Pari Persamaan 3.6 diperoleh hasil yang sama dengan fungsi pembangkit momen distribusi Gamma pada Teorema 2.13 dengan
= dan = �, dan menurut Teorema 2.7,
berdistribusi Gamma. ∎
F. Hubungan Antara Distribusi Posisson dengan Distribusi Eksponensial
Berikut ini akan dijelaskan hubungan antara distribusi Poisson dengan distribusi Eksponensial
Tabel 3.1 Hubungan distribusi Poisson dengan distribusi Eksponensial di antrian. Distribusi
Eksponensial Distribusi Poisson
Variabel acak Waktu antar
kedatangan berturut-turut, .
Banyaknya kedatangan selama periode waktu
.
Range = , , …
Fungsi probabilitas =
−
, �
=
−
, = , , , Mean
satuan waktu kedatangan selama waktu
Peluang kumulatif �
= −
− �
�
�
= � + �
+ ⋯ + �
�
Peluang tidak ada kedatangan selama
periode waktu �
=
− �
� =
− �
Contoh 3.3
Kelahiran bayi pada suatu negara mempunyai mean 1 kelahiran setiap 12 menit. Laju kelahiran bayi berdistribusi Eksponensial. Hitunglah:
a. Rata-rata kelahiran bayi per tahun. b. Peluang tidak ada bayi yang lahir pada satu hari.
Jawab: a. Kelahiran bayi per hari:
=
×
= kelahiranhari.
Kelahiran bayi per tahun adalah: =
× =
, kelahirantahun.
b. Peluang tidak ada bayi yang lahir pada satu hari dihitung dengan distribusi Poisson.
� =
×
− ×
=
−
= . Cara lain untuk menghitung peluang tidak ada bayi yang lahir pada satu hari
sama saja dengan menghitung peluang waktu antar kelahiran yang berturutan lebih dari satu hari
�{ } =
−
= .
G. Model Antrian Poisson yang Diperumum
Pengembangan model antrian dengan asumsi kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu antar kedatangan serta pelayanan berdistribusi Eksponensial
adalah model antrian Poisson khusus. Untuk memperumum model antrian yang PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
berdasarkan kondisi jangka panjang atau perilaku keadaan tunak steady state pada antrian yaitu kondisi dengan rata-rata laju arus masuk sama dengan laju arus keluar.
Gambar 3.6: Diagram transisi antrian Poisson. Terdapat istilah kedatangan dan keberangkatan departure, istilah
kedatangan merepresentasikan sebagai penambahan banyaknya pelanggan pada sistem antrian sedangkan istilah keberangkatan merepresentasikan sebagai
pengurangan banyaknya pelanggan pada sistem antrian. Peluang
dapat ditentukan dari diagram transisi antrian Poisson. Sistem antrian pada status menyatakan banyaknya pelanggan dalam sistem antrian adalah
. Peluang terjadinya lebih dari satu kejadian yang terjadi selama interval ℎ yang
kecil dinyatakan dengan ℎ → diartikan bahwa untuk setiap , dapat
berubah menjadi dua kemungkinan yaitu − ketika keberangkatan terjadi pada
laju atau
+ ketika kedatangan terjadi pada laju , ketika = dapat berubah menjadi ketika terjadi kedatangan pada laju
. Pada tidak terdefinisi
karena tidak ada keberangkatan yang terjadi ketika sistem kosong. Berikut ini adalah simbol-simbol yang digunakan dalam sistem antrian:
= banyaknya pelanggan yang terlibat dalam sistem antrian. = rata-rata kedatangan dari pelanggan yang terlibat dalam sistem antrian.
= rata-rata keberangkatan dari pelanggan yang terlibat dalam sistem antrian. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
= peluang kondisi keadaan tunak steady state dari pelanggan yang terlibat dalam sistem antrian.
Model yang diperumum berasal dari yang merupakan fungsi dari
dan . Peluang ini kemudian digunakan untuk menentukan langkah-langkah sistem
kinerja seperti rata-rata panjang antrian, waktu tunggu antrian, dan rata-rata pelayanan.
Dalam kondisi keadaan tunak steady state untuk laju arus masuk
yang diharapkan sama dengan laju arus keluar. Kondisi ketika dapat berubah menjadi
− atau + diperoleh: Ekspektasi laju arus masuk ke keadaan
:
−
�
−
+
+
�
+
. Ekspektasi laju arus keluar dari keadaan
: � + � =
+ � .
Ekspektasi laju arus masuk ke keadaan = Ekspektasi laju arus keluar dari keadaan
−
�
−
+
+
�
+
= +
� . Pada Gambar 3.6 kondisi ketika
= adalah: =
= . Untuk
= diperoleh: +
= +
substitusikan =
sehingga diperoleh: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
= secara umum diperoleh bentuk:
=
− −
…
−
… , = , , ..
3.7 nilai
ditentukan dari ∑
=
∞ =
.
Contoh 3.4
Toko Grosir B K mengoperasikan 3 toko. Manager toko menggunakan jadwal untuk menentukan banyaknya stasiun pelayanan yang beroperasi. Berikut ini adalah
banyaknya pelanggan dalam toko. Tabel 3.2 Sistem pelayanan pada Toko Grosir BK.
Banyaknya pelanggan dalam toko Banyaknya stasiun pelayanan yang
beroperasi 1
– 3 1
4 – 6
2 Lebih dari 6
3
Kedatangan pelanggan berdistribusi Poisson dengan rata-rata kedatangan 10 pelanggan per jam. Waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial dengan rata-rata
12 menit. Tentukanlah peluang pelayanan pelanggan saat kondisi steady state.
Jawab: Diketahui
= pelanggan per jam,
= , , .. oleh karena terdapat 3 stasiun layanan yang beroperasi diperoleh:
= { = ,
= , , , × =
, = , ,
× = , = , , …
dengan demikian dari persamaan 3.7 diperoleh: =
=
= =
= =
= =
= =
= =
=
−
=
− ,
nilai dari ditentukan dari persamaan berikut:
+ + + + + + +
+ +
+... =
+ + + + ⋯
= , PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
dengan deret geometri yaitu: ∑
�
= −
�
, | | ,
∞ �=
diperoleh:
+ −
=
= .
Oleh karena sudah diketahui maka bisa ditentukanlah
untuk . Misalnya
berapa peluang jika hanya ada 1 stasiun pelayanan yang beroperasi? peluang tersebut dapat dihitung sebagai peluang maksimal terdapat 3 pelanggan yang
terlibat dalam sistem antrian, +
+ =
+ + ≈ . .
H. Antrian Poisson Khusus
