G. Distribusi Eksponensial
Distribusi Eksponensial merupakan salah satu kejadian khusus dari distribusi Gamma yaitu ketika
= dan = . Banyak sekali pengambilan keputusan untuk menyelesaikan suatu masalah dengan menggunakan distribusi Eksponensial.
Misalnya waktu pelayanan pada subyek dalam sistem antrian.
Definisi 2.23 Distribusi Eksponensial
Variabel acak kontinu dikatakan berdistribusi Eksponensial dengan parameter , ditulis
, bila mempunyai fungsi densitas sebagai berikut: = {
−
, ,
lainnya
Teorema 2.14 Nilai Harapan Distiribusi Eksponensial
Nilai harapan dari variabel acak kontinu berdistribusi Eksponensial adalah = .
Bukti: =
= × = . ∎
Teorema 2.15 Variansi Distribusi Eksponensial
Variansi dari variabel acak kontinu berdistribusi Exponensial ; adalah
= . lainnya.
Bukti:
= = × = .
∎
Teorema 2.16 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Eksponensial
Bila ~
, maka fungsi pembangkit momennya adalah =
− .
Bukti: =
− =
− .
∎
H. Uji Sampel Tunggal Kolmogorov-Smirnov
Uji sampel tunggal Kolmogorov-Smirnov atau sering disebut godness of fit adalah uji kecocokan atau keselarasan. Uji ini ditemukan oleh matematikawan
Rusia A. N. Kolmogorov pada tahun 1933. Uji ini memusatkan perhatian pada dua buah fungsi distribusi kumulatif yaitu distribusi kumulatif yang dihipotesiskan dan
distribusi kumulatif yang diamati. Mengingat menyatakan suatu fungsi
distribusi kumulatif. Apabila ingin mengambil sampel dari distribusi kumulatif yang belum diketahui, hal ini mendorong untuk memastikan apakah dapat
disimpulkan =
untuk semua dengan adalah suatu fungsi
distribusi kumulatif yang sepenuhnya ditentukan yakni distribusi kumulatif yang dihipotesiskan. Jika
= sangat diharapkan ada kecocokan antara
dan , dengan
adalah fungsi distribusi sampel yang diamati atau fungsi
distribusi empirik.
Definisi 2.24 Distribusi Sampel atau Distribusi Empirik
Misalkan , , … , adalah variabel random. Fungsi distribusi empiris
di definisikan sebagai berikut:
= {
,
�
� ,
� �+
, dengan
�
adalah pengaruh urutan ke- � dan � menyatakan banyaknya nilai
pengamatan dalam sampel yang kurang dari atau sama dengan dan menyatakan banyaknya pengamatan.
Definisi 2.25 Statistik Uji Kolmogorov-Smirnov Statistik uji Kolmogorov-Smirnov dinotasikan didefinisikan sebagai berikut:
= max
+
,
−
.
+
= max[ −
].
−
= max [ −
]. Prosedur dalam melakukan uji ini adalah sebagai berikut:
1. Tentukan hipotesis yaitu: :
= :
≠ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2. Tentukan tingkat signifikasi yaitu . 3. Hitung
dan yang diamati dan hitunglah
− .
4. Tentukan wilayah kritis yaitu: ditolak dan
diterima bila .
5. Carilah nilai dan nilai ,
diperoleh dari Lampiran 5. 6. Buatlah kesimpulan.
Untuk mempermudah pengujian, uji sampel Kolmogorov-Smirnov juga dapat dilakukan dengan SPSS.
Contoh 2.15
Diberikan data suatu sampel acak. Tabel 2.4 Data suatu sampel acak.
Data 8
1 3
3 2
1 4
5 9
Apakah data tersebut berdistribusi Poisson atau tidak? Jawab:
1. : data berdistribusi Poisson.
: data tidak berdistribusi Poisson. 2. Tingkat signifikansi
= . . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3. Perhitungan secara manual: Rata-rata dari data adalah 3.6.
Tabel 2.5 Uji sampel tunggal Kolmogorov-Smirnov secara manual. frek Fkum
� −
� +
−
1 1
1 0.1
0.027324 0.0726763 0.027324
1 2
3 2
0.2 0.125689
0.1 0.0743109 0.025689
2 1
4 3
0.3 0.302747
0.2 -0.002747 0.102747
3 2
6 4
0.4 0.515216
0.3 -0.115216 0.215216
4 1
7 5
0.5 0.706438
0.4 -0.206438 0.306438
5 1
8 6
0.6 0.844119
0.5 -0.244119 0.344119
8 1
9 7
0.7 0.988329
0.6 -0.288329 0.388329
9 1
10 8
0.8 0.995976
0.7 -0.195976 0.295976
max
+
= . dan max
−
= . .
= max
+
,
−
= . .
Perhitungan dengan SPSS: Tabel 2.6 Uji Sampel tunggal Kolmogorov-Smirnov dengan SPSS.
VAR00002 N
10 Poisson Parameter
a,,b
Mean 3.6000
Most Extreme Differences Absolute
.174 Positive
.174 Negative
-.169 Kolmogorov-Smirnov Z
.551 Asymp. Sig. 2-tailed
.922
a. Test distribution is Poisson. b. Calculated from data.
4. Daerah penolakan ditolak bila:
tabel = . atau Asymp.Sig 2-tailed .
5. Kesimpulan: Dari perhitungan diperoleh
= . tabel = .
dan dari SPSS diperoleh nilai Asymp.Sig.2-tailed adalah
= . = . . maka
diterima. Jadi dapat disimpulkan bahwa data berdistribusi Poisson. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
BAB III Teori Antrian
Kategori