maka =
skripsi hal 54. Berdasarkan Teorema Ketunggalan terdapat korespondensi satu-satu antara fungsi
pembangkit momen dengan fungsi probabilitas.
E. Distribusi Poisson
Percobaan yang menghasilkan nilai numerik dari variabel acak yang
menyatakan banyaknya kejadian khusus yang terjadi selama jangka waktu tertentu disebut percobaan Poisson. Misalnya variabel acak yang menyatakan banyaknya
telepon yang masuk dalam kurun waktu 1 jam. Distribusi probabilitasnya disebut distribusi Poisson. Distribusi Poisson merupakan distribusi probabilitas diskrit.
Definisi 2.20 Distribusi Poisson
Distribusi probabilitas untuk variabel acak Poisson yang menyatakan banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama suatu selang waktu atau daerah tertentu
didefinisikan sebagai berikut: ;
=
−
, = , , , …. dengan adalah rata-rata banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama selang
waktu atau daerah tertentu yang dinyatakan dan adalah menunjukkan selang waktu.
Teorema 2.8 Nilai Harapan Distribusi Poisson
Nilai harapan dari variabel acak diskrit yang berdistribusi Poisson adalah = .
Bukti: Berdasarkan Definisi 2.15 diperoleh:
= ∑
∞ =
= ∑
− ∞
=
= ∑
− −
−
∞ =
= ∑
− −
−
∞ =
.
Misalkan = − , maka
= ∑
−
.
∞ =
Mengingat bahwa =
−�
berdistribusi Poisson dan berdasarkan definisi fungsi probabilitas diskrit ke- 2
∑ =
∞ =
maka diperoleh =
∑
− −
−
∞ =
= ∑
− ∞
=
= . ∎
Teorema 2.9 Variansi Distribusi Poisson
Variansi dari variabel acak diskrit berdistribusi Poisson
; adalah
= . Bukti:
Berdasarkan Teorema 2.5 akan dicari .
Misalkan: =
− +
= −
+ = [
− ] + ,
[ − ] = ∑
−
∞ =
= ∑ −
− ∞
=
= ∑ −
− −
− −
∞ =
,
[ − ] =
∑
− −
−
∞ =
= ,
sehingga diperoleh = [
− ] + =
+ ,
dengan demikian =
− =
+ −
= . ∎
Teorema 2.10 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Poisson
Fungsi pembangkit momen untuk variabel acak berdistribusi Poisson adalah
−
Bukti: Misalkan
= �, maka
= ∑ �
−� ∞
=
= ∑ �
−� ∞
=
=
−�
∑ �
∞ =
=
� −�
=
� −
=
−
. ∎
F. Distribusi Gamma
Distribusi Gamma merupakan distribusi probabilitas berasal dari fungsi Gamma yang sudah dikenal luas. Distribusi Gamma merupakan distribusi kontinu.
Beberapa distribusi merupakan kejadian khusus dari distribusi Gamma. Misalnya distribusi Eksponensial.
Definisi 2.21 Fungsi Gamma
Fungsi Gamma didefinisikan sebagai berikut Γ
= ∫
− −
, .
∞
Teorema 2.11 Sifat-sifat Fungsi Gamma
Berikut ini adalah sifat-sifat dari fungsi Gamma: 1.
Γ =
− Γ − untuk setiap . 2.
Γ = .
3. Γ
= − untuk setiap bilangan bulat positif .
Bukti: 1. Menggunakan definisi fungsi Gamma dan pengintegralan kalkulus secara
parsial yaitu =
− , dengan memisalkan =
−
maka =
−
−
, dan =
−
maka =
−
= −
−
|
∞ ∞
sehingga diperoleh
Γ = lim
→∞
−
− −
| − ∫ −
−
−
− ∞
= lim
→∞
−
− −
| + ∫
−
−
− ∞
= lim
→∞
−
− −
| + −
∫
− − −
∞
= −lim
→∞ −
+ − Γ −
= −lim
→∞
[ exp −
ln ] +
− Γ − PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
= −lim
→∞
[exp − ln − ] +
− Γ −
= −lim
→∞
{exp [ − ln
− ]} + − Γ −
= − Γ − .
2. Berdasarkan definisi fungsi Gamma diperoleh: Γ
= ∫
− −
∞
= ∫
− ∞
= lim
→∞
−
−
|
= − − = .
2.1 3. Berdasarkan definisi fungsi Gamma diperoleh:
Γ − = − ∫
− −
∞
= −
− ∫
− − −
∞
= −
∫
− − −
∞
= − Γ − ,
. menurut teorema sifat-sifat fungsi Gamma ke-1 dan ke- 2 serta dari persamaan
2.1 dan persamaan 2.2 diperoleh: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Γ =
− Γ − 2.3
= −
− Γ − =
− −
− Γ − =
− −
− − Γ −
… . Γ =
− −
− − Γ −
… . =
− . ∎
Definisi 2.22 Distribusi Probabilitas Gamma
Variabel acak kontinu berdistribusi Gamma dengan parameter dan dengan fungsi densitas sebagai berikut:
= {
− −
Γ , untuk , , ,
, selainnya.
Teorema 2.11 Nilai Harapan Distribusi Gamma
Nilai Harapan variabel acak kontinu yang berdistribusi Gamma adalah =
. Bukti:
Misalkan = menurut nilai harapan dan definisi distribusi probabilitas Gamma
diperoleh:
misalkan =
maka dan =
= maka persamaan 2.4 menjadi
berdasarkan definisi fungsi Gamma persamaan 2.5 menjadi = ∫
−
− −
∞
, 2.4
= − Γ +
= − Γ
= −
− =
2.6
karena = maka persamaan 2.6 menjadi
= .
∎
Teorema 2.12 Variansi Distribusi Gamma
Variansi variabel acak kontinu yang berdistribusi Gamma adalah =
. Bukti:
Berdasarkan Teorema 2.5 akan dicari .
= ∫
− −
Γ
∞
= Γ
∫
+ −
∞
= Γ
[
+
Γ + ] = ∫
−
− −
∞
= ∫
+ − +
−
+ − −
,
∞
= +
Γ α Γ
= +
,
= −
= +
− =
+ −
= .
∎
Teorema 2.13 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Gamma
Fungsi pembangkit momen dari variabel acak kontinu berdistribusi
Gamma , adalah =
− .
Bukti: Misalkan
= , berdasarkan Definisi Nilai Harapan dan Definisi Fungsi Pembangkit Momen diperoleh persamaan
= = ∫
[Γ
− −
]
∞
= ∫ Γ
− −
∞
= ∫ Γ
− −
− ∞
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
misalkan =
− atau =
−
�
dengan maka
=
−
�
sehingga Persamaan 2.7 menjadi
= ∫ Γ
− −
− −
∞ −
= ∫ −
Γ
− −
∞
= ∫ −
− −
Γ
∞
= −
∫
− −
Γ ,
∞
.
karena
�− −
Γ ∞
adalah fungsi probabilitas Gamma dengan = maka
menurut Definisi Fungsi Probabilitas Kontinu ke-2 persamaan 2.8 menjadi
= −
= −
.
= − . ∎
G. Distribusi Eksponensial
