Variansi Fungsi Pembangkit Momen FPM

C. Variansi

Definisi 2.17 Variansi Diberikan variabel acak dengan distribusi probabilitas yang diketahui dengan mean . Variansi dari adalah: � = [ − ] = ∑ − ; jika variabel acak diskrit, � = [ − ] = ∫ − ∞ −∞ ; jika variabel acak kontinu. Akar dari variansi adalah � dan disebut standar deviasi dari . Contoh 2.14 Perhatikan Contoh 2.11. Tentukan variansi dari . Diketahui bahwa = . dari perhitungan pada contoh 2.11 diperoleh: = , = , = , = . Variansi dari adalah � = ∑ − . = = − . + − . + − . + − . = . . Teorema 2.5 Variansi dari variabel acak adalah � = − . Bukti: Bila adalah variabel acak diskrit diperoleh, � = ∑ − = ∑ − + = ∑ − ∑ + ∑ . Menurut definisi nilai harapan = ∑ dan menurut definisi fungsi probabilitas diskrit yang ke 2 ∑ = untuk setiap fungsi probabilitas diskrit maka diperoleh � = ∑ − = − . Bila adalah variabel acak kontinu diperoleh � = ∫ − ∞ −∞ = ∫ − + ∞ −∞ = ∫ − ∫ + ∫ . ∞ −∞ ∞ −∞ ∞ −∞ Menurut definisi nilai harapan = ∞ −∞ dan menurut fungsi probabilitas kontinu yang ke 2 = ∞ −∞ untuk setiap fungsi probabilitas kontinu maka diperoleh � = ∫ − ∫ ∞ −∞ ∞ −∞ = − . ∎

D. Fungsi Pembangkit Momen FPM

Fungsi pembangkit momen berguna untuk menyelesaikan masalah-masalah komputasi dalam statistika matematis. Definisi 2.18 Momen ke- � dari variabel acak adalah dan dinotasikan ′ . Definisi 2.19 Fungsi Pembangkit Momen FPM Fungsi pembangkit momen untuk variabel acak didefinisikan sebagai berikut = . Teorema 2.6 Fungsi Pembangkit Momen dari Jumlahan Variabel Acak Misalkan , , … , adalah variabel acak yang saling bebas dengan fungsi pembangkit momen masing-masing adalah , , … , � . Jika = + + ⋯ + maka = × × … × � . Bukti: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI Diketahui , , … , adalah variabel acak yang saling bebas maka menurut Teorema 2.4 dan Definisi 2.19 diperoleh: = = + +⋯+ � = × × … × � = × × … × � = × × … × . ∎ Teorema 2.7 Ketunggalan Diberikan dan adalah fungsi pembangkit momen dari variabel random dan . Jika = maka dan mempunyai distribusi yang sama. Bukti: Julie, H. 1999. Teorema Limit Pusat Lindenberg dan Terapannya. Skripsi Pada skripsi tersebut, Teorema Ketunggalan dibuktikan secara umum dengan menggunakan definisi fungsi karakteristik yaitu � = � dengan � adalah bilangan kompleks. Perhatikan bahwa FPM adalah bentuk khusus dari fungsi karakteristik dengan mengganti = −� , bukti dilakukan dengan menunjukan bahwa bila dan adalah fungsi distribusi kumulatif dengan fungsi karakteristik yang sama yaitu ∫ � ∞ −∞ = ∫ � ∞ −∞ ∀ ℝ maka = skripsi hal 54. Berdasarkan Teorema Ketunggalan terdapat korespondensi satu-satu antara fungsi pembangkit momen dengan fungsi probabilitas.

E. Distribusi Poisson