atau h B A =

2. g Usaha dapat merubah energi yang dimiliki benda

Sebuah Bandul Diputar Vertikal Usaha dan Energi Potensial Pegas Dari penerapan hukum kekekalan energi mekanik,

Energi potensial pegas: E 1 P 2 = 2 kx . maka syarat agar bandul bergerak 1 lingkaran penuh

2 kx . 2 − 2 kx . 1 adalah: Laju di titik tertinggi (B):

Usaha: W

1 2 1 =∆= 2 E

Jika simpangan di mulai dari titik setimbang, maka:

v B = gR .

1 2 k W = konstanta pegas (N/m),

x = simpangan pegas (m). Laju di titik terendah (A):

= E P = 2 kx .

V A Energi pada Gerak Harmonis

v B = 5. gR

n Energi potensial:

Energi pada Gerak Parabola

E = P 1 2 kA . 2 sin 2 θ

Di dasar:

2 k = konstanta pegas, A = amplitudo,

q = sudut fase.

P = 0 dan E K = 2 mv . () o n Energi kinetik:

K = 2 kA . cos θ

Di puncak:

P = 2 mv .( ) .sin o

k = m. w α 2 ; m = massa; w = 2pf

n Energi mekanik:

E K = 1 2 mv .( ) .cos 2 o 2 α

E M =E P + EK Energi Potensial Gravitasi

E P =− G

Mm .

R G = konstanta gravitasi

R = jarak 2 massa

BAB 5 GAYA GRAVITASI DAN PEGAS

A. GAYA GRAVITASI

2. Hukum Keppler

a. Hukum Keppler I

“Lintasan planet berbentuk elips dan

MM

2 matahari di salah satu titik fokusnya”.

Aphelium : titik terjauh, Perihelium: titik terdekat.

b. Hukum Keppler II

F = gaya tarik-menarik antara M 1 dan M

G = konstanta gravitasi = 6,673 × 10 -11 2 Nm 2 /kg 2 “Garis yang menghubungkan planet dan matahari akan menyapu luas juring dan

1. Kuat Medan Gravitasi (Percepatan Gravitasi) dalam waktu yang sama”. Medan gravitasi: tempat di mana gaya gravitasi terjadi.

I II III

Jika:

2. Gerak Harmonik pada Pegas

luasan I = luasan II = luasan III ⇒ t AB =t CD =

n Simpangan

t EF

t AB = waktu dari A ke B

y = A sin

ϕ = q = wt + q

c. Hukum Keppler III

2 π o “Perbandingan kuadrat periode revolusi planet (T 2 ) terhadap jari-jari rata-rata planet

y : simpangan getar (m) pangkat tiga (R 3 ) selalu tetap untuk setiap

A : amplitudo (simpangan maksimum) (m) planet.”

q : sudut fase

Dirumuskan: w : frekuensi sudut (rad/s)

2 3 q 0 : sudut fase awal  T A   R A 

n Kecepatan getar

2 v 2 = ω . cos A θω = A − y

B. ELASTISITAS

v : kecepatan getar

1. Tegangan

3. Modulus Young

y : simpangan getar

A : amplitudo (simpangan maksimum)

τ Frekuensi sudut (rad/s) = n

Y == τ FL .

AL .

F : gaya

A : Luas penampang

f = frekuensi getaran (Hz)

2. Regangan T = periode getaran (s)

n Percepatan getar

2 L 2 a =− ω . sin A θ =− ω y

DL : perubahan panjang y : simpangan getar L : panjang mula-mula

A : amplitudo (simpangan maksimum)

n Frekuensi dan periode pada pegas dan

bandul sederhana

C. PEGAS

1. Gaya Pada Pegas

f Jika pegas diberi gaya akan mengalami perubahan

panjang yang dirumuskan: k = konstanta pegas

Sedangkan untuk ayunan bandul sederhana

F = kx .

frekuensi diberikan:

F : gaya yang menarik/

mendorong pegas

k : konstanta pegas (N/m)

: perubahan panjang (m)

g : percepatan gravitasi l : panjang tali

BAB 6 IMPULS DAN MOMENTUM

A. IMPULS DAN MOMENTUM

B. HUKUM KEKEKALAN MOMENTUM Pada proses tumbukan/ledakan berlaku kekekalan

1. Impuls (I)

momentum.

