7
BAB II DASAR-DASAR TEORI PELUANG DAN STATISTIKA
Dalam Bab ini akan disajikan dasar-dasar teori peluang dan statistika sebagai landasan pembahasan skripsi ini.
A. Peluang
Definisi 2.1 Ruang Sampel
Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan disebut ruang sampel dan dinyatakan dengan simbol
.
Contoh 2.1
Percobaan pelemparan sekeping koin sebanyak dua kali dengan kedua sisinya yaitu gambar dan angka, ruang sampel
dari percobaan tersebut adalah { ,
, ,
}. Simbol
menyatakan “Gambar” pada sisi koin dan simbol menyatakan “Angka” pada sisi koin.
Definisi 2.2 Kejadian
Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Kejadian dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya .
Contoh 2.2
Percobaan pengambilan 3 buah bola yang diambil secara satu per satu tanpa pengembalian dari kantong yang berisi 9 buah bola dengan 3 buah bola berwarna
hijau, 3 buah bola berwarna merah, dan 3 buah bola berwarna biru. : Kejadian terambilnya bola pertama berwarna hijau.
Maka = {
, ,
, ,
, ,
, ,
} dengan
menyatakan “bola berwarna hijau”, menyatakan “bola berwarna merah”, dan menyatakan “bola berwarna biru”.
Definisi 2.3
Misalkan dan adalah adalah kejadian dari ruang sampel , maka:
1. Gabungan dari dua kejadian dinotasikan dengan
= { | � � }.
2. Irisan dari dua kejadian dinotasikan dengan
= { | � � }.
3. Komplemen suatu kejadian dinotasikan
�
dengan
�
= { � | }.
4. Selisih dari kejadian dan dinotasikan \ dengan
\ =
�
. 5.
dan adalah kejadian-kejadian yang saling asing bila = �.
Definisi 2.4 Peluang
Diberikan ruang sampel dan kejadian dari . Peluang dari dinotasikan �
yang memenuhi: 1.
� .
2. �
= . 3. Jika
, , , …. adalah kejadian yang saling asing di maka �
… = ∑ �
� ∞
�=
.
Definisi 2.5 Peluang Suatu Kejaadian
Diberikan kejadian pada ruang sampel , peluang terjadinya adalah �
= dengan
adalah banyaknya anggota terjadi dan adalah banyaknya
anggota ruang sampel .
Contoh 2.3
Pelemparan koin sebanyak dua kali. Berapa peluang munculnya minimal 1 sisi
“Angka”?
Ruang sampel pada percobaan tersebut adalah = { ,
, ,
} dengan
menyatakan “Angka” pada sisi koin dan menyatakan “Gambar” pada sisi koin. Jika adalah kejadian yang menyatakan terjadinya minimal munculnya
satu sisi “Angka” maka = { , ,
}. Jadi � = + + =
Definisi 2.6 Peluang Bersyarat
Diberikan dua kejadian dan dalam ruang sampel . Peluang kejadian setelah kejadian terjadi dinotasikan dengan
� | , � | =
� �
, � .
Dua kejadian dan saling bebas jika �
= � �
.
Contoh 2.4
Diberikan ruang sampel = { , , , , , } dan misalkan adalah kejadian
bilangan genap di dan adalah kejadian bilangan yang lebih dari 3 di maka
diperoleh = { , , } , = { , , }. Tentukanlah apakah dan saling bebas.
Jawab: = { , } berarti �
= = , �
= = dan � = = ,
oleh karena �
� = ≠ �
= maka dan tidak saling bebas.
Definisi 2.7 Variabel Acak
Variabel acak adalah fungsi bernilai real yang nilainya ditentukan oleh setiap unsur dalam ruang sampel.
Variabel acak dinotasikan dengan huruf kapital dan nilainya dinotasikan dengan huruf kecil. Misalkan merupakan variabel acak maka nilai dari adalah
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Contoh 2.5
Percobaan pengambilan 2 buah bola tanpa pengembalian dari kantong yang berisi 4 buah bola berwarna merah dan 3 buah bola berwarna hijau. Misalkan variabel
acak menyatakan banyaknya bola berwarna merah yang terambil. Ruang sampel pada percobaan tersebut:
= { ,
, ,
} dengan
menyatakan bola berwarna “Merah” dan menyatakan bola berwarna “Hijau”.
= banyaknya bola berwarna merah yang terambil. Nilai numerik 0, 1, atau 2 dapat diberikan pada setiap titik sampel dimana nilai 0,
1, atau 2 merupakan besaran acak yang nilainya ditentukan dari percobaan. ℝ
Gambar 2.1 Pemetaan .
Definisi 2.8 Variabel Acak Diskrit
Sebuah variabel acak dikatakan variabel acak diskrit jika himpunan dari kemungkinan hasilnya adalah terbilang. Jika tidak memenuhi definisi di atas maka
variabel random di atas disebut variabel random kontinu.
Definisi 2.9 Fungsi Probabilitas Diskrit
Himpunan pasangan terurut , �
adalah suatu fungsi probabilitas diskrit untuk setiap kemungkinan hasil yang mungkin jika:
1. �
untuk setiap � ℝ.
