6. Ukuran sumber kedatangan Sumber kedatangan pelanggan bisa bersifat terbatas atau tak terbatas. Sumber
yang terbatas finite source berati bahwa pelanggan yang datang untuk mendapatkan pelayanan terbatas, seperti pada kerusakan pada mesin-mesin
yang menunggu servis dari montir. Sumber yang tak terbatas infinite source adalah pelanggan yang terus datang tanpa henti seperti panggilan terhadap
operator telepon.
C. Aturan Distribusi Eksponensial
Kedatangan subyek atau pelanggan pada sebuah antrian bersifat acak berarti peristiwa kedatangan pelanggan atau penyelesaian pelayanan tidak dipengaruhi
oleh panjang waktu yang telah berlalu sejak terjadinya peristiwa sebelumnya. Waktu pelayanan dan antar kedatangan yang acak ini dijelaskan menurut
model antrian dengan distribusi Eksponensial. Pada Definisi 2.22 telah dijelaskan fungsi peluang distribusi Eksponensial.
=
−
, . Fungsi distribusi kumulatifnya adalah:
� = ∫
−
= −
−
. Fakta bahwa distribusi Eksponensial bersifat acak diilustrasikan dari contoh
berikut; jika sekarang menunjukan pukul 08.20 dan waktu kedatangan paling awal terjadi pada pukul 08.02. Kemungkinan bahwa kedatangan selanjutnya terjadi pada
pukul 08.29 merupakan sebuah fungsi dari interval waktu 08.20 hingga 08.29 dan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
hal tersebut tidak terikat pada lama waktu yang telah berlalu ketika terjadinya peristiwa pertama yaitu antara 08.02 hingga 08.20. Sifat distribusi Eksponensial
semacam ini disebut sifat tanpa ingatan memoryless atau lack of memory atau forgetfulness.
Teorema 3.1 Sifat Tanpa Ingatan Distribusi Eksponensial
Dimisalkan adalah fungsi probabilitas Eksponensial dengan
mewakili waktu kedatangan. Jika adalah interval waktu kejadian pertama dan
ℎ adalah interval kejadian dari peristiwa terakhir maka sifat tanpa ingatan dari distribusi
Eksponensial adalah �
+ ℎ | = �
ℎ , untuk menunjukkan sifat tanpa ingatan pada distribusi Eksponensial:
� = − �
=
−
, dengan demikian,
� + ℎ | = � + ℎ
� =
� + ℎ
� =
− +ℎ
−
= � ℎ .
∎ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
D. Proses Poisson
Definisi 3.1 Proses Stokastik
Proses stokastik {
, � } adalah himpunan semua kemungkinan nilai pada suatu ruang sampel dengan adalah himpunan indeks yang berkaitan dengan
waktu diskrit, = { , , , … }.
Definisi 3.2 Proses Membilang
Proses membilang {
, } haruslah memenuhi kriteria sebagai berikut:
1. .
2. adalah bilangan bulat.
3. Jika maka
. 4. Untuk
, − menyatakan kejadian yang terjadi pada interval
waktu , ].
Proses membilang juga mempunyai sifat orderliness yaitu peluang dari dua atau lebih kedatangan yang terjadi secara bersama-sama diabaikan.
Sifat lainnya dari proses membilang adalah tanpa memori memorylessness yaitu setiap titik dalam waktu proses membilang saling bebas dengan masa lalu.
Definisi 3.3 Kenaikan Bebas
Proses membilang disebut proses dengan kenaikan bebas independent increments jika banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu terpisah adalah saling
bebas. Artinya banyaknya kejadian yang terjadi pada waktu yaitu bebas dari
banyaknya kejadian yang terjadi pada waktu antara dan + yaitu
+ − .
Definsi 3.4 Kenaikan Stasioner
Proses membilang juga disebut proses kenaikan stasioner stationary increments jika distribusi dari banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu tertentu
hanya tergantung pada panjang interval tersebut, tidak bergantung pada letak interval tersebut. Artinya banyaknya kejadian pada interval waktu
+ , + ] yaitu
+ − + mempunyai distribusi yang sama dengan banyaknya
kejadian pada interval waktu , ] yaitu
− untuk semua
, �
+ − = � = �
.
Definisi 3.5 Proses Poisson
Proses membilang { ,
} adalah Proses Poisson dengan laju jika : 1.
= . 2. Banyaknya kejadian pada dua interval yang tidak tumpang tindih serta saling
bebas yaitu untuk setiap , dan variabel acak
− dengan variabel acak
− adalah saling bebas.
3. Peluang ada � kejadian dalam interval waktu berdistribusi Poisson dengan
mean untuk setiap
, berlaku:
� = �
+ − = � = �
−
, � = , , , , … PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Definisi 3.6 Fungsi � �
Fungsi ℎ dikatakan ℎ jika
lim
ℎ→
ℎ ℎ = .
Contoh 3.1
Untuk interval waktu yang kecil ℎ :
− ℎ
= ∑ − ℎ
∞ =
= − ℎ + ℎ
− ℎ
+ ⋯,
− ℎ
= − ℎ + ℎ , −
− ℎ
= ℎ + ℎ . Pada persamaan
−
− ℎ
= ℎ + ℎ menunjukkan peluang dari kejadian interval
ℎ sedangkan persamaan
− ℎ
= − ℎ + ℎ menunjukkan peluang tidak ada kejadian dari interval
ℎ atau dapat ditulis sebagai berikut: �
ℎ = = − ℎ + ℎ .
