dari persamaan 4.10 diperoleh rumus umum yaitu = lim
→∞
= ∑ .
∞ =
Persamaan 4.1 dapat didiferensialkan menggunakan persamaan 4.9 dan 4.10 menghasilkan solusi berbentuk
= ∑ .
∞ =
4.11 Pendekatan awal
= dapat dipilih jika itu memenuhi syarat awal dan syarat batas dari persoalan. Keberhasilan suatu metode tergantung dari pendekatan awal
yang dipilih. Syarat awal pada persamaan 4.2 cocok untuk digunakan dalam penyelesaian persamaan 4.1. Rumus umum dari persamaan 12 dapat dituliskan
dalam bentuk seperti = ∑
.
− =
4.12
B. Analisis Konvergensi
Bagian ini akan membahas tentang konvergensi metode iterasi variasional berdasarkan fakta-fakta yang diketahui dari pendekatan alternatif pada bagian
sebelumnya.
Teorema 4.1.
Diberikan operator � ∶ � → �. Solusi deret persamaan 4.11 akan
konvergen jika ∃ sedemikian sehingga ‖�[ +
+ +
+
]‖ ‖�[ +
+ + ]‖ ‖
+
‖ ‖ ‖, ∀ ∈ ℕ { }.
Bukti.
Didefinisikan barisan {�
�
}
�= ∞
sebagai berikut
� = � =
+ � =
+ +
�
�
= +
+ +
�
4.13
akan dibuktikan bahwa {�
�
}
�= ∞
adalah barisan Cauchy di ruang Hilbert H. Diperhatikan persamaan berikut
‖�
�+
− �
�
‖ = ‖
�+
‖ ‖
�
‖ ‖
�−
‖
�+
‖ ‖. 4.14
Untuk setiap , ∈ ℕ,
, maka ‖�
�
− � ‖ = ‖ �
�
− �
�−
+ �
�−
− �
�−
+ + �
+
− � ‖ ‖�
�
− �
�−
‖ + ‖�
�−
− �
�−
‖ + + ‖�
+
− � ‖
�
‖ ‖ +
�−
‖ ‖ + +
+
‖ ‖ 4.15
=
−
�−
− +
‖ ‖, dan ketika
, diperoleh lim
�, →∞
‖�
�
− � ‖ = . 4.16
Oleh karena itu, persamaan 4.13 adalah barisan Cauchy di ruang Hilbert H dan telah dibuktikan bahwa solusi deret dari persamaan 4.11 konvergen.
∎
Teorema 4.2.
Jika solusi deret persamaan 4.11 konvergen, maka deret tersebut merupakan solusi eksak dari persamaan 4.1.
Bukti.
Diambil sembarang solusi deret dari persamaan 4.11 yang konvergen, misalkan ∅
= ∑
∞ =
sehingga lim
→∞
= , 4.17
∑ [
+
− ]
� =
=
�+
− . 4.18
Persamaan 4.17 disubstitusikan ke persamaan 4.18 menjadi ∑ [
+
− ]
∞ =
= lim
→∞
− = − .
4.19 Operator
� merupakan turunan m terhadap t yang dilambangkan dengan � =
� ��
. Kedua ruas pada persamaan 4.19 diturunkan menggunakan operator L, maka
diperoleh ∑
�[
+
− ]
∞ =
= −�[ ] = . 4.20
Seperti yang telah didefinisikan pada persamaan 4.10, diperoleh persamaan sebagai berikut
�[
+
− ] = �[�[ + + + ] − �[ +
+ +
−
]] 4.21
ketika nilai dan menggunakan definisi dari persamaan 4.9 sehingga
diperoleh �[
+
− ] = � {∫ [
− −
� −
−
�[ + + + ] −
�
�[ + + +
−
] + �[ + + + ] −
�[ + + +
−
]] ��} , .
4.22
Operator L pada persamaan 4.22 merupakan turunan yang bergantung pada nilai m, sedangkan notasi integral pada ruas kanan persamaan 4.22 pun merupakan
