Persamaan Gelombang Air Dangkal

permasalahan sehingga mempermudah dalam perhitungan. persamaan gelombang air dangkal dimensi satu sangat relevan untuk menentukan aliran sungai. Diberikan persamaan gelombang air dangkal sebagai berikut { ℎ + ℎ � + ℎ � = , + ℎ � + � = −� � , 3.1 di sini fungsi ℎ �, adalah kedalaman atau ketinggian air, fungsi �, adalah kecepatan aliran air, � � adalah topografi, t adalah variabel waktu dan x adalah variabel ruang. Diasumsikan kondisi awal dari persamaan 3.1 sebagai berikut ℎ �, = + exp −� + exp −� , �, = ℎ �, , � � = − exp −� + exp −� . 3.2 Dari persamaan 3.2 berarti permukaan air mendatar secara horisontal memiliki persamaan ℎ �, + � � = , dan debit air selalu konstan dimanapun memiliki persamaan �, . ℎ �, = . Dengan menggunakan metode iterasi variasional, dapat dibentuk suatu fungsi koreksi dari sistem persamaan 3.1 sebagai berikut ℎ �+ �, = ℎ � �, + ∫ � � ℎ �� � + ũ � ℎ �� + ℎ � ũ �� ��, 3.3 �+ �, = � �, + ∫ � � �� � + ℎ �� + � ũ �� − � ′ � ��, 3.4 dimana � dan � adalah pengali Lagrange; ũ �� dan ℎ̃ �� adalah variasi terbatas. Teknik integral parsial seperti pada persamaan 2.3 dan 2.4 sangat diperlukan untuk memperoleh kondisi stasioner sebagai berikut � ′ � = , 3.5a + � � | �=� = , 3.5b dan � ′ � = , 3.6a + � � | �=� = , 3.6b Persamaan 3.5a dan 3.6a adalah persamaan Euler-Lagrange. Persamaan 3.5b dan 3.6b adalah syarat batas. Dari syarat batas tersebut diperoleh nilai pengali Lagrange � = � = − . Subtitusi nilai pengali Lagrange ke dalam fungsi koreksi persamaan 3.3 dan 3.4 sehingga memberikan rumus iterasi variasional sebagai berikut ℎ �+ �, = ℎ � �, − ∫ ℎ �� � + � ℎ �� + ℎ � �� ��, 3.7 �+ �, = � �, − ∫ �� � + ℎ �� + � �� − � ′ � ��. 3.8 Dengan menggunakan rumus iterasi variasional 3.7 dan 3.8 dapat diperoleh nilai pendekatan pertama dan kedua dari solusi analitik berikut ℎ �, = + ex −� 2 +ex −� 2 3.9 �, = + ex −� 2 +ex −� 2 3.10 ℎ �, = ℎ �, 3.11 �, = − � ∗ exp −� − exp − � − exp −� − + exp −� + 3exp −� 3.12 ℎ �, = − + 3exp −� + exp −� − exp −3� ∗ � − exp − � ∗ � − 3 exp −3� ∗ + exp −� ∗ � − exp − � − 5 exp − � ∗ − exp −3� − exp −� ∗ − exp − � − exp −� − 3.13 �, = − + ex −�2 − − exp − � − exp − � ∗ � + exp −5� ∗ � + exp −3� ∗ � + exp − � ∗ � + � ∗ exp − � ∗ + exp −3� ∗ � + 57 exp − � ∗ � + exp − � ∗ � − exp −5� ∗ � + exp −3� ∗ � + exp − � ∗ � − 37 exp − � ∗ � + � ∗ exp −� ∗ − 7 exp − � − 7 exp −5� − exp −3� ∗ � + 7 exp − � ∗ � − 5 exp − � − exp −5� ∗ − 3 exp − � ∗ − 7 exp −3� ∗ − 3 exp − � ∗ − exp −3� − 7 exp −� + exp −� ∗ � + exp −� 3.14 Berikut ini adalah grafik perilaku yang menggambarkan solusi iterasi variasional. a ℎ �, b �, Gambar 3.1. Grafik hasil iterasi ℎ �, dan �, pada persamaan gelombang air dangkal. Grafik pada Gambar 3.1 diperoleh dengan bantuan Software Maple dimensi tiga. Dari grafik tersebut dapat diamati bahwa jika variabel waktu semakin membesar, maka perilaku grafik menunjukkan tidak realistis secara fisik karena permukaan air akan semakin menuju tak hingga. Oleh karena itu, saat waktu membesar solusi dari iterasi variasional tidak akurat. Agar solusi iterasi variasional lebih akurat maka dibutuhkan iterasi yang lebih besar. Iterasi yang dihasilkan dari persamaan gelombang air dangkal akan konvergen menuju solusi eksak dengan waktu yang sangat lambat. Dalam kasus ini, metode iterasi variasional hanya berlaku untuk variabel waktu yang kecil.

