C. Variansi
Definisi 2.17 Variansi
Diberikan variabel acak dengan distribusi probabilitas yang diketahui dengan mean . Variansi dari adalah:
� = [ − ] = ∑ −
; jika variabel acak diskrit,
� = [ − ] = ∫
−
∞ −∞
; jika variabel acak kontinu.
Akar dari variansi adalah � dan disebut standar deviasi dari .
Contoh 2.14
Perhatikan Contoh 2.11. Tentukan variansi dari . Diketahui bahwa
= . dari perhitungan pada contoh 2.11 diperoleh: =
, =
, =
, =
. Variansi dari adalah
� = ∑ − .
=
= − .
+ − .
+ − .
+ − .
= . .
Teorema 2.5
Variansi dari variabel acak adalah � =
− .
Bukti: Bila adalah variabel acak diskrit diperoleh,
� = ∑ −
= ∑ −
+
= ∑ −
∑ +
∑ .
Menurut definisi nilai harapan = ∑
dan menurut definisi fungsi probabilitas diskrit yang ke 2
∑ = untuk setiap fungsi probabilitas diskrit
maka diperoleh � = ∑
−
= − .
Bila adalah variabel acak kontinu diperoleh � = ∫
−
∞ −∞
= ∫ −
+
∞ −∞
= ∫ −
∫ + ∫
.
∞ −∞
∞ −∞
∞ −∞
Menurut definisi nilai harapan =
∞ −∞
dan menurut fungsi probabilitas kontinu yang ke 2
=
∞ −∞
untuk setiap fungsi probabilitas kontinu maka diperoleh
� = ∫ − ∫
∞ −∞
∞ −∞
= − .
∎
D. Fungsi Pembangkit Momen FPM
Fungsi pembangkit momen berguna untuk menyelesaikan masalah-masalah komputasi dalam statistika matematis.
Definisi 2.18
Momen ke- � dari variabel acak adalah
dan dinotasikan
′
.
Definisi 2.19 Fungsi Pembangkit Momen FPM
Fungsi pembangkit momen untuk variabel acak didefinisikan sebagai berikut =
.
Teorema 2.6 Fungsi Pembangkit Momen dari Jumlahan Variabel Acak
Misalkan , , … , adalah variabel acak yang saling bebas dengan fungsi
pembangkit momen masing-masing adalah ,
, … ,
�
. Jika
= +
+ ⋯ + maka =
× × … ×
�
.
Bukti: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Diketahui , , … , adalah variabel acak yang saling bebas maka menurut
Teorema 2.4 dan Definisi 2.19 diperoleh: =
=
+ +⋯+
�
= ×
× … ×
�
= ×
× … ×
�
= ×
× … × .
∎
Teorema 2.7 Ketunggalan
Diberikan dan
adalah fungsi pembangkit momen dari variabel random dan . Jika
= maka dan mempunyai distribusi yang
sama. Bukti:
Julie, H. 1999. Teorema Limit Pusat Lindenberg dan Terapannya. Skripsi
Pada skripsi tersebut, Teorema Ketunggalan dibuktikan secara umum dengan
menggunakan definisi fungsi karakteristik yaitu
� =
�
dengan � adalah bilangan kompleks.
Perhatikan bahwa FPM adalah bentuk khusus dari fungsi karakteristik dengan mengganti
= −� , bukti dilakukan dengan menunjukan bahwa bila dan adalah fungsi distribusi kumulatif dengan fungsi karakteristik yang sama yaitu
∫
� ∞
−∞
= ∫
� ∞
−∞
∀ ℝ
maka =
skripsi hal 54. Berdasarkan Teorema Ketunggalan terdapat korespondensi satu-satu antara fungsi
pembangkit momen dengan fungsi probabilitas.
E. Distribusi Poisson