Persamaan Gelombang Elastik METODE ITERASI VARIASIONAL UNTUK

Diasumsikan kondisi awal dari persamaan 3.48 sebagai berikut � �, = . sech . � dan �, = . 3.49 Suatu fungsi koreksi dari sistem persamaan 3.48 dapat dibentuk menjadi � �+ �, = � � �, + ∫ � � [ �� � �,� �� − �ũ � �,� �� ] � ��, 3.50 �+ �, = � �, + ∫ � � [ � � �,� �� − ��̃� �,� �� − �̃ � �, � ��̃� �,� �� ] � ��. 3.51 dimana � dan � adalah pengali Lagrange; ̃ �� dan �̃ �� adalah variasi terbatas. Kondisi stasioner persamaan 3.50 dan 3.51 dapat diperoleh sebagai berikut � ′ � = , 3.52a + � � | �=� = , 3.52b dan � ′ � = , 3.53a + � � | �=� = , 3.53b Persamaan 3.52a dan 3.53a adalah persamaan Euler-Lagrange. Persamaan 3.52b dan 3.53b merupakan syarat batas. Subtitusi nilai pengali Lagrange ke dalam fungsi koreksi persamaan 3.50 dan 3.51 sehingga diperoleh rumus iterasi variasional sebagai berikut � �+ �, = � � �, − ∫ [ �� � �,� �� − � � �,� �� ] � ��, 3.54 �+ �, = � �, − ∫ [ � � �,� �� − �� � �,� �� − � � �, � �� � �,� �� ] � ��. 3.55 Dengan menggunakan rumus iterasi variasional 3.54 dan 3.55 dapat diperoleh nilai pendekatan pertama, kedua, dan ketiga dari solusi analitik berikut � �, = . sech . � 3.56 �, = 3.57 � �, = . sech . � 3.58 �, = − . sech . � tanh . � − . sech . � tanh . � 3.59 � �, = . � 2 c sh . � + c sh . � − � 2 c sh . � 2 − � 2 c sh . � 3.60 �, = − . sech . � tanh . � − . sech . � tanh . � 3.61 � �, = . � 2 c sh . � + c sh . � − � 2 c sh . � 2 − � 2 c sh . � 3.62 �, = − . 3 333 cosh . � 3 5 cosh . � + 3 cosh . � 8 + 7 75 cosh . � − 5 5 cosh . � 8 − cosh . � + 3 375 cosh . � 8 − 75 cosh . � + cosh . � − 5 cosh . � + 5 cosh . � + 5 sinh . � 3.63 Berikut ini adalah grafik perilaku yang menggambarkan solusi iterasi variasional. a � �, dimensi tiga b �, dimensi tiga c � �, dimensi dua d �, dimensi dua Gambar 3.5. Grafik hasil iterasi � �, dan �, pada persamaan gelombang elastik. Grafik pada Gambar 3.5 diperoleh dengan bantuan Software Maple dimensi tiga. Dari Grafik 3.5a dapat diamati bahwa regangan � mencapai titik maksimum di 0,1 saat � = . Jika waktu bertambah maka regangan akan semakin tinggi merambat ke kiri dan kanan. Dari Grafik 3.5b menggambarkan bahwa saat kecepatan berkurang maka perambatan gelombang ke arah kiri dan pada saat kecepatan bertambah maka perambatan gelombang ke arah kanan.

F. Persamaan Gelombang Akustik

Paparan pada bagian ini akan disajikan solusi iterasi pendekatan analitik dengan menggunakan metode iterasi variasional untuk persamaan gelombang akustik. Referensi pada bagian ini dikaji ulang dari buku karangan Wazwaz 2009 dan artikel karangan LeVeque 2002. Persamaan gelombang elastik adalah suatu pemodelan untuk perambatan gelombang. Persamaan gelombang elastik dapat disederhanakan menjadi persamaan gelombang akustik dengan beberapa asumsi. Akustik termasuk gelombang bunyi. Model dari persamaan gelombang akustik berupa perubahan tekanan dan kecepatan dari suatu sistem. Salah satu penerapan persamaan gelombang akustik dalam kehidupan sehari-hari yang sering kita lakukan misalnya saat kita berbicara dalam satu ruangan yang sama, kita dapat mendengarkan suara orang yang sedang berbicara merupakan suatu bentuk perambatan gelombang bunyi. Persamaan yang akan digunakan untuk memodelkan masalah dalam bahasan penulisan ini adalah persamaan gelombang akustik dimensi satu bergantung pada variabel ruang dan waktu. Persamaan gelombang akustik yang dibahas dalam penulisan ini adalah bentuk penyederhanaan dari artikel karya LeVeque 2002 dengan beberapa asumsi. Secara umum, persamaan gelombang akustik dimensi satu sebagai berikut { + � � � = , � � + � = , 3.64 di sini �, adalah tekanan, �, adalah kecepatan, � � adalah massa jenis dan � � adalah koefisien dari satuan tegangan kelembaman. Diasumsikan � � = dan � � = agar mempermudah perhitungan dan menjadi lebih sederhana sehingga menjadi bentuk berikut { + � = , + � = . 3.65 Diasumsikan kondisi awal dari persamaan 3.65 sebagai berikut �, = . sech . � dan �, = . 3.66 Fungsi koreksi dari sistem persamaan 3.65 dapat disusun dengan menggunakan langkah-langkah metode iterasi variasional diperoleh �+ �, = � �, + ∫ � � [ � � �,� �� + �ũ � �,� �� ] � ��, 3.67 �+ �, = � �, + ∫ � � [ � � �,� �� + � ̃ � �,� �� ] � ��. 3.68 dengan � dan � adalah pengali Lagrange; ̃ �� dan �̃ �� adalah variasi terbatas. Kondisi stasioner persamaan 3.67 dan 3.68 sebagai berikut � ′ � = , 3.69a + � � | �=� = , 3.69b dan � ′ � = , 3.70a + � � | �=� = , 3.70b Persamaan 3.69a dan 3.70a adalah persamaan Euler-Lagrange. Persamaan 3.69b dan 3.70b termasuk ke dalam syarat batas. Sekarang, subtitusi nilai pengali Lagrange ke dalam fungsi koreksi persamaan 3.67 dan 3.68 diperoleh rumus iterasi variasionalnya yaitu �+ �, = � �, − ∫ [ � � �,� �� + � � �,� �� ] � ��, 3.71 �+ �, = � �, − ∫ [ � � �,� �� + � � �,� �� ] � ��. 3.72 Dengan menggunakan rumus iterasi variasional 3.71 dan 3.72 dapat diperoleh nilai pendekatan pertama, kedua, dan ketiga dari solusi analitik berikut �, = . sech . � 3.73 �, = 3.74 �, = . sech . � 3.75 �, = . sech . � tanh . � 3.76 �, = . sech . � − .5 − . sech . � tanh . � + 3.77