Fungsi koreksi dari sistem persamaan 3.39 dapat disusun dengan menggunakan langkah-langkah pada metode iterasi variasional
ℎ
�+
�, = ℎ
�
�, + ∫ � � [
�ℎ
�
�,� ��
+ ℎ̃
�
�, �
2
�ℎ̃
�
�,� ��
− �]
�
��,
3.41 dengan
� adalah pengali Lagrange; ℎ̃
��
adalah variasi terbatas. Untuk memperoleh kondisi stasioner berikut dapat dilakukan dengan teknik integral
parsial �
′
� = , 3.42a
+ � � |
�=�
= . 3.42b
Persamaan 3.42a adalah persamaan Euler-Lagrange. Persamaan 3.42b merupakan syarat batas. Subtitusi nilai pengali Lagrange ke dalam fungsi koreksi
persamaan 3.41 sehingga diperoleh rumus iterasi variasional sebagai berikut ℎ
�+
�, = ℎ
�
�, − ∫ [
�ℎ
�
�,� ��
+ ℎ
�
�, �
2
�ℎ
�
�,� ��
− �]
�
��. 3.43
Dengan menggunakan rumus iterasi variasional 3.43 dapat diperoleh nilai pendekatan pertama dan kedua dari solusi analitik berikut
ℎ �, = 3.44
ℎ �, = � + 3.45
ℎ �, = � + −
��+ .��− ��+
+ �
2
3.46
Berikut ini adalah grafik perilaku yang menggambarkan solusi iterasi variasional.
a ℎ �, dimensi tiga b ℎ �, dimensi dua
Gambar 3.4. Grafik hasil iterasi
ℎ �, pada persamaan gelombang kinematik. Grafik pada Gambar 3.4a diperoleh dengan bantuan Software Maple dimensi tiga
dan untuk Gambar 3.4b diperoleh dengan bantuan Sofware MATLAB dimensi dua. Gradien menggambarkan perubahan ketinggian gelombang
ℎ terhadap perubahan posisi x. Dari Gambar 3.4b terlihat bahwa ketinggian gelombang
membentuk garis lurus yang artinya bahwa semakin waktu bertambah maka gradien ketinggian gelombang akan semakin besar. Pada grafik tersebut masing-
masing garis lurus tidak berpotongan tetapi saling bersilangan sehingga tidak ada titik potong sehingga semakin waktu bertambah maka perubahan posisi x akan
semakin cepat.
E. Persamaan Gelombang Elastik
Bahasan pada bagian ini akan disajikan solusi iterasi pendekatan analitik dengan menggunakan metode iterasi variasional untuk persamaan gelombang
elastik. Referensi pada bagian ini dikaji ulang dari buku karangan Timoshenko,
Goodier, dan Sebayang 1984, buku karangan Wazwaz 2009 serta LeVeque 2002.
Hampir semua bahan teknik memiliki sifat tertentu yaitu elastisitas elasticity. Apabila gaya luar menghasilkan perubahan bentuk tidak melebihi
batas tertentu, maka perubahan bentuk hilang sesudah gaya dilepas. Suatu benda dikatakan benar-benar elastis secara sempurna apabila benda kembali semula
secara utuh sesudah gaya dilepas. Salah satu contoh aplikasi gelombang elastik yaitu dapat diamati bahwa tangan kita menekan penggaris pada bagian tengahnya
kemudian akan kembali ke posisi semula saat dilepaskan. Persamaan yang akan digunakan untuk memodelkan masalah dalam bahasan
penulisan ini adalah persamaan gelombang elastik nonlinear. Persamaan gelombang elastik yang dibahas dalam penulisan ini adalah bentuk
penyederhanaan dari artikel karangan LeVeque 2002 dengan beberapa asumsi. Secara umum, persamaan gelombang elastik nonlinear sebagai berikut
{
� �, −
�
�, = ,
� � �,
− � � �, , �
�
= , 3.47
dengan � �, adalah regangan, �, adalah kecepatan, � � adalah massa
jenis dan � �, � adalah tegangan. Dari persamaan 3.47 terdapat hubungan � =
�. yang melambangkan momentum dan � �, � = � � � yang melambangkan hubungan tegangan dan regangan. Diasumsikan
� � = dan � � � = agar mempermudah perhitungan dan menjadi lebih sederhana sehingga menjadi bentuk
berikut {
�
�
−
�
= ,
�
− � + �
�
= . 3.48
Diasumsikan kondisi awal dari persamaan 3.48 sebagai berikut � �,
= . sech . � dan �,
= . 3.49
Suatu fungsi koreksi dari sistem persamaan 3.48 dapat dibentuk menjadi �
�+
�, = �
�
�, + ∫ � � [
��
�
�,� ��
−
�ũ
�
�,� ��
]
�
��, 3.50
�+
�, =
�
�, + ∫ � � [
� � �,� ��
−
��̃� �,� ��
− �̃
�
�, �
��̃� �,� ��
]
�
��.
3.51 dimana
� dan � adalah pengali Lagrange; ̃
��
dan �̃
��
adalah variasi terbatas. Kondisi stasioner persamaan 3.50 dan 3.51 dapat diperoleh sebagai berikut
�
′
� = , 3.52a
+ � � |
�=�
= , 3.52b
dan �
′
� = , 3.53a
+ � � |
�=�
= , 3.53b
Persamaan 3.52a dan 3.53a adalah persamaan Euler-Lagrange. Persamaan 3.52b dan 3.53b merupakan syarat batas. Subtitusi nilai pengali
Lagrange ke dalam fungsi koreksi persamaan 3.50 dan 3.51 sehingga diperoleh rumus iterasi variasional sebagai berikut
�
�+
�, = �
�
�, − ∫ [
��
�
�,� ��
−
�
�
�,� ��
]
�
��, 3.54
�+
�, =
�
�, − ∫ [
�
�
�,� ��
−
��
�
�,� ��
− �
�
�, �
��
�
�,� ��
]
�
��.
3.55 Dengan menggunakan rumus iterasi variasional 3.54 dan 3.55 dapat
diperoleh nilai pendekatan pertama, kedua, dan ketiga dari solusi analitik berikut � �, = . sech
. � 3.56
�, = 3.57
