Ruang vektor bernorma adalah ruang vektor X dengan pemetaan ∥ ∥: � →
+
, dengan sifat-sifat
a. ∥ ∥
untuk setiap ∈ �.
b. ∥ ∥ = jika dan hanya jika = ∈ � .
c. ∥
∥ = | | ∥ ∥ untuk setiap ∈ � dan skalar a. d.
∥ + ∥ ∥ ∥ +∥ ∥ untuk setiap , ∈ �.
I. Ruang Hilbert
Bahasan tentang ruang Hilbert ini berasal dari referensi diktat Suryawan 2014.
Ruang Hilbert adalah ruang hasil kali dalam yang lengkap ruang metriknya lengkap. Ruang Hilbert pula merupakan suatu ruang vektor bernorma yang
lengkap yang normanya itu diinduksi dari hasil kali dalam. Ruang hasil kali dalam
seringkali disebut ruang pra-Hilbert.
J. Barisan Konvergen dan Deret Konvergen
Teori tentang barisan konvergen dan deret konvergen ini berasal dari referensi diktat Sukarjono 2008. Dalam bahasan ini akan dipaparkan tentang
definisi barisan dan deret serta barisan konvergen dan deret konvergen. Barisan adalah suatu pemetaan yang berkorespondensi satu-satu dari
himpunan bilangan asli ke himpunan bilangan real. Barisan dapat dikatakan sebagai suatu aturan yang mengawankan setiap bilangan asli dengan bilangan real
secara tunggal. Barisan biasanya ditulis dengan lambang atau
atau dan sebagainya. Barisan merupakan himpunan unsur-unsur yang telah diurutkan
menurut urutan bilangan asli seperti =
, , , … , , … .
Barisan dikatakan konvergen jika terdapat dengan sifat
∈ ℝ untuk setiap bilangan
terdapat bilangan asli ℕ sehingga untuk setiap bilangan asli � ℕ berlaku | − | .
Deret bisa dikatakan jumlahan dari suatu barisan. Misalkan terdapat suatu barisan bilangan real
= , , , … , , … , kemudian bilangan-bilangan
tersebut dijumlahkan, hasilnya menjadi suatu deret yang biasanya ditulis dengan lambang
. Jadi, = +
+ + +
= ∑
=
. Deret
∑
=
dikatakan konvergen apabila lim
→∞
ada. Tetapi jika lim
→∞
tidak ada atau ∞ maka deret divergen. Jika lim
→∞
= , maka S disebut deret itu konvergen ke jumlah S.
K. Barisan Cauchy
Bahasan tentang barisan Cauchy dan barisan konvergen ini berasal dari referensi buku karangan Soematri 2012.
Barisan di ruang metrik
� = �; disebut barisan Cauchy jika untuk setiap
terdapat bilangan � � ℕ sehingga untuk bilangan asli , � berlaku
; .
