Persamaan Gelombang Elastik METODE ITERASI VARIASIONAL UNTUK
Diasumsikan kondisi awal dari persamaan 3.48 sebagai berikut � �,
= . sech . � dan �,
= . 3.49
Suatu fungsi koreksi dari sistem persamaan 3.48 dapat dibentuk menjadi �
�+
�, = �
�
�, + ∫ � � [
��
�
�,� ��
−
�ũ
�
�,� ��
]
�
��, 3.50
�+
�, =
�
�, + ∫ � � [
� � �,� ��
−
��̃� �,� ��
− �̃
�
�, �
��̃� �,� ��
]
�
��.
3.51 dimana
� dan � adalah pengali Lagrange; ̃
��
dan �̃
��
adalah variasi terbatas. Kondisi stasioner persamaan 3.50 dan 3.51 dapat diperoleh sebagai berikut
�
′
� = , 3.52a
+ � � |
�=�
= , 3.52b
dan �
′
� = , 3.53a
+ � � |
�=�
= , 3.53b
Persamaan 3.52a dan 3.53a adalah persamaan Euler-Lagrange. Persamaan 3.52b dan 3.53b merupakan syarat batas. Subtitusi nilai pengali
Lagrange ke dalam fungsi koreksi persamaan 3.50 dan 3.51 sehingga diperoleh rumus iterasi variasional sebagai berikut
�
�+
�, = �
�
�, − ∫ [
��
�
�,� ��
−
�
�
�,� ��
]
�
��, 3.54
�+
�, =
�
�, − ∫ [
�
�
�,� ��
−
��
�
�,� ��
− �
�
�, �
��
�
�,� ��
]
�
��.
3.55 Dengan menggunakan rumus iterasi variasional 3.54 dan 3.55 dapat
diperoleh nilai pendekatan pertama, kedua, dan ketiga dari solusi analitik berikut � �, = . sech
. � 3.56
�, = 3.57
� �, = . sech . �
3.58
�, = − . sech . � tanh . � − . sech . � tanh . �
3.59
� �, = .
�
2
c sh . � + c sh . � − �
2
c sh . �
2
− �
2
c sh . �
3.60
�, = − . sech . � tanh . � − . sech . � tanh . �
3.61
� �, = .
�
2
c sh . � + c sh . � − �
2
c sh . �
2
− �
2
c sh . �
3.62
�, = − .
3 333 cosh . �
3 5 cosh . �
+ 3 cosh . �
8
+ 7 75 cosh . � − 5 5
cosh . �
8
− cosh . �
+ 3 375 cosh . �
8
− 75 cosh . �
+ cosh . � − 5
cosh . � + 5 cosh . �
+ 5 sinh . �
3.63
Berikut ini adalah grafik perilaku yang menggambarkan solusi iterasi variasional.
a � �, dimensi tiga b
�, dimensi tiga
c � �, dimensi dua d �, dimensi dua
Gambar 3.5. Grafik hasil iterasi
� �, dan �, pada persamaan gelombang
elastik. Grafik pada Gambar 3.5 diperoleh dengan bantuan Software Maple dimensi tiga.
Dari Grafik 3.5a dapat diamati bahwa regangan � mencapai titik maksimum di
0,1 saat � = . Jika waktu bertambah maka regangan akan semakin tinggi
merambat ke kiri dan kanan. Dari Grafik 3.5b menggambarkan bahwa saat kecepatan berkurang maka perambatan gelombang ke arah kiri dan pada saat
kecepatan bertambah maka perambatan gelombang ke arah kanan.