2. ∑ �
= .
Contoh 2.6
Dari contoh 2.5 tentukan fungsi peluang banyaknya bola berwarna merah yang terambil.
Jawab: Pada gambar 2.1 nilai adalah bilangan-bilangan yang menyatakan banyaknya bola
berwarna merah yang terambil.
Tabel 2.1 Fungsi peluang banyaknya bola merah yang terambil.
� �
= = = ,
� = =
= = ,
� = =
= , PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Definisi 2.10 Fungsi Probabilitas Kontinu
Fungsi adalah fungsi probabilitas probability function untuk variabel
random kontinu , jika: 1.
untuk setiap � ℝ.
2. =
∞ −∞
. 3.
� =
∞ −∞
.
Contoh 2.7
Andaikan suhu dalam C dalam sebuah percobaan adalah variabel acak kontinu
yang mempunyai fungsi densitas: = {
, − , lainnya
a. Buktikan bahwa adalah fungsi probabilitas.
b. Tentukan �
. Jawab:
a. Menurut definisi 2.10 2 jelas ,
∫ = ∫
= |− =
−
.
∞ −∞
b. �
= = | = .
Definisi 2.11 Distribusi Fungsi Kumulatif
Fungsi distribusi kumulatif dari sebuah variabel random diskrit dan kontinu didefinisikan sebagai berikut
= � =
{ ∑
∀
, jika diskrit, ∫
−∞
, jika kontinu.
Definisi 2.12 Fungsi Probabilitas Bersama Diskrit
Fungsi , adalah fungsi probabilitas bersama diskrit jika variabel acak dan
memenuhi: 1.
, , ∀ , .
2. ∑ ∑
, = .
Untuk setiap di bidang ,
�[ , ] = ∑ ∑
, .
�
Contoh 2.8
Dua buah pensil dipilih secara acak dari kotak yang berisikan 3 buah pensil berwarna biru, 2 buah pensil berwarna merah, dan 3 buah pensil berwarna hijau.
Jika adalah banyaknya pensil biru yang terpilih dan adalah banyaknya pensil merah yang terpilih. Tentukan fungsi probabilitas bersama untuk fungsi
, .
Jawab: Nilai dari pasangan terurut
, yang mungkin adalah , , , , , , , , , , , .
Misalkan , adalah kemungkinan terpilihnya pensil berwarna hijau dan pensil
berwarna merah. Banyaknya kemungkinan terpilihnya 2 pensil dari kotak tersebut adalah
= . Banyaknya kemungkinan terpilihnya 1 pensil merah dari 2 pensil
merah di dalam kotak dan terpilihnya 1 pensil hijau dari 3 pensil hijau di kotak adalah
= . Jadi , =
= . Perhitungan yang sama dapat digunakan untuk mencari kemungkinan-kemungkinan pada kasus yang lainnya. Secara umum
diperoleh ,
=
− − 8
untuk setiap = , , ; = , , ; dan
+ .
Tabel 2.2 Fungsi probabilitas bersama.
Definisi 2.13 Fungsi Probabilitas Bersama Kontinu
Fungsi , adalah fungsi probabilitas bersama kontinu dengan variabel acak
dan jika: 1.
, , ∀ , .
2. ,
=
∞ −∞
∞ −∞
. ,
Total Baris
1 2
1 2
Total Kolom PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Contoh 2.9
Diberikan
, sebagai berikut:
, = {
+ ,
, ,
,
Tunjukkan bahwa ,
=
∞ −∞
∞ −∞
. Jawab:
Integral dari , adalah
∫ ∫ ,
∞ −∞
∞ −∞
= ∫ ∫ +
= ∫ +
| =
=
= ∫ +
= +
|
= +
= .
Definisi 2.14 Variabel Acak Saling Bebas
Misalkan mempunyai fungsi distribusi , mempunyai fungsi distribusi
ℎ dan
, mempunyai fungsi distribusi bersama , . Maka dan
dikatakan saling bebas jika dan hanya jika ,
= ℎ
lainnya. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
untuk setiap pasangan bilangan real , .
Jika dan variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas bersama , dan fungsi distribusi dari masing-masing variabel dan adalah
dan ℎ
, maka dan saling bebas jika dan hanya jika ,
= ℎ
untuk semua pasangan bilangan real , .
Jika dan variabel acak kontinu dengan fungsi densitas bersama ,
dan fungsi fungsi distribusi dari masing-masing variabel dan adalah
dan ℎ
, maka dan saling bebas jika dan hanya jika ,
= ℎ
untuk semua pasangan bilangan real , .
Contoh 2.10
Pada contoh 2.8 variabel acak dan tidak saling bebas sebab berdasarkan definisi 2.14 dan saling bebas jika
, =
ℎ untuk setiap pasangan bilangan
real , . Pasangan bilangan real , diperoleh
= , ℎ = , dan
ℎ =
× =
≠ , =
.
B. Nilai Harapan
Kategori