Contoh 3.5
Pada contoh 3.4 telah dihitung peluang jika hanya stasiun pelayan yang
beroperasi. Hitunglah performa antrian bila hanya 1 stasiun yang beroperasi. Jawab:
= = . ,
akan dicari banyaknya pelanggan dalam sistem antrian: =
+ +
+ = +
× . + × . +
× . = . pelanggan.
Banyaknya pelanggan dalam antrian:
�
= − = . − = . pelanggan.
Waktu tunggu pelanggan dalam sistem antrian: =
�
=
.
= . jam ≈ . menit.
Waktu tunggu pelanggan dalam antrian:
�
= − = . − = . jam ≈ . menit.
I. Model Antrian Dengan Pelayanan Tunggal Kapasitas Tak Hingga
Model ini mempunyai notasi Kendall yaitu ⁄ ⁄ ∶
∞ ⁄
∞ ⁄
dengan waktu antar kedatangan dan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial dan hanya terdapat satu pelayanan, peraturan pelayanan adalah umum GD
kapasitas sistem antrian tidak terbatas, dan sumber kedatangan tidak terbatas. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Dengan menggunakan notasi pada model antrian Poisson yang diperumum diperoleh:
=
}
=0,1,2..
= Kapasitas sistem antrian tidak terbatas maka semua pelanggan yang datang dapat
masuk ke dalam sistem antrian dan tidak ada kedatangan pelanggan yang tak terlayani maka diperoleh
= dan = . Misalkan � = dengan
� menyatakan kepadatan pelanggan pada stasiun pelayanan sehingga maka Persamaan 3.7 persaman
menjadi: = �
, = , , , … 3.8
untuk menentukan nilai dapat diperoleh dengan mensubstitusikan persamaan
3.8 sehingga diperoleh sebagai berikut: +
+ + ⋯ + =
+ � + �
+ ⋯ + � =
+ � + � + ⋯ + � = . Asumsikan
� deret geometri mempunyai jumlahan berhingga yaitu
−�
sehingga diperoleh: − � =
= − �. 3.9
Substitusikan Persamaan 3.9 ke Persamaan 3.8
sehingga diperoleh: =
− � � , = , , … 3.10
Kondisi � atau supaya sistem tidak melebihi batas dan steady state bisa
ditentukan. Apabila maka deret geometri tidak konvergen dan tidak steady
state sehingga peluang tidak dapat ditentukan. Dengan kata lain jika laju
pelayanan lebih besar dari pada laju kedatangan maka panjang antrian akan terus bertambah dan tidak terjadi steady state.
Ukuran-ukuran dasar kinerja model ⁄ ⁄ ∶
∞ ⁄
∞ ⁄ adalah:
= ∑
∞ =
= ∑ − � �
∞ =
= − �
+ � + � + � + ⋯ + � =
− � � + � + � + ⋯ + �
−
= − � � ∑
∞ =
�
−
= − � �
− � =
� − � ,
karena = dengan laju kedatangan tidak terbatas maka untuk menentukan
diperoleh sebagai berikut: =
= =
= �
− �
= �
− �
= −
= −
= −
= −
= − . Untuk
�
diperoleh sebagai berikut: =
�
+
�
= −
= − −
= −
− −
= −
= −
×
= −
= −
= �
− � . Untuk
�
diperoleh sebagai beikut:
�
=
�
=
�
= �
− � =
� − �
= �
− � . Untuk menentukan kepadatan pelanggan diperoleh:
̅ = −
�
= �
− � − �
− � =
� − � − �
= � PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Contoh 3.6
Jasa cuci mobil pada suatu tempat mampu membersihkan mobil dalam waktu 10 menitmobil dengan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial. Kedatangan
mobil yang datang utnuk dilayani berdistribusi Poisson dengan rata-rata kedatangan 4 jammobil. Fasilitas ini tidak dapat menangani lebih dari satu mobil setiap saat.
Bagaimana analisis ukuran-ukuran kinerjanya? Jawab:
Kedatangan mobil berdistribusi Poisson dengan laju kedatangan 4 jammobil berarti = dan pelayanan berdistribusi Eksponensial dengan laju kedatangan =
= mobil jam karena
� = = maka sistem yang beroperasi dibawah kondisi steady state. Berikut ini adalah perhitungan performa antrian.
Banyaknya mobil pada sistem antrian adalah =
� −�
=
6
−
6
= mobil. Banyaknya mobil pada antrian:
�
=
� −�
=
6
−
6
= . mobil.
Waktu tunggu dalam sistem antrian adalah: =
−
=
−
= . jam = menit. Waktu tunggu dalam antrian adalah:
�
=
� −�
=
6
−
6
= . menit.
J. Model Antrian Dengan
