Dengan menggunakan rumus iterasi variasional 3.19 dapat diperoleh nilai pendekatan pertama, kedua, ketiga dan keempat dari solusi analitik berikut
� �, = 3.20
� �, = � + 3.21
� �, = � + − 3.22
� �, = � + − 3.21
� �, = � + − 3.22
Berikut ini adalah grafik perilaku yang menggambarkan solusi iterasi variasional.
a � �, dimensi tiga b � �, dimensi dua
Gambar 3.2. Grafik hasil iterasi konsentrasi polutan
� �, pada persamaan gelombang difusi.
Grafik pada Gambar 3.2a diperoleh dengan bantuan Software Maple dimensi tiga dan untuk Gambar 3.2b diperoleh dengan bantuan Sofware MATLAB dimensi
dua. Gradien menggambarkan perubahan konsentrasi polutan q terhadap perubahan posisi x. Dari Gambar 3.2b terlihat bahwa konsentrasi polutan
membentuk garis lurus yang artinya bahwa semakin waktu bertambah maka gradien konsentrasi polutan akan semakin besar. Pada grafik tersebut masing-
masing garis lurus tidak berpotongan tetapi saling bersilangan sehingga tidak ada
titik potong sehingga semakin waktu bertambah maka perubahan posisi x akan semakin cepat.
C. Persamaan Gelombang Gravitasi
Bagian ini akan disajikan solusi iterasi pendekatan analitik dengan menggunakan metode iterasi variasional untuk persamaan gelombang gravitasi.
Referensi pada bagian ini dikaji ulang oleh Martins, Leandro, dan Djordjevic 2016, serta dari buku karangan Wazwaz 2009.
Persamaan Saint-Venant atau sering dikenal sebagai persamaan gelombang air dangkal dapat disederhanakan menjadi beberapa persamaan gelombang.
Persamaan gelombang gravitasi dimensi satu bergantung pada variabel waktu dan ruang merupakan bentuk penyerhanaan dari persamaan gelombang air dangkal
dengan mengabaikan suku konvektif dan mengabaikan gesekan topografi serta kemiringan topografi. Tujuan dari penyederhanaan adalah untuk kepentingan
kepraktisan, penghitungan komputasi lebih cepat dan dapat menggambarkan masalah nyata secara fisik. Persamaan gelombang air dangkal merupakan suatu
persamaan yang dapat dimodelkan secara matematis dari fenomena fisik aliran air dimensi satu.
Gelombang gravitasi merupakan suatu riak gangguan di alam semesta berbentuk gelombang lengkung yang bergerak semakin menjauhi sumbernya.
Gelombang gravitasi memerlukan medium untuk merambat. Gelombang gravitasi dihasilkan oleh obyek di alam semesta ini yang bergerak dengan kecepatan dan
arah tertentu.
Diberikan persamaan gelombang gravitasi sebagai berikut {
ℎ
�
+ �
�
= , �
�
+
�
ℎ
�
= . 3.23
dengan fungsi ℎ �, adalah kedalaman atau ketinggian air, � �, adalah
debitvolume air, � adalah percepatan gravitasi, t adalah variabel waktu dan x
adalah variabel ruang. Diasumsikan kondisi awal dari persamaan 3.23 sebagai berikut
ℎ �, = . sech
. � and � �, = .
3.24 Dari persamaan 3.24 dapat dibentuk menjadi suatu fungsi koreksi yaitu
ℎ
�+
�, = ℎ
�
�, + ∫ � � [
�ℎ
�
�,� ��
+
� ̃
�
�,� ��
]
�
��, 3.25
�
�+
�, = �
�
�, + ∫ � � [
�
�
�,� ��
+ �ℎ̃
�
�, �
�ℎ̃
�
�,� ��
]
�
�� , 3.26
di sini � dan � adalah pengali Lagrange; �̃
��
dan ℎ̃
��
adalah variasi terbatas. Dapat disusun kondisi stasioner dari persamaan 3.25 dan 3.26 menjadi
�
′
� = , 3.27a
+ � � |
�=�
= , 3.27b
dan �
′
� = , 3.28a
+ � � |
�=�
= , 3.28b
Persamaan 3.27a dan 3.28a adalah persamaan Euler-Lagrange. Persamaan 3.27b dan 3.28b merupakan syarat batas. Subtitusi nilai pengali
Lagrange � = � = − ke dalam fungsi koreksi persamaan 3.25 dan 3.26.
Berikut rumus iterasi variasionalnya
ℎ
�+
�, = ℎ
�
�, − ∫ [
�ℎ
�
�,� ��
+
�
�
�,� ��
]
�
��, 3.29
�
�+
�, = �
�
�, − ∫ [
�
�
�,� ��
+ �ℎ
�
�, �
�ℎ
�
�,� ��
]
�
��. 3.30
Dengan menggunakan rumus iterasi variasional 3.29 dan 3.30 dapat diperoleh nilai pendekatan pertama, kedua, dan ketiga dari solusi analitik berikut
ℎ �, = . sech . �
3.31 � �, =
3.32 ℎ �, = . sech
. � 3.33
� �,
= . 3 sech . � tanh . �
3.34
ℎ �, =
c sh . �
. cosh . � + . 5
cosh . � − .
3.35 � �, = . 3
sech . � tanh . � 3.36
ℎ �, =
c sh . �
. cosh . � + . 5
cosh . � − .
3.37
� �, = cosh . � sinh . � . 3 cosh . �
8
+ . 3
35 7 cosh . � − .
7 cosh . �
+ . 3 3 5
+ . 5
cosh . � − .
5 cosh . �
3.38
Berikut ini adalah grafik perilaku yang menggambarkan solusi iterasi variasional.
a ℎ �, dimensi tiga
b � �, dimensi tiga