B. Persamaan Gelombang Difusi

Pada bagian ini akan disajikan solusi iterasi pendekatan analitik dengan menggunakan metode iterasi variasional untuk persamaan gelombang difusi. Referensi pada bagian ini dikaji ulang dari buku karangan Wazwaz 2009. Difusi merupakan suatu peristiwa perpindahan molekul-molekul dari konsentrasi tinggi ke konsentrasi rendah. Proses difusi akan terjadi terus-menerus hingga seluruh partikel tersebar luas secara merata atau mencapai keadaan kesetimbangan dimana perpindahan molekul tetap terjadi walaupun tidak ada perbedaan konsentrasi. Pokok bahasan yang akan dibahas dalam penulisan ini tentang bentuk difusi sederhana. Difusi sederhana terjadi secara spontan jika molekul suatu zat sama dengan kerapatannya dalam suatu ruangan. Contoh penerapan dalam kehidupan sehari-hari misalnya satu semprotan parfum akan menyebar ke seluruh ruangan difusi gas di dalam medium udara dan molekul dari sesendok gula akan menyebar ke seluruh volume air di dalam suatu gelas meskipun tanpa diaduk difusi zat padat di dalam medium air. Persamaan yang akan digunakan untuk memodelkan masalah difusi tersebut adalah persamaan gelombang difusi dimensi satu bergantung pada variabel ruang dan waktu. Persamaan gelombang difusi adalah suatu bentuk penyederhanaan dari persamaan gelombang air dangkal dengan beberapa asumsi. Penyederhanaan dilakukan untuk memudahkan perhitungan. Persamaan gelombang difusi dimensi satu sangat relevan untuk menentukan konsentrasi dari polutan. Perbedaan konsentrasi yang ada pada kedua larutan yang mengalami difusi disebut gradien konsentrasi. Difusi dapat terjadi ketika molekul dan ion yang terlarut dalam air bergerak secara acak dengan konstan. Diberikan persamaan gelombang difusi sebagai berikut � � + � � = � � �� + � 3.15 di sini fungsi � �, adalah konsentrasi polutan, fungsi t adalah variabel waktu dan x adalah variabel ruang posisi. Diasumsikan kondisi awal dari persamaan 3.15 sebagai berikut � �, = � = . 3.16 Dengan menggunakan langkah-langkah pada metode iterasi variasional, dapat dibentuk suatu fungsi koreksi dari sistem persamaan 3.15 � �+ �, = � � �, + ∫ � � [ � � �,� �� + � ̃� �,� �� − �̃ � �, � �2 ̃� �,� ��2 − �] � ��, 3.17 dimana � adalah pengali Lagrange; �̃ �� adalah suatu variasi terbatas. Teknik integral parsial seperti pada persamaan 2.3 dan 2.4 sangat diperlukan untuk memperoleh kondisi stasioner berikut � ′ � = , 3.18a + � � | �=� = . 3.18b Persamaan 3.18a adalah persamaan Euler-Lagrange. Persamaan 3.18b adalah syarat batas. Kita peroleh nilai pengali Lagrange yaitu � = − . Subtitusi nilai pengali Lagrange ke dalam fungsi koreksi persamaan 3.17 sehingga membentuk rumus iterasi � �+ �, = � � �, − ∫ [ � � �,� �� + � � �,� �� − � � �, � � 2 � �,� �� 2 − �] � ��, 3.19 Dengan menggunakan rumus iterasi variasional 3.19 dapat diperoleh nilai pendekatan pertama, kedua, ketiga dan keempat dari solusi analitik berikut � �, = 3.20 � �, = � + 3.21 � �, = � + − 3.22 � �, = � + − 3.21 � �, = � + − 3.22 Berikut ini adalah grafik perilaku yang menggambarkan solusi iterasi variasional. a � �, dimensi tiga b � �, dimensi dua Gambar 3.2. Grafik hasil iterasi konsentrasi polutan � �, pada persamaan gelombang difusi. Grafik pada Gambar 3.2a diperoleh dengan bantuan Software Maple dimensi tiga dan untuk Gambar 3.2b diperoleh dengan bantuan Sofware MATLAB dimensi dua. Gradien menggambarkan perubahan konsentrasi polutan q terhadap perubahan posisi x. Dari Gambar 3.2b terlihat bahwa konsentrasi polutan membentuk garis lurus yang artinya bahwa semakin waktu bertambah maka gradien konsentrasi polutan akan semakin besar. Pada grafik tersebut masing- masing garis lurus tidak berpotongan tetapi saling bersilangan sehingga tidak ada