ℎ
�+
�, = ℎ
�
�, − ∫ [
�ℎ
�
�,� ��
+
�
�
�,� ��
]
�
��, 3.29
�
�+
�, = �
�
�, − ∫ [
�
�
�,� ��
+ �ℎ
�
�, �
�ℎ
�
�,� ��
]
�
��. 3.30
Dengan menggunakan rumus iterasi variasional 3.29 dan 3.30 dapat diperoleh nilai pendekatan pertama, kedua, dan ketiga dari solusi analitik berikut
ℎ �, = . sech . �
3.31 � �, =
3.32 ℎ �, = . sech
. � 3.33
� �,
= . 3 sech . � tanh . �
3.34
ℎ �, =
c sh . �
. cosh . � + . 5
cosh . � − .
3.35 � �, = . 3
sech . � tanh . � 3.36
ℎ �, =
c sh . �
. cosh . � + . 5
cosh . � − .
3.37
� �, = cosh . � sinh . � . 3 cosh . �
8
+ . 3
35 7 cosh . � − .
7 cosh . �
+ . 3 3 5
+ . 5
cosh . � − .
5 cosh . �
3.38
Berikut ini adalah grafik perilaku yang menggambarkan solusi iterasi variasional.
a ℎ �, dimensi tiga
b � �, dimensi tiga
c ℎ �, dimensi dua
d � �, dimensi dua
Gambar 3.3. Grafik hasil iterasi
ℎ �, dan � �, pada persamaan gelombang gravitasi.
Grafik pada Gambar 3.3 diperoleh dengan bantuan Software Maple dimensi tiga. Dari Grafik 3.3a dapat diamati bahwa kedalamanketinggian
ℎ mencapai titik maksimum
di 0,1
saat � = . Jika waktu bertambah maka
kedalamanketinggiannya akan semakin tinggi merambat ke kiri dan kanan. Dari Grafik 3.3b menggambarkan bahwa saat debitvolume berkurang maka
perambatan gelombang ke arah kiri dan pada saat debitvolume bertambah maka perambatan gelombang ke arah kanan.
D. Persamaan Gelombang Kinematik
Paparan berikut ini akan disajikan solusi iterasi pendekatan analitik dengan menggunakan metode iterasi variasional untuk persamaan gelombang kinematik.
Referensi pada bagian ini dikaji ulang dari buku karangan Miller 1984 dan buku karangan Wazwaz 2009.
Model gelombang kinematik dapat digunakan untuk menghitung aliran air di sepanjang bidang atau papan pipa saluran air terhadap waktu dan ruang. Salah
satu contoh penerapan gelombang kinematik dalam kehidupan sehari-hari adalah misalnya saat terjadi turun hujan, air hujan jatuh ke permukaan atap rumah yang
posisinya miring kemudian air hujan tersebut menetes ke bawah. Pada saat turun hujan tersebut, aliran air mengalir di sepanjang atap tersebut kemudian semakin
lama semakin berkumpul di titik posisi yang paling rendah dari atap rumah sehingga ketinggian air di titik tertinggi atap berbeda dengan ketinggian air di titik
terendah atap rumah. Persamaan gelombang kinematik merupakan bentuk penyederhanaan dari
persamaan saint-venant atau yang lebih dikenal sebagai persamaan gelombang air dangkal. Persamaan gelombang kinematik dimensi satu bergantung pada variabel
waktu dan ruang disederhanakan dengan mengabaikan suku gravitasi dari persamaan gelombang air dangkal. Penyederhanaan ini dilakukan agar
perhitungan lebih mudah dan dapat mengetahui perilaku dari grafik persamaan gelombang kinematik.
Diberikan persamaan gelombang kinematik sebagai berikut ℎ
�
+ ℎ
2
ℎ
�
= � 3.39
dimana fungsi ℎ �, adalah ketinggian atau kedalaman gelombang, fungsi t
adalah variabel waktu dan x adalah variabel ruang posisi. Diasumsikan kondisi awal dari persamaan 3.39 sebagai berikut
ℎ �, = ℎ = .
3.40
Fungsi koreksi dari sistem persamaan 3.39 dapat disusun dengan menggunakan langkah-langkah pada metode iterasi variasional
ℎ
�+
�, = ℎ
�
�, + ∫ � � [
�ℎ
�
�,� ��
+ ℎ̃
�
�, �
2
�ℎ̃
�
�,� ��
− �]
�
��,
3.41 dengan
� adalah pengali Lagrange; ℎ̃
��
adalah variasi terbatas. Untuk memperoleh kondisi stasioner berikut dapat dilakukan dengan teknik integral
parsial �
′
� = , 3.42a
+ � � |
�=�
= . 3.42b
Persamaan 3.42a adalah persamaan Euler-Lagrange. Persamaan 3.42b merupakan syarat batas. Subtitusi nilai pengali Lagrange ke dalam fungsi koreksi
persamaan 3.41 sehingga diperoleh rumus iterasi variasional sebagai berikut ℎ
�+
�, = ℎ
�
�, − ∫ [
�ℎ
�
�,� ��
+ ℎ
�
�, �
2
�ℎ
�
�,� ��
− �]
�
��. 3.43
Dengan menggunakan rumus iterasi variasional 3.43 dapat diperoleh nilai pendekatan pertama dan kedua dari solusi analitik berikut
ℎ �, = 3.44
ℎ �, = � + 3.45
ℎ �, = � + −
��+ .��− ��+
+ �
2
3.46
Berikut ini adalah grafik perilaku yang menggambarkan solusi iterasi variasional.