3.1
Definisi 3.7 Proses Poisson
Proses membilang { ,
} adalah Proses Poisson dengan laju jika: 1.
= . 2. Bersifat kenaikan stasioner.
3. �
ℎ = = ℎ + ℎ .
4. �
ℎ = ℎ .
Untuk menyatakan peluang bahwa ada kejadian � yang terjadi pada interval waktu
, ] dengan berlaku:
� = �
= � | = , � = , , , …
.
Contoh 3.2
Misalkan adalah banyaknya ikan yang ditangkap pada waktu
[ , ]. Andaikan ikan yang tersedia sangatlah banyak. Proses
{ ;
} dapat dianggap sebagai proses Poisson, kesempatan menangkap ikan di sungai tidak tergantung dengan
banyak ikan yang telah tertangkap. Dengan demikian pemancing yang baru saja tiba di sungai mempunyai kesempatan yang sama untuk menangkap ikan dengan
pemancing yang sudah menunggu selama 4 jam menangkap ikan.
Teorema 3.2
Definisi 3.5 ekivalen dengan Definisi 3.7. Bukti:
Definisi 3.5 ⇛ Definisi 3.7
1. Definisi 3.5 ke-1 dengan Definisi 3.7 ke-1 sangatlah jelas ekivalen. 2. Pada Definisi 3.5 ke-2
+ − mempunyai distribusi yang sama
dengan . Artinya mempunyai kenaikan yang stasioner.
3. Sifat 3 Definisi 3.5: Untuk
� ℎ =
=
− ℎ ℎ
= ℎ
− ℎ
, PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
� ℎ = = ℎ ∑
− ℎ �
∞ =
= ℎ [ − ℎ + ℎ
− ℎ
+ ⋯ ] = ℎ − ℎ +
ℎ −
ℎ + ⋯
= ℎ + [− ℎ + ℎ
− ℎ
+ ⋯ ] = ℎ + ℎ .
Memenuhi sifat 3 pada Definisi 3.7. �
ℎ =
− ℎ
∑ − ℎ
�
∞ =
=
− ℎ
[ ℎ
− ℎ
+ ℎ
− ⋯ ] =
− ℎ
ℎ [ − ℎ
+ ℎ
− ⋯ ]
= ℎ
− ℎ
∑ − ℎ
−
� ,
∞ =
bila mengambil nilai limitnya diperoleh:
= lim
ℎ→
ℎ
− ℎ
∑ − ℎ
−
�
∞ =
ℎ = ℎ ,
Memenuhi sifat 4 pada Definisi 3.7. Definisi 3.7
⇒ Definisi 3.5 1. Definisi 3.7 ke-1 dengan Definisi 3.5 ke-1 sangatlah jelas ekivalen.
2. Pada Definisi 3.4 tidka bergantung pada letak interval, artinya
saling bebas.
3. Dari Definisi 3.7 diperoleh bentuk: �
= � = �
� + ℎ = �
+ ℎ = Definisi
� = �
= � = �
= , + ℎ −
= Definisi Kenaikan Bebas
= � = �
+ ℎ − =
= � � ℎ
Definisi Kenaikan Stasioner = �
− ℎ + ℎ = �
− ℎ� + ℎ .
Dari bentuk �
+ ℎ = � − ℎ� + ℎ diperoleh:
�
′
= lim
ℎ→
� + ℎ − �
ℎ = lim
ℎ→
� − ℎ�
+ ℎ − � ℎ
= lim
ℎ→
− ℎ� + ℎ
ℎ = lim
ℎ→
− � +
ℎ ℎ
= − � �
′
� = −
∫ �
′
� = ∫ −
ln � = − +
� =
−
. Pilih
� = �
= = maka diperoleh:
� =
−
, 3.3
untuk �
� + ℎ = �
+ ℎ = � = �
= �, + ℎ −
= + �
= � − , + ℎ −
= + �
� − , + ℎ −
= � � ℎ + �
−
� ℎ + ℎ = �
− ℎ + ℎ + �
−
ℎ + ℎ + ℎ =
− ℎ � + �
−
ℎ = �
− ℎ� + ℎ�
−
,
� + ℎ − �
= − ℎ� + ℎ�
−
lim
ℎ→
� + ℎ − �
ℎ = lim
ℎ→
− ℎ� + ℎ�
−
ℎ �
′
= − � + �
−
�
′
+ � = �
−
[�
′
+ � ] =
�
−
� =
�
−
. 3.4
Dari persamaan 3.4 dipilih � = sehingga diperoleh:
� =
� =
+
−
, dengan syarat awal
� = ,
� =
−
. Untuk menunjukkan
� =
�
−
menggunakan induksi matematis. Asumsikan benar untuk
� − diperoleh: �
−
=
− −
� − , dari persamaan 3.4 diperoleh:
� =
−
� − �
= � +
� =
� +
−
karena �
= � = � = maka � =
−
�
. ∎
E. Waktu antar kedatangan