Gaya bekerja pada suatu benda dalam selang waktu

mv 11 + mv 22 = mv 11 ′ + mv 22 ′ Dt adalah Impuls (I).

∑ p sebelum =∑ p sesudah

n Untuk gaya F tetap

I =∆ F . t

C. TUMBUKAN

n Untuk gaya F = f(t) Kelentingan suatu tumbukan ditentukan dengan t 2 koefisien restitusi (e).

. ∫ F dt

e =− (

n Untuk grafik (F - t), impuls I dinyatakan oleh v 1 − v 2 luas di bawah grafik.

1. Lenting Sempurna: Koefisien restitusi e = 1

F 2. Lenting Sebagian: Koefisien restitusi 0 < e < 1

3. Tidak Lenting Sama sekali: Koefisien restitusi e = 0

D. BENDA DIJATUHKAN DAN MEMANTUL Impuls juga merupakan perubahan hukum

I = luas daerah yang diarsir

momentum. Dapat ditulis: Benda yang jatuh kemudian memantul, maka besarnya koefisien restitusi dirumuskan dengan:

I =∆= p p akhir − p awal

e 1 =− 2 = v 1 h 1

2. Momentum (p) p = mv

Berlaku:

e n + 1 m = massa (kg)

p = momentum (kgms -1 ), besaran vektor

h n v = kecepatan (ms -1 ) Dengan h n adalah tinggi pantulan ke-n (n = 0, 1, 2).

BAB 7 DINAMIKA ROTASI DAN KESETIMBANGAN BENDA TEGAR

A. DINAMIKA ROTASI

n Hukum Dinamika Rotasi:

Hubungan

∑ τ = I . Keduanya α

Gerak Lurus Gerak Rotasi

Kita dapat meninjau suatu kasus benda yang

menggelinding (berotasi dan bertranslasi) seperti θ

gambar di bawah ini.

R : jari-jari putarannya

Dinamika lurus:

F θ –f gesek = m.a ... (1) v =

a Dinamika rotasi:

Gaya = ∑ F Momen gaya τ

=RF . .sin

gesek (R) = k.m.R ( )

Momen Gaya = = τ

q: sudut antara F

f gesek = k.m.a R

dengan R

2 Persamaan (2) disubtitusikan ke (1) akan didapat:

k = konstanta pada rumus momen inersia: silinder pejal Inersia = I

I = kmR ..

Momen Massa = m

k = konstanta

Untuk satu partikel

1 k= 2 ; bola pejal k = ; dan seterusnya.

k=1

n Momen Inersia

Untuk beberapa kasus seperti gambar dapat diberikan Besaran yang analog dengan massa untuk gerak percepatannya adalah:

rotasi.

a g .sin θ

( 1 + k ) dengan k = konstanta.

a = l = kmR . .

Untuk benda yang sudah baku diberikan tabel sebagai berikut.

No Bentuk Benda

Momen Inersia

1 Benda berupa titik

I = mR 2

Benda panjang, homogen, w A − w B w A w A − w B sin θ

a = diputar di salah satu ujung

2 I= 1 2 a =

3 ml

m A + m B +. kM katrol

m A + m B + kM . katrol m A + m B + kM . katrol

3 Benda panjang, homogen,

diputar tepat di tengah

I= 1 12 2 ml

n Energi Kinetik

4 Bola berongga I= 2 3 mR 2 Untuk benda menggelinding (rotasi & translasi)

2 2 Ek

translasi =

5 Bola pejal

.. mv

I= 5 mR

2 1 2 rotasi = .. I ω = .( kmR )( ) = . km v .

6 Silinder berongga tipis

I = mR 2

Ek

2 7 Silinder pejal

I= 1 mR 2 1 2 2 Ek total = Ek translasi + Ek rotasi = mv (1 + k )